-
Vi får at vide, at ABCDEF er en regulær heksagon.
-
Ordet heksagon fortæller os,
-
at der er tale om en sekskant, som altså har 6 sider.
-
Det kan man tælle.
-
Ordet regulær fortæller os,
-
at alle 6 sider har samme længde,
-
og at alle indvendige vinkler er lige store.
-
.
-
Vi får længden af den ene side at vide.
-
Da det er en regulær heksagon,
-
får vi faktisk længden på alle siderne derfor.
-
Sidelængden er 2 kvadratrødder af 3.
-
Den her side er 2 kvadratrødder af 3,
-
og den her side er 2 kvadratrødder af 3.
-
Vi kunne fortsætte hele vejen rundt.
-
Alle siderne er 2 kvadratrødder af 3.
-
Vi skal finde arealet af heksagonen.
-
Find arealet af ABCDEF.
-
Den bedste måde at finde arealet af polygoner, altså mangekanter,
-
er at dele dem op i trekanter.
-
Heksagoner er faktisk lidt et særligt tilfælde.
-
Måske skal vi i fremtidige videoer
-
se nærmere på andre, mere generelle polygoner.
-
Med en heksagon kan vi vælge
-
det her punkt og kalde det G.
-
Det er centrum i heksagonen.
-
Når vi taler om centrum i en heksagon,
-
kan det ikke ligge lige langt væk fra alle punkter,
-
for det er jo ikke en cirkel.
-
Det ligger dog lige langt væk fra alle vinkelspidser.
-
GD er det samme som GC og det samme som GB
-
og det samme som GA og GF
-
og GE.
-
Lad os tegne alle de linjestykker.
-
Her er GE.
-
Her er GD.
-
Her er GC.
-
Alle linjestykkerne er lige lange.
-
Det her er punktet G, som er centrum
-
i den her polygon.
-
Den her længde er lig med den her længde
-
og den her længde
-
og den her længde
-
og den her længde
-
og den her længde.
-
De er alle lig hinanden.
-
Hvis vi går hele vejen rundt om cirklen,
-
er der 360 grader.
-
.
-
Vi ved,
-
at de her trekanter vil være kongruente med hinanden.
-
Der er flere måder at vise det på.
-
Det nemmeste er at se på de 2 sider her.
-
De har alle sammen de her 2 sider, som er kongruente.
-
G er jo centrum.
-
De har også den trejde side, nemlig 2 kvadratrødder af 3 tilfælles.
-
På grund af side-side-sidekongruens er
-
de altså alle sammen kongruente.
-
Hvis de alle er kongruente,
-
er de her indvendige
-
vinkler de samme.
-
De er ens i alle 6 trekanter.
-
.
-
Vi kan kalde den vinkel X.
-
Her er X, her, her, her og her er også x.
-
Hvis vi lægger dem sammen, er det ligesom at gå hele vejen rundt i cirklen.
-
Vi får 360 grader, og der er 6 X'er.
-
6X er lig med 360 grader.
-
Vi dividerer begge sider med 6,
-
og X er lig med 60 grader.
-
.
-
Alle de her er 60 grader.
-
Nu sker der noget interessant.
-
.
-
Lad os se på trekant GBC.
-
Det gælder dog for alle trekanterne.
-
Det ligner faktisk brikkerne i spillet Trivial Pursuit.
-
De er helt sikkert ligebenede trekanter.
-
De her afstande er nemlig lig med hinanden.
-
Vi kan bruge den information
-
til at udregne resten af vinklerne.
-
I en ligebenet trekant
-
er de 2 ben lige lange,
-
så de 2 grundvinkler er også lige store.
-
De her vinkler er kongruente.
-
Lad os kalde den for Y.
-
Y plus Y er 2Y. Det er plus 60 grader.
-
Det er lig med 180 grader.
-
De indvendige vinkler i enhver trekant
-
giver nemlig sammenlagt 180 grader.
-
Vi trækker 60 fra begge sider,
-
og nu er 2Y lig med 120.
-
Vi dividerer begge sider med 2, og Y er lig med 60 grader.
-
Det er interessant.
-
Vi kunne have gjort det her med en hvilken som helst trekant.
-
Alle de her trekanter er 60-60-60-trekanter.
-
.
-
Vi ved,
-
at når alle vinklerne i en trekant er 60 grader,
-
har vi at gøre med en ligesidet trekant.
-
Det betyder, at alle siderne har samme længde.
-
Den her er 2 kvadratrødder af 3,
-
og det er den her også.
-
Det samme gælder for den her.
-
Alle de her grønne linjer er 2 kvadratrødder af 3 lange.
-
Det vidste vi faktisk allerede,
-
for det er en regulær heksagon.
-
Hver side af selve heksagonen er 2 kvadratrødder af 3.
-
.
-
Den viden er nyttig.
-
.
-
Vi kan bruge den viden
-
til at finde arealet af enhver af de her trekanter.
-
Derefter kan vi gange det med 6.
-
Lad os kigge på den her trekant.
-
Hvordan finder vi dens areal?
-
Vi ved, at DC er lig med 2 kvadratrødder af 3.
-
Vi kan tegne en højde her.
-
Sådan.
-
.
-
Vi ved,
-
at trekanten er ligesidet.
-
Vi kan meget nemt vise,
-
at de her 2 trekanter er symmetriske.
-
Begge de her vinkler er 90 grader.
-
Vi ved allerede, at de her 2 vinkler er 60 grader.
-
.
-
Vi kan nu kigge på hver af de her 2 trekanter.
-
Det hele skal sammenlagt give 180.
-
Den her må være 30 grader og det samme med den her.
-
Alle vinklerne er ens.
-
De har også en side tilfælles.
-
Det er altså kongruente trekanter.
-
.
-
.
-
Vi kan nu finde arealet af det her stykke
-
og gange det med 2.
-
Vi kan også gange det med 12
-
for at finde hele heksagonens areal.
-
Hvordan gør vi det?
-
Den her er det halve af den her grundlinje.
-
Lad os kalde det her punkt for H.
-
DH er lig med kvadratroden af 3.
-
Vi har forhåbentlig allerede indset,
-
at det her er en 30-60-90-trekant.
-
Lad os tegne det her.
-
Det er en 30-60-90-trekant.
-
Vi ved, at den her længde er kvadratroden af 3.
-
Det har vi allerede udregnet.
-
Den her er 2 kvadratrødder af 3.
-
Vi skal finde højden.
-
I 30-60-90-trekanter ved vi,
-
at siden modsat vinklen på 60 grader er
-
kvadratroden af 3
-
gange siden modsat vinklen på 30 grader.
-
Den er altså kvadratroden af 3
-
gange kvadratroden af 3.
-
.
-
Hvad giver det?
-
Det giver 3.
-
Højden her er altså lig med 3.
-
Vi kan nu bruge formelen for
-
arealet af en trekant.
-
Det er en halv gange grundlinjen gange højden.
-
Arealet af den her lille del
-
er en halv gange grundlinjen.
-
Det er den her.
-
.
-
Lad os lige gå et trin tilbage.
-
Lad os gå direkte til den store trekant GDC.
-
.
-
Nu kender vi nemlig grundlinjen og højden af hele trekanten.
-
Vi vil finde arealet af trekant GDC.
-
.
-
Nu kigger vi på hele den her trekant.
-
Den er lig med en halv gange grundlinjen gange højden.
-
.
-
Hvad er vores grundlinje?
-
Den kender vi allerede.
-
Det er jo en af siderne i heksagonen.
-
Det er 2 kvadratrødder af 3.
-
Det er hele den her del.
-
En halv gange 2 kvadratrødder af 3.
-
Det skal vi gange med højden.
-
Den fandt vi ved at bruge vores viden om 30-60-90-trekanter.
-
Højden er 3.
-
Det er altså gange 3. En halv og 2 udligner hinanden.
-
Vi står tilbage med 3 kvadratrødder af 3.
-
Det er arealet af en af de her små ting.
-
Hvis vi skal finde arealet af hele heksagonen,
-
skal vi gange det med 6.
-
Der er nemlig 6 af de her trekanter.
-
Arealet er altså lig med 6 gange 3 kvadratrødder af 3.
-
Det er 18 kvadratrødder af 3. Vi er færdige.
