2003 AIME II 第15题（第3部分）

有一个及其复杂的多项式，找它的根的平方的虚部绝对值的和。Sal Khan (萨尔可汗）制作。

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在上个视频的结尾，

我们刚刚开始试着

找到1的24个根是什么。

然后我们打算求这24个根的平方，

找到它们虚部的绝对值，

然后将它们都加起来。

再一次的，让我们只考虑必要的根。

这一部分，我们算出来是圆周率除以12。

这里是圆周率/12。

或者我应该说这是它的角度。

这是e^(圆周率/12)i。

让我只关注这里的角度。

这里是2圆周率/12，或者说是圆周率/6。

这里是3圆周率/12，或者说是圆周率/4。

这里是4圆周率/12，或者说是圆周率/3。

以及这是5圆周率/12。

这里，明显的，是6圆周率/12，也就是圆周率/2。

在我们继续标注之前，

--这能将这里的

数学计算简化一些-- 记住，

我们将需要取这些根的平方。

所以让我们先想一想，如果

我们有某个复数，表达式为a加bi，

让我们想想如果对其进行平方会发生什么。

它将等于a^2

加2ab，减b^2。

或者我们可以将它写作，a^2减b^2 --

这是它的实部-- 然后，加2abi，

其中2ab是它的虚部。

那么我之所以费心将它

写为这个格式，是为了展示出

我们接下来要做的是

要将所有这些复数进行平方，

然后取虚部的绝对值。

所以，实际上重要的的部分是2ab的绝对值，

或者更确切来说，2乘以ab的绝对值。

这些每一个都有对应的情况，

其中a或者b是负数。

比如这里，

让我们设它为a加bi，

如果你有负bi，它就会在这个区域。

所以如果它是a加bi，那么a减bi

就会是在这里。

或者你也可以有负a减bi，

它会在这里，

或者你也可以有负a加bi，它就会在这里。

我之所以这样来讲解，

是因为这样可以展示给你

当你将它们平方后，

再取其平方值的虚部的绝对值，

它们将会是相同的。

因为，ab

的绝对值是ab。

负ab的绝对值还是ab。

所以结果都是相同的。

那么我们可以做的是 --

而且它们每一个都会有相同的对应情况。

所以我们可以做的是找到它们的值，这里

1，2，3，4，5，这五个的值。

然后将我们得到的结果乘以4就可以了，因为

在这个单位圆上有四个，

这样能简化我们的步骤。

还有一个需要我们注意的地方，

我们已经说过了必须要忽略1，

因为我们以及加上了这个根。

不过即使我们忘记忽略它了

也没关系，因为1没有虚部。

1的平方还是1，并不存在虚部。

我们还可以忽略 圆周率/2 角度，或者说是90度，

因为它没有实部。

然后你在这里可以看到，当你将它平方时，

它会到达这里，

而且不会有任何虚部。

当你对它平方时，将会是2，乘以

实部虚部的乘积，

因为它没有实部，所以这里就等于0。

所以这一项不会对结果有任何贡献。

所以我们真正关心的是这里的几个角度。

然后我们将它们平方，找到它们

虚部的绝对值，然后我们

将它们全部乘以4，因为

这样就包括了这些其它的对应项 --

如果你将实部或者虚部变为负数后，

在整个单位圆圈中所有的对应项。

那么让我们想一想。

让我把这些写在这里。

我们现在考虑的z值

是