2003 AIME II 第15题（第3部分）

有一个及其复杂的多项式，找它的根的平方的虚部绝对值的和。Sal Khan (萨尔可汗）制作。

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在上个视频的结尾，

我们刚刚开始试着

找到1的24个根是什么。

然后我们打算求这24个根的平方，

找到它们虚部的绝对值，

然后将它们都加起来。

再一次的，让我们只考虑必要的根。

这一部分，我们算出来是圆周率除以12。

这里是圆周率/12。

或者我应该说这是它的角度。

这是e^(圆周率/12)i。

让我只关注这里的角度。

这里是2圆周率/12，或者说是圆周率/6。

这里是3圆周率/12，或者说是圆周率/4。

这里是4圆周率/12，或者说是圆周率/3。

以及这是5圆周率/12。

这里，明显的，是6圆周率/12，也就是圆周率/2。

在我们继续标注之前，

--这能将这里的

数学计算简化一些-- 记住，

我们将需要取这些根的平方。

所以让我们先想一想，如果

我们有某个复数，表达式为a加bi，

让我们想想如果对其进行平方会发生什么。

它将等于a^2

加2ab，减b^2。

或者我们可以将它写作，a^2减b^2 --

这是它的实部-- 然后，加2abi，

其中2ab是它的虚部。

那么我之所以费心将它

写为这个格式，是为了展示出

我们接下来要做的是

要将所有这些复数进行平方，

然后取虚部的绝对值。

所以，实际上重要的的部分是2ab的绝对值，

或者更确切来说，2乘以ab的绝对值。

这些每一个都有对应的情况，

其中a或者b是负数。

比如这里，

让我们设它为a加bi，

如果你有负bi，它就会在这个区域。

所以如果它是a加bi，那么a减bi

就会是在这里。

或者你也可以有负a减bi，

它会在这里，

或者你也可以有负a加bi，它就会在这里。

我之所以这样来讲解，

是因为这样可以展示给你

当你将它们平方后，

再取其平方值的虚部的绝对值，

它们将会是相同的。

因为，ab

的绝对值是ab。

负ab的绝对值还是ab。

所以结果都是相同的。

那么我们可以做的是 --

而且它们每一个都会有相同的对应情况。

所以我们可以做的是找到它们的值，这里

1，2，3，4，5，这五个的值。

然后将我们得到的结果乘以4就可以了，因为

在这个单位圆上有四个，

这样能简化我们的步骤。

还有一个需要我们注意的地方，

我们已经说过了必须要忽略1，

因为我们以及加上了这个根。

不过即使我们忘记忽略它了

也没关系，因为1没有虚部。

1的平方还是1，并不存在虚部。

我们还可以忽略 圆周率/2 角度，或者说是90度，

因为它没有实部。

然后你在这里可以看到，当你将它平方时，

它会到达这里，

而且不会有任何虚部。

当你对它平方时，将会是2，乘以

实部虚部的乘积，

因为它没有实部，所以这里就等于0。

所以这一项不会对结果有任何贡献。

所以我们真正关心的是这里的几个角度。

然后我们将它们平方，找到它们

虚部的绝对值，然后我们

将它们全部乘以4，因为

这样就包括了这些其它的对应项 --

如果你将实部或者虚部变为负数后，

在整个单位圆圈中所有的对应项。

那么让我们想一想。

让我把这些写在这里。

我们现在要考虑的z值

分别是，e^(圆周率/12），e^(圆周率/6），

e^(圆周率/4）--哦，应该是e^(圆周率/12)i

e^(圆周率/6)i , e^(圆周率/4)i ,e^(圆周率/3)i ,

还有e^(5圆周率/12)i 。

然后我们要将每一项平方，

当你对它们进行平方时，将它们留在指数格式

下比较好。

这样来平方相对更简单一些。

当你对它进行平放时，简单来说，

就是将指数乘以2。

所以第一项是 e^(圆周率/6)i，

下一个是e^(圆周率/3)i，--我们现在只是取它们的平方。

我们只是将这里

每一个值平方，这里的每一个根。

所以就是e^(圆周率/3)i ， 然后

下一项是e^(圆周率/2)i

然后，下一项是e^(2圆周率/3)i。

最后，这一项是

e^(5圆周率/6)i 。

那么，这些是上面每一个根的平方值。

下面让我们想一想它们的虚部。

那么这里的这一项

也可以写作 cos(圆周率/6)+isin(圆周率/6）。

所以它的虚部就是sin(圆周率/6) 。

这一项的虚部 --如果你将它

根据欧拉公式分解，

cos(圆周率/3)+isin(圆周率/3)。

所以它的虚部就是 sin(圆周率/3）。

下一个是sin(圆周率/2)。

然后是sin(2圆周率/3) ,

最后是sin(5圆周率/6) 。

现在我们只需要将它们计算出来，

取它们的绝对值，然后进行求和，

最后将结果乘以4。

然后我们就基本进行到最后阶段了。

那么圆周率/6也就是180 --我们用度数来表示，

这样我的思路能更清晰一些。

让我在这里再画一个单位圆，

让我们能看到这些角度。

现在我们有sin(圆周率/6)，

sin(圆周率/6) 和30度是一样的。

所以看起来是这样的。

我们知道sin(30度)是1/2。

这是1, 这是1/2，

余弦是3/2的平方根。

这就是1/2。

下一个，sin(圆周率/3）,

圆周率/3也就是60度。

这里的正弦是根号3/2。

你可以从30、60、90度三角形中计算出来。

然后有sin(圆周率/2）。

圆周率/2是这里，

它的正弦就只是1。

所以它的虚部，

或者说是 --这么说吧，

它的值只是1，但是它的虚部，

也就是i的系数，

这么来想不是很直观。

但大家说虚部的时候，

你可能会想它是一个是整体。

所以这里就只是1。

然后， sin(2圆周率/3) ，

让我们看看 -- 圆周率/3是60度，

所以你可以将它看作是120度。

所以它是120度，

所以就在这个位置。

它将会和圆周率/3有一样的正弦值，

所以就是根号3/2，

最后，sin(5圆周率/6)，

圆周率/6是30度，

所以这里是sin(150度)，

看起来是这样的。

所以它的圆周率/6的正弦值是一样的，

也就等于1/2。我们运气比较好，

这些都是正数。

那我们直接来求和。

我们有1/2，加1/2等于1，再加上

这里的1，等于2，

加上，根号3/2加根号3/2等于根号3。

记住，我们只是对这个象限进行了计算，

我们需要计算所有的象限。

所以我们只需要将它乘以4。

所以，所有根的平方的虚部的绝对值的总和

等于8加4乘根号3。

再回到原题，

我们得到了答案。

这里就是8加4乘根号3。

我想确认一下我没有算错。

8加4乘根号3。

我们想要找到的是m加n加p，就是8加4

加3，等于15。

我们就结束啦。