Vi får at vide, at ABCDEF er en regulær heksagon.
Ordet heksagon fortæller os,
at der er tale om en sekskant, som altså har 6 sider.
Det kan man tælle.
Ordet regulær fortæller os,
at alle 6 sider har samme længde,
og at alle indvendige vinkler er lige store.
.
Vi får længden af den ene side at vide.
Da det er en regulær heksagon,
får vi faktisk længden på alle siderne derfor.
Sidelængden er 2 kvadratrødder af 3.
Den her side er 2 kvadratrødder af 3,
og den her side er 2 kvadratrødder af 3.
Vi kunne fortsætte hele vejen rundt.
Alle siderne er 2 kvadratrødder af 3.
Vi skal finde arealet af heksagonen.
Find arealet af ABCDEF.
Den bedste måde at finde arealet af polygoner, altså mangekanter,
er at dele dem op i trekanter.
Heksagoner er faktisk lidt et særligt tilfælde.
Måske skal vi i fremtidige videoer
se nærmere på andre, mere generelle polygoner.
Med en heksagon kan vi vælge
det her punkt og kalde det G.
Det er centrum i heksagonen.
Når vi taler om centrum i en heksagon,
kan det ikke ligge lige langt væk fra alle punkter,
for det er jo ikke en cirkel.
Det ligger dog lige langt væk fra alle vinkelspidser.
GD er det samme som GC og det samme som GB
og det samme som GA og GF
og GE.
Lad os tegne alle de linjestykker.
Her er GE.
Her er GD.
Her er GC.
Alle linjestykkerne er lige lange.
Det her er punktet G, som er centrum
i den her polygon.
Den her længde er lig med den her længde
og den her længde
og den her længde.
De er alle lig hinanden.
Hvis vi går hele vejen rundt om cirklen,
er der 360 grader.
.
Vi ved,
at de her trekanter vil være kongruente med hinanden.
Der er flere måder at vise det på.
Det nemmeste er at se på de 2 sider her.
De har alle sammen de her 2 sider, som er kongruente.
G er jo centrum.
De har også den trejde side, nemlig 2 kvadratrødder af 3 tilfælles.
På grund af side-side-sidekongruens er
de altså alle sammen kongruente.
Hvis de alle er kongruente,
er de her indvendige
vinkler de samme.
De er ens i alle 6 trekanter.
.
Vi kan kalde den vinkel X.
Her er X, her, her, her og her er også x.
Hvis vi lægger dem sammen, er det ligesom at gå hele vejen rundt i cirklen.
Vi får 360 grader, og der er 6 X'er.
6X er lig med 360 grader.
Vi dividerer begge sider med 6,
og X er lig med 60 grader.
.
Alle de her er 60 grader.
Nu sker der noget interessant.
.
Lad os se på trekant GBC.
Det gælder dog for alle trekanterne.
Det ligner faktisk brikkerne i spillet Trivial Pursuit.
De er helt sikkert ligebenede trekanter.
De her afstande er nemlig lig med hinanden.
Vi kan bruge den information
til at udregne resten af vinklerne.
I en ligebenet trekant
er de 2 ben lige lange,
så de 2 grundvinkler er også lige store.
De her vinkler er kongruente.
Lad os kalde den for Y.
Y plus Y er 2Y. Det er plus 60 grader.
Det er lig med 180 grader.
De indvendige vinkler i enhver trekant
giver nemlig sammenlagt 180 grader.
Vi trækker 60 fra begge sider,
og nu er 2Y lig med 120.
Vi dividerer begge sider med 2, og Y er lig med 60 grader.
Det er interessant.
Vi kunne have gjort det her med en hvilken som helst trekant.
Alle de her trekanter er 60-60-60-trekanter.
.
Vi ved,
at når alle vinklerne i en trekant er 60 grader,
har vi at gøre med en ligesidet trekant.
Det betyder, at alle siderne har samme længde.
Den her er 2 kvadratrødder af 3,
og det er den her også.
Det samme gælder for den her.
Alle de her grønne linjer er 2 kvadratrødder af 3 lange.
Det vidste vi faktisk allerede,
for det er en regulær heksagon.
Hver side af selve heksagonen er 2 kvadratrødder af 3.
.
Den viden er nyttig.
.
Vi kan bruge den viden
til at finde arealet af enhver af de her trekanter.
Derefter kan vi gange det med 6.
Lad os kigge på den her trekant.
Hvordan finder vi dens areal?
Vi ved, at DC er lig med 2 kvadratrødder af 3.
Vi kan tegne en højde her.
Sådan.
.
Vi ved,
at trekanten er ligesidet.
Vi kan meget nemt vise,
at de her 2 trekanter er symmetriske.
Begge de her vinkler er 90 grader.
Vi ved allerede, at de her 2 vinkler er 60 grader.
.
Vi kan nu kigge på hver af de her 2 trekanter.
Det hele skal sammenlagt give 180.
Den her må være 30 grader og det samme med den her.
Alle vinklerne er ens.
De har også en side tilfælles.
Det er altså kongruente trekanter.
.
Vi kan nu finde arealet af det her stykke
og gange det med 2.
Vi kan også gange det med 12
for at finde hele heksagonens areal.
Hvordan gør vi det?
Den her er det halve af den her grundlinje.
Lad os kalde det her punkt for H.
DH er lig med kvadratroden af 3.
Vi har forhåbentlig allerede indset,
at det her er en 30-60-90-trekant.
Lad os tegne det her.
Det er en 30-60-90-trekant.
Vi ved, at den her længde er kvadratroden af 3.
Det har vi allerede udregnet.
Den her er 2 kvadratrødder af 3.
Vi skal finde højden.
I 30-60-90-trekanter ved vi,
at siden modsat vinklen på 60 grader er
kvadratroden af 3
gange siden modsat vinklen på 30 grader.
Den er altså kvadratroden af 3
gange kvadratroden af 3.
.
Hvad giver det?
Det giver 3.
Højden her er altså lig med 3.
Vi kan nu bruge formelen for
arealet af en trekant.
Det er en halv gange grundlinjen gange højden.
Arealet af den her lille del
er en halv gange grundlinjen.
Det er den her.
.
Lad os lige gå et trin tilbage.
Lad os gå direkte til den store trekant GDC.
.
Nu kender vi nemlig grundlinjen og højden af hele trekanten.
Vi vil finde arealet af trekant GDC.
.
Nu kigger vi på hele den her trekant.
Den er lig med en halv gange grundlinjen gange højden.
.
Hvad er vores grundlinje?
Den kender vi allerede.
Det er jo en af siderne i heksagonen.
Det er 2 kvadratrødder af 3.
Det er hele den her del.
En halv gange 2 kvadratrødder af 3.
Det skal vi gange med højden.
Den fandt vi ved at bruge vores viden om 30-60-90-trekanter.
Højden er 3.
Det er altså gange 3. En halv og 2 udligner hinanden.
Vi står tilbage med 3 kvadratrødder af 3.
Det er arealet af en af de her små ting.
Hvis vi skal finde arealet af hele heksagonen,
skal vi gange det med 6.
Der er nemlig 6 af de her trekanter.
Arealet er altså lig med 6 gange 3 kvadratrødder af 3.
Det er 18 kvadratrødder af 3. Vi er færdige.