我们知道这个由ABCDEF连接成的图形是正六边形 而且这个标准的定义明确地告诉我们 我们要解决的是六条边的问题 你可以简单地计算 你没有必要被告知这是一个六边形 但是这个标准的定义让我们知道所有的边 所有的六条边都有一样的长度 而且所有的六个内角都是一样大小 已经足够明确了 若是我们得知其中一条边的长度 由于这是一个正六边形 我们可以得到所有六条边的长度 比如说其中一条边是2√3 那么我现在所指这条边一样也是2√3 同时这条边还是2√3 而且我还能告诉绕着这个六边形 每一条边都是2√3 如果我们要去求这个六边形的面积 即找到ABCDEF这个图形的面积 求正多边形面积最好的方法 是尝试把这个正多边形分解成多个三角形 六边形是一种有点特殊的图形 也许在以后的视频中 我们会考虑更普遍的各种多边形的例子 在处理六边形的问题中你能采取的方法是 如果我们在这里标出这个点就让我们定义这个点为点G 现在我们可以说这个点是六边形的中心 而且当我谈论六边形的中心的时候 我要说的是这个点不是等距离的 从这里到六边形的各个位置因为这不是一个圆 但是我们可以说从这个点到各个顶点是等距离的 所以GD GC还有GB是一样长的 同时GA和GF同上述都是等长的 而且GE也是等长的 所以我要画一些刚才我所谈论到的 这是GE 这里是GD 这里是GC 这所有的线都是相等的 还有这里的点G就是中心 这个六边形的中心 我们知道这个长度和那个长度是相等的 同那个长度也是相等的 同时还有那个长度 那个长度也是一样的 还有那个长度都是相等的 我们也知道如果我们加 如果我们沿着圆移动 如果我们沿着圆移动像那样 我们就已经移动了360° 我们知道这些三角形 这些三角形都是相互全等的 而且我们能用很多方法去证明它 但是最简单的方法是去看它们有两条边 它们都有这条边并且这条边是互相全等的 因为点G是中心而且它们都有第三条共同的边 边长是2√3 所以他们全部由于边边边定理它们全部是 它们全部是全等的 如果它们是全等的 那么这个角在这里的这个内角 将会是相等的 这个将会是同样的对于全部的六个 在这里的全部的六个三角形 也许我们标记这个为X 那是X 那是X 那是X 那是X 那是X 那是x 而且如果你将它们全部相加我们已经绕着这个圆 我们已经通过了360°而且我们有六个X 所以得到了六个X等于360° 你将等式的两边都除以6那么你得到了X等于 X等于60° X等于60° 所有的这些都是60° 现在这里有些有趣的性质 我们知道这些三角形 举个例子比如说三角形GBC 我们能应用到这六个三角形中的任何一个 这看起来有点小题大做了 但是我们知道它们确实是等腰三角形 因为这个距离是等于这个距离的 所以我们能够利用这条件去找到 去找到其他的角度的大小 因为这两个底角 它是等腰三角形而且这两腰是相等的 同样两个底角也是相等的 这个角与另一个角是全等的 我们将那里的角标为Y 所以你可以有Y+Y 即 2Y+60°再加60° 将会等于180° 因为任意三角形的内角 相加都是180° 然后从等式的两边都减去60° 你得到2Y是等于120° 等式的两边都除以2你得到Y等于60° 现在这很有趣 我可以不用去研究这些三角形 就知道这些三角形都是60°-60°-60°三角形 借由我们早已证明的结论 当我们第一次开始学习等边三角形的时候 我们知道等边三角形的内角都是60° 对于等边三角形来说 所有的边都是相等的 所以这是2√3 而且像这样这也是2√3 还有这里也是2√3 所以几乎所有的这些绿色的线都是2√3 我已经知道因为它是一个正六边形 这道出了所有 这六边形的每一条边也是2√3 所以我们本来就能利用这些条件 我们用这些条件去找到 实际上我们不必真的去找到这个部分 我等会儿会向你们展示 先找到这些三角形中任何一个的面积 然后我们只需要将这个面积乘以6 专注在这里的三角形 思考我们怎么找到它的面积 我们知道DC的长度是2√3 我们能画一条高在这里 我们画一条高像这样 然后如果我们画一条高 我们知道这是 我们知道这是一个等边三角形 而且我们能非常简单地证明 这两个三角形是对称的 它们都是90° 我们已经这两个角是60° 然后你只需要 如果你关注到这两个独立三角形的任何一个 你会说它们需要加到180° 所以这应该是30°这应该是30° 所有的这些角都是相等的 它们还有一条公共边 所以这两个是全等三角形 所以如果我们想要得到这部分的面积 在这里的一片派的面积 我们只需要找到这片的面积或者先找到这小片 在将这小片的面积乘以2 或者我们直接找到这个面积再乘以12 为了得到整个六边形的面积 所以我们怎么找到这个的面积 这将是底边的一半 所以在这里的长度让我标记为点H DH的长度是√3 然后我们是或者我们庆幸地意识到 这是一个30°-60°-90°的三角形 让我在这里画出来 所以这是一个30°-60°-90°的三角形 我们知道这长度是√3 我们知道而且我们已经计算过它了 这是2√3 然而我们并不真的需要它 我们真正需要找到的是这条高 从这个30°-60°-90°的三角形中找到 我们知道60°角的对边是√3 是√3 乘以30°角的对边 所以这也是√3 乘以√3 再乘以√3 √3乘以√3 明显等于3 所以在这里的这条高等于3 如果我们要求的是这个三角形的面积 就是在这里的这个三角形 是底乘以高的一半 所以这小片的面积 就是我们底的一半 在这里的这个底 实际上让我们回头看看 我们甚至没有必要担心这件事 让我们直接关注这个较大的三角形 所以我倒回去一点 因为现在我们已经得到了整个的底和高 如过我们关注我们得关注这个三角形GDC的面积 所以现在我将关注 现在我关注在这里的整个三角形 这个面积等于底乘以高的一半 等于1/2 我们的底是多少 我们早已经知道我们的底 它是我们六边形的一条边 它是2√3 所以在这里的这个整体 所以乘以2√3 然后我们想要讲这个乘以我们的高 而且我们已经利用30°-60°-90°三角形找到了 我们的高是3 所以乘以3 消去 1/2 和 2 我们剩下了3√3 这只是这些的小的楔形物中一个的面积 如果我们想要找到整个六边形的面积 我们只需要将我们刚才求得的面积乘以6 因为这里有六个这样的三角形 所以这将等于6乘以3√3 即18√3 我们成功得到了六边形的面积