< Return to Video

Area of a Regular Hexagon

  • 0:00 - 0:05
    我们知道这个由ABCDEF连接成的图形是正六边形
  • 0:05 - 0:08
    而且这个标准的定义明确地告诉我们
  • 0:08 - 0:10
    我们要解决的是六条边的问题 你可以简单地计算
  • 0:10 - 0:12
    你没有必要被告知这是一个六边形
  • 0:12 - 0:15
    但是这个标准的定义让我们知道所有的边
  • 0:15 - 0:17
    所有的六条边都有一样的长度
  • 0:17 - 0:20
    而且所有的六个内角都是一样大小
  • 0:20 - 0:21
    已经足够明确了
  • 0:22 - 0:24
    若是我们得知其中一条边的长度
  • 0:24 - 0:25
    由于这是一个正六边形
  • 0:25 - 0:27
    我们可以得到所有六条边的长度
  • 0:27 - 0:29
    比如说其中一条边是2√3
  • 0:29 - 0:31
    那么我现在所指这条边一样也是2√3
  • 0:31 - 0:33
    同时这条边还是2√3
  • 0:33 - 0:34
    而且我还能告诉绕着这个六边形
  • 0:34 - 0:36
    每一条边都是2√3
  • 0:36 - 0:39
    如果我们要去求这个六边形的面积
  • 0:39 - 0:42
    即找到ABCDEF这个图形的面积
  • 0:42 - 0:45
    求正多边形面积最好的方法
  • 0:45 - 0:47
    是尝试把这个正多边形分解成多个三角形
  • 0:47 - 0:48
    六边形是一种有点特殊的图形
  • 0:48 - 0:50
    也许在以后的视频中
  • 0:50 - 0:52
    我们会考虑更普遍的各种多边形的例子
  • 0:52 - 0:55
    在处理六边形的问题中你能采取的方法是
  • 0:55 - 0:59
    如果我们在这里标出这个点就让我们定义这个点为点G
  • 0:59 - 1:02
    现在我们可以说这个点是六边形的中心
  • 1:02 - 1:04
    而且当我谈论六边形的中心的时候
  • 1:04 - 1:06
    我要说的是这个点不是等距离的
  • 1:06 - 1:09
    从这里到六边形的各个位置因为这不是一个圆
  • 1:09 - 1:11
    但是我们可以说从这个点到各个顶点是等距离的
  • 1:11 - 1:15
    所以GD GC还有GB是一样长的
  • 1:15 - 1:18
    同时GA和GF同上述都是等长的
  • 1:18 - 1:20
    而且GE也是等长的
  • 1:20 - 1:22
    所以我要画一些刚才我所谈论到的
  • 1:22 - 1:23
    这是GE
  • 1:23 - 1:25
    这里是GD
  • 1:25 - 1:27
    这里是GC
  • 1:27 - 1:28
    这所有的线都是相等的
  • 1:28 - 1:32
    还有这里的点G就是中心
  • 1:32 - 1:35
    这个六边形的中心
  • 1:35 - 1:37
    我们知道这个长度和那个长度是相等的
  • 1:37 - 1:38
    同那个长度也是相等的
  • 1:38 - 1:39
    同时还有那个长度
  • 1:39 - 1:40
    那个长度也是一样的
  • 1:40 - 1:41
    还有那个长度都是相等的
  • 1:41 - 1:44
    我们也知道如果我们加
  • 1:44 - 1:46
    如果我们沿着圆移动
  • 1:46 - 1:48
    如果我们沿着圆移动像那样
  • 1:48 - 1:50
    我们就已经移动了360°
  • 1:50 - 1:53
    我们知道这些三角形
  • 1:53 - 1:57
    这些三角形都是相互全等的
  • 1:57 - 1:59
    而且我们能用很多方法去证明它
  • 1:59 - 2:01
    但是最简单的方法是去看它们有两条边
  • 2:01 - 2:04
    它们都有这条边并且这条边是互相全等的
  • 2:04 - 2:07
    因为点G是中心而且它们都有第三条共同的边
  • 2:07 - 2:09
    边长是2√3
  • 2:09 - 2:11
    所以他们全部由于边边边定理它们全部是
  • 2:11 - 2:13
    它们全部是全等的
  • 2:13 - 2:16
    如果它们是全等的
  • 2:16 - 2:19
    那么这个角在这里的这个内角
  • 2:19 - 2:20
    将会是相等的
  • 2:20 - 2:24
    这个将会是同样的对于全部的六个
  • 2:24 - 2:27
    在这里的全部的六个三角形
  • 2:27 - 2:28
    也许我们标记这个为X
  • 2:28 - 2:32
    那是X 那是X 那是X 那是X 那是X 那是x
  • 2:32 - 2:35
    而且如果你将它们全部相加我们已经绕着这个圆
  • 2:35 - 2:38
    我们已经通过了360°而且我们有六个X
  • 2:38 - 2:42
    所以得到了六个X等于360°
  • 2:42 - 2:45
    你将等式的两边都除以6那么你得到了X等于
  • 2:45 - 2:47
    X等于60°
  • 2:47 - 2:49
    X等于60°
  • 2:49 - 2:51
    所有的这些都是60°
  • 2:51 - 2:53
    现在这里有些有趣的性质
  • 2:53 - 2:54
    我们知道这些三角形
  • 2:54 - 2:56
    举个例子比如说三角形GBC
  • 2:56 - 2:58
    我们能应用到这六个三角形中的任何一个
  • 2:58 - 3:00
    这看起来有点小题大做了
  • 3:00 - 3:02
    但是我们知道它们确实是等腰三角形
  • 3:02 - 3:05
    因为这个距离是等于这个距离的
  • 3:05 - 3:08
    所以我们能够利用这条件去找到
  • 3:08 - 3:10
    去找到其他的角度的大小
  • 3:10 - 3:11
    因为这两个底角
  • 3:11 - 3:13
    它是等腰三角形而且这两腰是相等的
  • 3:13 - 3:15
    同样两个底角也是相等的
  • 3:15 - 3:17
    这个角与另一个角是全等的
  • 3:17 - 3:19
    我们将那里的角标为Y
  • 3:19 - 3:26
    所以你可以有Y+Y 即 2Y+60°再加60°
  • 3:26 - 3:28
    将会等于180°
  • 3:28 - 3:30
    因为任意三角形的内角
  • 3:30 - 3:32
    相加都是180°
  • 3:32 - 3:34
    然后从等式的两边都减去60°
  • 3:34 - 3:36
    你得到2Y是等于120°
  • 3:36 - 3:40
    等式的两边都除以2你得到Y等于60°
  • 3:40 - 3:42
    现在这很有趣
  • 3:42 - 3:44
    我可以不用去研究这些三角形
  • 3:44 - 3:46
    就知道这些三角形都是60°-60°-60°三角形
  • 3:46 - 3:49
    借由我们早已证明的结论
  • 3:49 - 3:51
    当我们第一次开始学习等边三角形的时候
  • 3:51 - 3:56
    我们知道等边三角形的内角都是60°
  • 3:56 - 3:57
    对于等边三角形来说
  • 3:58 - 4:00
    所有的边都是相等的
  • 4:00 - 4:02
    所以这是2√3
  • 4:02 - 4:05
    而且像这样这也是2√3
  • 4:05 - 4:06
    还有这里也是2√3
  • 4:06 - 4:09
    所以几乎所有的这些绿色的线都是2√3
  • 4:09 - 4:11
    我已经知道因为它是一个正六边形
  • 4:11 - 4:13
    这道出了所有
  • 4:13 - 4:16
    这六边形的每一条边也是2√3
  • 4:16 - 4:19
    所以我们本来就能利用这些条件
  • 4:19 - 4:22
    我们用这些条件去找到
  • 4:22 - 4:24
    实际上我们不必真的去找到这个部分
  • 4:24 - 4:25
    我等会儿会向你们展示
  • 4:25 - 4:27
    先找到这些三角形中任何一个的面积
  • 4:27 - 4:29
    然后我们只需要将这个面积乘以6
  • 4:29 - 4:32
    专注在这里的三角形
  • 4:32 - 4:34
    思考我们怎么找到它的面积
  • 4:34 - 4:37
    我们知道DC的长度是2√3
  • 4:37 - 4:39
    我们能画一条高在这里
  • 4:39 - 4:42
    我们画一条高像这样
  • 4:42 - 4:45
    然后如果我们画一条高
  • 4:45 - 4:46
    我们知道这是
  • 4:46 - 4:48
    我们知道这是一个等边三角形
  • 4:48 - 4:51
    而且我们能非常简单地证明
  • 4:51 - 4:53
    这两个三角形是对称的
  • 4:53 - 4:54
    它们都是90°
  • 4:54 - 4:56
    我们已经这两个角是60°
  • 4:56 - 4:58
    然后你只需要
  • 4:58 - 5:01
    如果你关注到这两个独立三角形的任何一个
  • 5:01 - 5:03
    你会说它们需要加到180°
  • 5:03 - 5:06
    所以这应该是30°这应该是30°
  • 5:06 - 5:08
    所有的这些角都是相等的
  • 5:08 - 5:10
    它们还有一条公共边
  • 5:10 - 5:11
    所以这两个是全等三角形
  • 5:11 - 5:14
    所以如果我们想要得到这部分的面积
  • 5:14 - 5:17
    在这里的一片派的面积
  • 5:17 - 5:21
    我们只需要找到这片的面积或者先找到这小片
  • 5:21 - 5:22
    在将这小片的面积乘以2
  • 5:22 - 5:24
    或者我们直接找到这个面积再乘以12
  • 5:24 - 5:26
    为了得到整个六边形的面积
  • 5:26 - 5:28
    所以我们怎么找到这个的面积
  • 5:28 - 5:31
    这将是底边的一半
  • 5:31 - 5:35
    所以在这里的长度让我标记为点H
  • 5:35 - 5:37
    DH的长度是√3
  • 5:37 - 5:40
    然后我们是或者我们庆幸地意识到
  • 5:40 - 5:42
    这是一个30°-60°-90°的三角形
  • 5:42 - 5:43
    让我在这里画出来
  • 5:43 - 5:49
    所以这是一个30°-60°-90°的三角形
  • 5:49 - 5:52
    我们知道这长度是√3
  • 5:52 - 5:55
    我们知道而且我们已经计算过它了
  • 5:55 - 5:58
    这是2√3 然而我们并不真的需要它
  • 5:58 - 6:00
    我们真正需要找到的是这条高
  • 6:00 - 6:03
    从这个30°-60°-90°的三角形中找到
  • 6:03 - 6:08
    我们知道60°角的对边是√3
  • 6:08 - 6:09
    是√3
  • 6:09 - 6:11
    乘以30°角的对边
  • 6:11 - 6:14
    所以这也是√3
  • 6:14 - 6:16
    乘以√3
  • 6:16 - 6:18
    再乘以√3
  • 6:18 - 6:20
    √3乘以√3
  • 6:20 - 6:22
    明显等于3
  • 6:22 - 6:26
    所以在这里的这条高等于3
  • 6:26 - 6:30
    如果我们要求的是这个三角形的面积
  • 6:30 - 6:32
    就是在这里的这个三角形
  • 6:32 - 6:34
    是底乘以高的一半
  • 6:34 - 6:37
    所以这小片的面积
  • 6:37 - 6:39
    就是我们底的一半
  • 6:39 - 6:40
    在这里的这个底
  • 6:40 - 6:42
    实际上让我们回头看看
  • 6:42 - 6:44
    我们甚至没有必要担心这件事
  • 6:44 - 6:46
    让我们直接关注这个较大的三角形
  • 6:46 - 6:49
    所以我倒回去一点
  • 6:49 - 6:51
    因为现在我们已经得到了整个的底和高
  • 6:51 - 6:57
    如过我们关注我们得关注这个三角形GDC的面积
  • 6:57 - 6:58
    所以现在我将关注
  • 6:58 - 7:02
    现在我关注在这里的整个三角形
  • 7:02 - 7:06
    这个面积等于底乘以高的一半
  • 7:06 - 7:08
    等于1/2
  • 7:08 - 7:09
    我们的底是多少
  • 7:09 - 7:10
    我们早已经知道我们的底
  • 7:10 - 7:12
    它是我们六边形的一条边
  • 7:12 - 7:13
    它是2√3
  • 7:13 - 7:14
    所以在这里的这个整体
  • 7:14 - 7:17
    所以乘以2√3
  • 7:17 - 7:19
    然后我们想要讲这个乘以我们的高
  • 7:19 - 7:22
    而且我们已经利用30°-60°-90°三角形找到了
  • 7:22 - 7:23
    我们的高是3
  • 7:23 - 7:27
    所以乘以3 消去 1/2 和 2
  • 7:27 - 7:30
    我们剩下了3√3
  • 7:30 - 7:33
    这只是这些的小的楔形物中一个的面积
  • 7:33 - 7:36
    如果我们想要找到整个六边形的面积
  • 7:36 - 7:38
    我们只需要将我们刚才求得的面积乘以6
  • 7:38 - 7:40
    因为这里有六个这样的三角形
  • 7:40 - 7:46
    所以这将等于6乘以3√3
  • 7:46 - 7:50
    即18√3 我们成功得到了六边形的面积
Title:
Area of a Regular Hexagon
Description:

Using what we know about triangles to find the area of a regular hexagon
more » « less
Video Language:
English
Duration:
07:51
xyybobbie added a translation

Chinese, Simplified subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.