1
00:00:00,000 --> 00:00:05,060
我们知道这个由ABCDEF连接成的图形是正六边形

2
00:00:05,070 --> 00:00:07,870
而且这个标准的定义明确地告诉我们

3
00:00:07,880 --> 00:00:10,150
我们要解决的是六条边的问题 你可以简单地计算

4
00:00:10,160 --> 00:00:11,940
你没有必要被告知这是一个六边形

5
00:00:11,950 --> 00:00:14,740
但是这个标准的定义让我们知道所有的边

6
00:00:14,750 --> 00:00:16,840
所有的六条边都有一样的长度

7
00:00:16,850 --> 00:00:20,390
而且所有的六个内角都是一样大小

8
00:00:20,400 --> 00:00:21,490
已经足够明确了

9
00:00:21,500 --> 00:00:23,570
若是我们得知其中一条边的长度

10
00:00:23,580 --> 00:00:25,030
由于这是一个正六边形

11
00:00:25,040 --> 00:00:26,770
我们可以得到所有六条边的长度

12
00:00:26,780 --> 00:00:28,590
比如说其中一条边是2√3

13
00:00:28,600 --> 00:00:31,450
那么我现在所指这条边一样也是2√3

14
00:00:31,460 --> 00:00:33,010
同时这条边还是2√3

15
00:00:33,020 --> 00:00:34,300
而且我还能告诉绕着这个六边形

16
00:00:34,310 --> 00:00:36,270
每一条边都是2√3

17
00:00:36,280 --> 00:00:39,110
如果我们要去求这个六边形的面积

18
00:00:39,120 --> 00:00:41,590
即找到ABCDEF这个图形的面积

19
00:00:41,600 --> 00:00:45,120
求正多边形面积最好的方法

20
00:00:45,130 --> 00:00:46,680
是尝试把这个正多边形分解成多个三角形

21
00:00:46,690 --> 00:00:48,450
六边形是一种有点特殊的图形

22
00:00:48,460 --> 00:00:50,160
也许在以后的视频中

23
00:00:50,170 --> 00:00:52,230
我们会考虑更普遍的各种多边形的例子

24
00:00:52,240 --> 00:00:54,770
在处理六边形的问题中你能采取的方法是

25
00:00:54,780 --> 00:00:59,120
如果我们在这里标出这个点就让我们定义这个点为点G

26
00:00:59,130 --> 00:01:01,830
现在我们可以说这个点是六边形的中心

27
00:01:01,840 --> 00:01:03,750
而且当我谈论六边形的中心的时候

28
00:01:03,760 --> 00:01:06,240
我要说的是这个点不是等距离的

29
00:01:06,250 --> 00:01:08,900
从这里到六边形的各个位置因为这不是一个圆

30
00:01:08,910 --> 00:01:11,390
但是我们可以说从这个点到各个顶点是等距离的

31
00:01:11,400 --> 00:01:14,720
所以GD GC还有GB是一样长的

32
00:01:14,730 --> 00:01:17,690
同时GA和GF同上述都是等长的

33
00:01:17,700 --> 00:01:19,510
而且GE也是等长的

34
00:01:19,520 --> 00:01:21,820
所以我要画一些刚才我所谈论到的

35
00:01:21,830 --> 00:01:23,280
这是GE

36
00:01:23,290 --> 00:01:25,230
这里是GD

37
00:01:25,240 --> 00:01:26,950
这里是GC

38
00:01:26,960 --> 00:01:28,390
这所有的线都是相等的

39
00:01:28,400 --> 00:01:32,000
还有这里的点G就是中心

40
00:01:32,010 --> 00:01:34,970
这个六边形的中心

41
00:01:34,980 --> 00:01:36,810
我们知道这个长度和那个长度是相等的

42
00:01:36,820 --> 00:01:38,310
同那个长度也是相等的

43
00:01:38,320 --> 00:01:39,090
同时还有那个长度

44
00:01:39,100 --> 00:01:39,810
那个长度也是一样的

45
00:01:39,820 --> 00:01:40,760
还有那个长度都是相等的

46
00:01:40,770 --> 00:01:43,770
我们也知道如果我们加

47
00:01:43,780 --> 00:01:45,900
如果我们沿着圆移动

48
00:01:45,910 --> 00:01:48,160
如果我们沿着圆移动像那样

49
00:01:48,170 --> 00:01:49,810
我们就已经移动了360°

50
00:01:49,820 --> 00:01:52,750
我们知道这些三角形

51
00:01:52,760 --> 00:01:56,640
这些三角形都是相互全等的

52
00:01:56,650 --> 00:01:58,550
而且我们能用很多方法去证明它

53
00:01:58,560 --> 00:02:01,260
但是最简单的方法是去看它们有两条边

54
00:02:01,270 --> 00:02:03,550
它们都有这条边并且这条边是互相全等的

55
00:02:03,560 --> 00:02:06,820
因为点G是中心而且它们都有第三条共同的边

56
00:02:06,830 --> 00:02:08,680
边长是2√3

57
00:02:08,690 --> 00:02:11,220
所以他们全部由于边边边定理它们全部是

58
00:02:11,230 --> 00:02:13,310
它们全部是全等的

59
00:02:13,320 --> 00:02:16,240
如果它们是全等的

60
00:02:16,250 --> 00:02:19,350
那么这个角在这里的这个内角

61
00:02:19,360 --> 00:02:20,480
将会是相等的

62
00:02:20,490 --> 00:02:23,960
这个将会是同样的对于全部的六个

63
00:02:23,970 --> 00:02:26,670
在这里的全部的六个三角形

64
00:02:26,680 --> 00:02:27,840
也许我们标记这个为X

65
00:02:27,850 --> 00:02:32,220
那是X 那是X 那是X 那是X 那是X 那是x

66
00:02:32,230 --> 00:02:35,020
而且如果你将它们全部相加我们已经绕着这个圆

67
00:02:35,030 --> 00:02:38,020
我们已经通过了360°而且我们有六个X

68
00:02:38,030 --> 00:02:41,540
所以得到了六个X等于360°

69
00:02:41,550 --> 00:02:44,840
你将等式的两边都除以6那么你得到了X等于

70
00:02:44,850 --> 00:02:46,700
X等于60°

71
00:02:46,710 --> 00:02:48,840
X等于60°

72
00:02:48,850 --> 00:02:50,610
所有的这些都是60°

73
00:02:50,620 --> 00:02:52,730
现在这里有些有趣的性质

74
00:02:52,740 --> 00:02:53,990
我们知道这些三角形

75
00:02:54,000 --> 00:02:55,800
举个例子比如说三角形GBC

76
00:02:55,810 --> 00:02:58,160
我们能应用到这六个三角形中的任何一个

77
00:02:58,170 --> 00:02:59,790
这看起来有点小题大做了

78
00:02:59,800 --> 00:03:02,350
但是我们知道它们确实是等腰三角形

79
00:03:02,360 --> 00:03:04,810
因为这个距离是等于这个距离的

80
00:03:04,820 --> 00:03:07,570
所以我们能够利用这条件去找到

81
00:03:07,580 --> 00:03:09,700
去找到其他的角度的大小

82
00:03:09,710 --> 00:03:11,000
因为这两个底角

83
00:03:11,010 --> 00:03:13,420
它是等腰三角形而且这两腰是相等的

84
00:03:13,430 --> 00:03:14,580
同样两个底角也是相等的

85
00:03:14,590 --> 00:03:16,730
这个角与另一个角是全等的

86
00:03:16,740 --> 00:03:19,320
我们将那里的角标为Y

87
00:03:19,330 --> 00:03:26,320
所以你可以有Y+Y 即 2Y+60°再加60°

88
00:03:26,330 --> 00:03:28,260
将会等于180°

89
00:03:28,270 --> 00:03:30,240
因为任意三角形的内角

90
00:03:30,250 --> 00:03:31,550
相加都是180°

91
00:03:31,560 --> 00:03:34,050
然后从等式的两边都减去60°

92
00:03:34,060 --> 00:03:36,370
你得到2Y是等于120°

93
00:03:36,380 --> 00:03:40,180
等式的两边都除以2你得到Y等于60°

94
00:03:40,190 --> 00:03:42,100
现在这很有趣

95
00:03:42,110 --> 00:03:43,650
我可以不用去研究这些三角形

96
00:03:43,660 --> 00:03:46,180
就知道这些三角形都是60°-60°-60°三角形

97
00:03:46,190 --> 00:03:48,900
借由我们早已证明的结论

98
00:03:48,910 --> 00:03:51,200
当我们第一次开始学习等边三角形的时候

99
00:03:51,210 --> 00:03:55,620
我们知道等边三角形的内角都是60°

100
00:03:55,630 --> 00:03:57,490
对于等边三角形来说

101
00:03:57,500 --> 00:03:59,620
所有的边都是相等的

102
00:03:59,630 --> 00:04:01,680
所以这是2√3

103
00:04:01,690 --> 00:04:04,740
而且像这样这也是2√3

104
00:04:04,750 --> 00:04:06,380
还有这里也是2√3

105
00:04:06,390 --> 00:04:09,240
所以几乎所有的这些绿色的线都是2√3

106
00:04:09,250 --> 00:04:11,410
我已经知道因为它是一个正六边形

107
00:04:11,420 --> 00:04:13,290
这道出了所有

108
00:04:13,300 --> 00:04:15,740
这六边形的每一条边也是2√3

109
00:04:15,750 --> 00:04:18,750
所以我们本来就能利用这些条件

110
00:04:18,760 --> 00:04:21,860
我们用这些条件去找到

111
00:04:21,870 --> 00:04:23,950
实际上我们不必真的去找到这个部分

112
00:04:23,960 --> 00:04:25,000
我等会儿会向你们展示

113
00:04:25,010 --> 00:04:27,040
先找到这些三角形中任何一个的面积

114
00:04:27,050 --> 00:04:28,780
然后我们只需要将这个面积乘以6

115
00:04:28,790 --> 00:04:32,450
专注在这里的三角形

116
00:04:32,460 --> 00:04:34,010
思考我们怎么找到它的面积

117
00:04:34,020 --> 00:04:36,880
我们知道DC的长度是2√3

118
00:04:36,890 --> 00:04:38,980
我们能画一条高在这里

119
00:04:38,990 --> 00:04:42,420
我们画一条高像这样

120
00:04:42,430 --> 00:04:44,690
然后如果我们画一条高

121
00:04:44,700 --> 00:04:45,940
我们知道这是

122
00:04:45,950 --> 00:04:48,230
我们知道这是一个等边三角形

123
00:04:48,240 --> 00:04:51,230
而且我们能非常简单地证明

124
00:04:51,240 --> 00:04:52,640
这两个三角形是对称的

125
00:04:52,650 --> 00:04:53,850
它们都是90°

126
00:04:53,860 --> 00:04:56,490
我们已经这两个角是60°

127
00:04:56,500 --> 00:04:58,330
然后你只需要

128
00:04:58,340 --> 00:05:00,840
如果你关注到这两个独立三角形的任何一个

129
00:05:00,850 --> 00:05:02,750
你会说它们需要加到180°

130
00:05:02,760 --> 00:05:05,930
所以这应该是30°这应该是30°

131
00:05:05,940 --> 00:05:07,630
所有的这些角都是相等的

132
00:05:07,640 --> 00:05:09,530
它们还有一条公共边

133
00:05:09,540 --> 00:05:11,080
所以这两个是全等三角形

134
00:05:11,090 --> 00:05:14,250
所以如果我们想要得到这部分的面积

135
00:05:14,260 --> 00:05:16,990
在这里的一片派的面积

136
00:05:17,000 --> 00:05:20,930
我们只需要找到这片的面积或者先找到这小片

137
00:05:20,940 --> 00:05:22,230
在将这小片的面积乘以2

138
00:05:22,240 --> 00:05:24,360
或者我们直接找到这个面积再乘以12

139
00:05:24,370 --> 00:05:25,720
为了得到整个六边形的面积

140
00:05:25,730 --> 00:05:27,960
所以我们怎么找到这个的面积

141
00:05:27,970 --> 00:05:31,180
这将是底边的一半

142
00:05:31,190 --> 00:05:34,950
所以在这里的长度让我标记为点H

143
00:05:34,960 --> 00:05:37,430
DH的长度是√3

144
00:05:37,440 --> 00:05:40,290
然后我们是或者我们庆幸地意识到

145
00:05:40,300 --> 00:05:42,010
这是一个30°-60°-90°的三角形

146
00:05:42,020 --> 00:05:43,190
让我在这里画出来

147
00:05:43,200 --> 00:05:48,920
所以这是一个30°-60°-90°的三角形

148
00:05:48,930 --> 00:05:52,150
我们知道这长度是√3

149
00:05:52,160 --> 00:05:55,010
我们知道而且我们已经计算过它了

150
00:05:55,020 --> 00:05:57,670
这是2√3 然而我们并不真的需要它

151
00:05:57,680 --> 00:06:00,460
我们真正需要找到的是这条高

152
00:06:00,470 --> 00:06:03,330
从这个30°-60°-90°的三角形中找到

153
00:06:03,340 --> 00:06:07,660
我们知道60°角的对边是√3

154
00:06:07,670 --> 00:06:08,700
是√3

155
00:06:08,710 --> 00:06:10,560
乘以30°角的对边

156
00:06:10,570 --> 00:06:13,820
所以这也是√3

157
00:06:13,830 --> 00:06:16,200
乘以√3

158
00:06:16,210 --> 00:06:17,610
再乘以√3

159
00:06:17,620 --> 00:06:20,310
√3乘以√3

160
00:06:20,320 --> 00:06:21,830
明显等于3

161
00:06:21,840 --> 00:06:26,360
所以在这里的这条高等于3

162
00:06:26,370 --> 00:06:29,660
如果我们要求的是这个三角形的面积

163
00:06:29,670 --> 00:06:32,120
就是在这里的这个三角形

164
00:06:32,130 --> 00:06:34,270
是底乘以高的一半

165
00:06:34,280 --> 00:06:36,540
所以这小片的面积

166
00:06:36,550 --> 00:06:38,770
就是我们底的一半

167
00:06:38,780 --> 00:06:40,110
在这里的这个底

168
00:06:40,120 --> 00:06:41,960
实际上让我们回头看看

169
00:06:41,970 --> 00:06:43,520
我们甚至没有必要担心这件事

170
00:06:43,530 --> 00:06:46,270
让我们直接关注这个较大的三角形

171
00:06:46,280 --> 00:06:48,960
所以我倒回去一点

172
00:06:48,970 --> 00:06:50,990
因为现在我们已经得到了整个的底和高

173
00:06:51,000 --> 00:06:56,760
如过我们关注我们得关注这个三角形GDC的面积

174
00:06:56,770 --> 00:06:58,470
所以现在我将关注

175
00:06:58,480 --> 00:07:02,130
现在我关注在这里的整个三角形

176
00:07:02,140 --> 00:07:05,960
这个面积等于底乘以高的一半

177
00:07:05,970 --> 00:07:07,870
等于1/2

178
00:07:07,880 --> 00:07:08,660
我们的底是多少

179
00:07:08,670 --> 00:07:10,010
我们早已经知道我们的底

180
00:07:10,020 --> 00:07:11,530
它是我们六边形的一条边

181
00:07:11,540 --> 00:07:12,930
它是2√3

182
00:07:12,940 --> 00:07:14,140
所以在这里的这个整体

183
00:07:14,150 --> 00:07:16,940
所以乘以2√3

184
00:07:16,950 --> 00:07:19,250
然后我们想要讲这个乘以我们的高

185
00:07:19,260 --> 00:07:21,840
而且我们已经利用30°-60°-90°三角形找到了

186
00:07:21,850 --> 00:07:23,440
我们的高是3

187
00:07:23,450 --> 00:07:27,180
所以乘以3 消去 1/2 和 2

188
00:07:27,190 --> 00:07:30,000
我们剩下了3√3

189
00:07:30,010 --> 00:07:33,310
这只是这些的小的楔形物中一个的面积

190
00:07:33,320 --> 00:07:35,820
如果我们想要找到整个六边形的面积

191
00:07:35,830 --> 00:07:38,390
我们只需要将我们刚才求得的面积乘以6

192
00:07:38,400 --> 00:07:40,370
因为这里有六个这样的三角形

193
00:07:40,380 --> 00:07:45,680
所以这将等于6乘以3√3

194
00:07:45,690 --> 00:07:49,880
即18√3 我们成功得到了六边形的面积