WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:05.060
Vi får at vide, at ABCDEF er en regulær heksagon.

00:00:05.070 --> 00:00:07.870
Ordet heksagon fortæller os,

00:00:07.880 --> 00:00:10.150
at der er tale om en sekskant, som altså har 6 sider.

00:00:10.160 --> 00:00:11.940
Det kan man tælle.

00:00:11.950 --> 00:00:14.740
Ordet regulær fortæller os,

00:00:14.750 --> 00:00:16.840
at alle 6 sider har samme længde,

00:00:16.850 --> 00:00:20.390
og at alle indvendige vinkler er lige store.

00:00:20.400 --> 00:00:21.490
.

00:00:21.500 --> 00:00:23.570
Vi får længden af den ene side at vide.

00:00:23.580 --> 00:00:25.030
Da det er en regulær heksagon,

00:00:25.040 --> 00:00:26.770
får vi faktisk længden på alle siderne derfor.

00:00:26.780 --> 00:00:28.590
Sidelængden er 2 kvadratrødder af 3.

00:00:28.600 --> 00:00:31.450
Den her side er 2 kvadratrødder af 3,

00:00:31.460 --> 00:00:33.010
og den her side er 2 kvadratrødder af 3.

00:00:33.020 --> 00:00:34.300
Vi kunne fortsætte hele vejen rundt.

00:00:34.310 --> 00:00:36.270
Alle siderne er 2 kvadratrødder af 3.

00:00:36.280 --> 00:00:39.110
Vi skal finde arealet af heksagonen.

00:00:39.120 --> 00:00:41.590
Find arealet af ABCDEF.

00:00:41.600 --> 00:00:45.120
Den bedste måde at finde arealet af polygoner, altså mangekanter,

00:00:45.130 --> 00:00:46.680
er at dele dem op i trekanter.

00:00:46.690 --> 00:00:48.450
Heksagoner er faktisk lidt et særligt tilfælde.

00:00:48.460 --> 00:00:50.160
Måske skal vi i fremtidige videoer

00:00:50.170 --> 00:00:52.230
se nærmere på andre, mere generelle polygoner.

00:00:52.240 --> 00:00:54.770
Med en heksagon kan vi vælge

00:00:54.780 --> 00:00:59.120
det her punkt og kalde det G.

00:00:59.130 --> 00:01:01.830
Det er centrum i heksagonen.

00:01:01.840 --> 00:01:03.750
Når vi taler om centrum i en heksagon,

00:01:03.760 --> 00:01:06.240
kan det ikke ligge lige langt væk fra alle punkter,

00:01:06.250 --> 00:01:08.900
for det er jo ikke en cirkel.

00:01:08.910 --> 00:01:11.390
Det ligger dog lige langt væk fra alle vinkelspidser.

00:01:11.400 --> 00:01:14.720
GD er det samme som GC og det samme som GB

00:01:14.730 --> 00:01:17.690
og det samme som GA og GF

00:01:17.700 --> 00:01:19.510
og GE.

00:01:19.520 --> 00:01:21.820
Lad os tegne alle de linjestykker.

00:01:21.830 --> 00:01:23.280
Her er GE.

00:01:23.290 --> 00:01:25.230
Her er GD.

00:01:25.240 --> 00:01:26.950
Her er GC.

00:01:26.960 --> 00:01:28.390
Alle linjestykkerne er lige lange.

00:01:28.400 --> 00:01:32.000
Det her er punktet G, som er centrum

00:01:32.010 --> 00:01:34.970
i den her polygon.

00:01:34.980 --> 00:01:36.810
Den her længde er lig med den her længde

00:01:36.820 --> 00:01:38.310
og den her længde

00:01:38.320 --> 00:01:39.090
og den her længde

00:01:39.100 --> 00:01:39.810
og den her længde

00:01:39.820 --> 00:01:40.760
og den her længde.

00:01:40.770 --> 00:01:43.770
De er alle lig hinanden.

00:01:43.780 --> 00:01:45.900
Hvis vi går hele vejen rundt om cirklen,

00:01:45.910 --> 00:01:48.160
er der 360 grader.

00:01:48.170 --> 00:01:49.810
.

00:01:49.820 --> 00:01:52.750
Vi ved,

00:01:52.760 --> 00:01:56.640
at de her trekanter vil være kongruente med hinanden.

00:01:56.650 --> 00:01:58.550
Der er flere måder at vise det på.

00:01:58.560 --> 00:02:01.260
Det nemmeste er at se på de 2 sider her.

00:02:01.270 --> 00:02:03.550
De har alle sammen de her 2 sider, som er kongruente.

00:02:03.560 --> 00:02:06.820
G er jo centrum.

00:02:06.830 --> 00:02:08.680
De har også den trejde side, nemlig 2 kvadratrødder af 3 tilfælles.

00:02:08.690 --> 00:02:11.220
På grund af side-side-sidekongruens er

00:02:11.230 --> 00:02:13.310
de altså alle sammen kongruente.

00:02:13.320 --> 00:02:16.240
Hvis de alle er kongruente,

00:02:16.250 --> 00:02:19.350
er de her indvendige

00:02:19.360 --> 00:02:20.480
vinkler de samme.

00:02:20.490 --> 00:02:23.960
De er ens i alle 6 trekanter.

00:02:23.970 --> 00:02:26.670
.

00:02:26.680 --> 00:02:27.840
Vi kan kalde den vinkel X.

00:02:27.850 --> 00:02:32.220
Her er X, her, her, her og her er også x.

00:02:32.230 --> 00:02:35.020
Hvis vi lægger dem sammen, er det ligesom at gå hele vejen rundt i cirklen.

00:02:35.030 --> 00:02:38.020
Vi får 360 grader, og der er 6 X'er.

00:02:38.030 --> 00:02:41.540
6X er lig med 360 grader.

00:02:41.550 --> 00:02:44.840
Vi dividerer begge sider med 6,

00:02:44.850 --> 00:02:46.700
og X er lig med 60 grader.

00:02:46.710 --> 00:02:48.840
.

00:02:48.850 --> 00:02:50.610
Alle de her er 60 grader.

00:02:50.620 --> 00:02:52.730
Nu sker der noget interessant.

00:02:52.740 --> 00:02:53.990
.

00:02:54.000 --> 00:02:55.800
Lad os se på trekant GBC.

00:02:55.810 --> 00:02:58.160
Det gælder dog for alle trekanterne.

00:02:58.170 --> 00:02:59.790
Det ligner faktisk brikkerne i spillet Trivial Pursuit.

00:02:59.800 --> 00:03:02.350
De er helt sikkert ligebenede trekanter.

00:03:02.360 --> 00:03:04.810
De her afstande er nemlig lig med hinanden.

00:03:04.820 --> 00:03:07.570
Vi kan bruge den information

00:03:07.580 --> 00:03:09.700
til at udregne resten af vinklerne.

00:03:09.710 --> 00:03:11.000
I en ligebenet trekant

00:03:11.010 --> 00:03:13.420
er de 2 ben lige lange,

00:03:13.430 --> 00:03:14.580
så de 2 grundvinkler er også lige store.

00:03:14.590 --> 00:03:16.730
De her vinkler er kongruente.

00:03:16.740 --> 00:03:19.320
Lad os kalde den for Y.

00:03:19.330 --> 00:03:26.320
Y plus Y er 2Y. Det er plus 60 grader.

00:03:26.330 --> 00:03:28.260
Det er lig med 180 grader.

00:03:28.270 --> 00:03:30.240
De indvendige vinkler i enhver trekant

00:03:30.250 --> 00:03:31.550
giver nemlig sammenlagt 180 grader.

00:03:31.560 --> 00:03:34.050
Vi trækker 60 fra begge sider,

00:03:34.060 --> 00:03:36.370
og nu er 2Y lig med 120.

00:03:36.380 --> 00:03:40.180
Vi dividerer begge sider med 2, og Y er lig med 60 grader.

00:03:40.190 --> 00:03:42.100
Det er interessant.

00:03:42.110 --> 00:03:43.650
Vi kunne have gjort det her med en hvilken som helst trekant.

00:03:43.660 --> 00:03:46.180
Alle de her trekanter er 60-60-60-trekanter.

00:03:46.190 --> 00:03:48.900
.

00:03:48.910 --> 00:03:51.200
Vi ved,

00:03:51.210 --> 00:03:55.620
at når alle vinklerne i en trekant er 60 grader,

00:03:55.630 --> 00:03:57.490
har vi at gøre med en ligesidet trekant.

00:03:57.500 --> 00:03:59.620
Det betyder, at alle siderne har samme længde.

00:03:59.630 --> 00:04:01.680
Den her er 2 kvadratrødder af 3,

00:04:01.690 --> 00:04:04.740
og det er den her også.

00:04:04.750 --> 00:04:06.380
Det samme gælder for den her.

00:04:06.390 --> 00:04:09.240
Alle de her grønne linjer er 2 kvadratrødder af 3 lange.

00:04:09.250 --> 00:04:11.410
Det vidste vi faktisk allerede,

00:04:11.420 --> 00:04:13.290
for det er en regulær heksagon.

00:04:13.300 --> 00:04:15.740
Hver side af selve heksagonen er 2 kvadratrødder af 3.

00:04:15.750 --> 00:04:18.750
.

00:04:18.760 --> 00:04:21.860
Den viden er nyttig.

00:04:21.870 --> 00:04:23.950
.

00:04:23.960 --> 00:04:25.000
Vi kan bruge den viden

00:04:25.010 --> 00:04:27.040
til at finde arealet af enhver af de her trekanter.

00:04:27.050 --> 00:04:28.780
Derefter kan vi gange det med 6.

00:04:28.790 --> 00:04:32.450
Lad os kigge på den her trekant.

00:04:32.460 --> 00:04:34.010
Hvordan finder vi dens areal?

00:04:34.020 --> 00:04:36.880
Vi ved, at DC er lig med 2 kvadratrødder af 3.

00:04:36.890 --> 00:04:38.980
Vi kan tegne en højde her.

00:04:38.990 --> 00:04:42.420
Sådan.

00:04:42.430 --> 00:04:44.690
.

00:04:44.700 --> 00:04:45.940
Vi ved,

00:04:45.950 --> 00:04:48.230
at trekanten er ligesidet.

00:04:48.240 --> 00:04:51.230
Vi kan meget nemt vise,

00:04:51.240 --> 00:04:52.640
at de her 2 trekanter er symmetriske.

00:04:52.650 --> 00:04:53.850
Begge de her vinkler er 90 grader.

00:04:53.860 --> 00:04:56.490
Vi ved allerede, at de her 2 vinkler er 60 grader.

00:04:56.500 --> 00:04:58.330
.

00:04:58.340 --> 00:05:00.840
Vi kan nu kigge på hver af de her 2 trekanter.

00:05:00.850 --> 00:05:02.750
Det hele skal sammenlagt give 180.

00:05:02.760 --> 00:05:05.930
Den her må være 30 grader og det samme med den her.

00:05:05.940 --> 00:05:07.630
Alle vinklerne er ens.

00:05:07.640 --> 00:05:09.530
De har også en side tilfælles.

00:05:09.540 --> 00:05:11.080
Det er altså kongruente trekanter.

00:05:11.090 --> 00:05:14.250
.

00:05:14.260 --> 00:05:16.990
.

00:05:17.000 --> 00:05:20.930
Vi kan nu finde arealet af det her stykke

00:05:20.940 --> 00:05:22.230
og gange det med 2.

00:05:22.240 --> 00:05:24.360
Vi kan også gange det med 12

00:05:24.370 --> 00:05:25.720
for at finde hele heksagonens areal.

00:05:25.730 --> 00:05:27.960
Hvordan gør vi det?

00:05:27.970 --> 00:05:31.180
Den her er det halve af den her grundlinje.

00:05:31.190 --> 00:05:34.950
Lad os kalde det her punkt for H.

00:05:34.960 --> 00:05:37.430
DH er lig med kvadratroden af 3.

00:05:37.440 --> 00:05:40.290
Vi har forhåbentlig allerede indset,

00:05:40.300 --> 00:05:42.010
at det her er en 30-60-90-trekant.

00:05:42.020 --> 00:05:43.190
Lad os tegne det her.

00:05:43.200 --> 00:05:48.920
Det er en 30-60-90-trekant.

00:05:48.930 --> 00:05:52.150
Vi ved, at den her længde er kvadratroden af 3.

00:05:52.160 --> 00:05:55.010
Det har vi allerede udregnet.

00:05:55.020 --> 00:05:57.670
Den her er 2 kvadratrødder af 3.

00:05:57.680 --> 00:06:00.460
Vi skal finde højden.

00:06:00.470 --> 00:06:03.330
I 30-60-90-trekanter ved vi,

00:06:03.340 --> 00:06:07.660
at siden modsat vinklen på 60 grader er

00:06:07.670 --> 00:06:08.700
kvadratroden af 3

00:06:08.710 --> 00:06:10.560
gange siden modsat vinklen på 30 grader.

00:06:10.570 --> 00:06:13.820
Den er altså kvadratroden af 3

00:06:13.830 --> 00:06:16.200
gange kvadratroden af 3.

00:06:16.210 --> 00:06:17.610
.

00:06:17.620 --> 00:06:20.310
Hvad giver det?

00:06:20.320 --> 00:06:21.830
Det giver 3.

00:06:21.840 --> 00:06:26.360
Højden her er altså lig med 3.

00:06:26.370 --> 00:06:29.660
Vi kan nu bruge formelen for

00:06:29.670 --> 00:06:32.120
arealet af en trekant.

00:06:32.130 --> 00:06:34.270
Det er en halv gange grundlinjen gange højden.

00:06:34.280 --> 00:06:36.540
Arealet af den her lille del

00:06:36.550 --> 00:06:38.770
er en halv gange grundlinjen.

00:06:38.780 --> 00:06:40.110
Det er den her.

00:06:40.120 --> 00:06:41.960
.

00:06:41.970 --> 00:06:43.520
Lad os lige gå et trin tilbage.

00:06:43.530 --> 00:06:46.270
Lad os gå direkte til den store trekant GDC.

00:06:46.280 --> 00:06:48.960
.

00:06:48.970 --> 00:06:50.990
Nu kender vi nemlig grundlinjen og højden af hele trekanten.

00:06:51.000 --> 00:06:56.760
Vi vil finde arealet af trekant GDC.

00:06:56.770 --> 00:06:58.470
.

00:06:58.480 --> 00:07:02.130
Nu kigger vi på hele den her trekant.

00:07:02.140 --> 00:07:05.960
Den er lig med en halv gange grundlinjen gange højden.

00:07:05.970 --> 00:07:07.870
.

00:07:07.880 --> 00:07:08.660
Hvad er vores grundlinje?

00:07:08.670 --> 00:07:10.010
Den kender vi allerede.

00:07:10.020 --> 00:07:11.530
Det er jo en af siderne i heksagonen.

00:07:11.540 --> 00:07:12.930
Det er 2 kvadratrødder af 3.

00:07:12.940 --> 00:07:14.140
Det er hele den her del.

00:07:14.150 --> 00:07:16.940
En halv gange 2 kvadratrødder af 3.

00:07:16.950 --> 00:07:19.250
Det skal vi gange med højden.

00:07:19.260 --> 00:07:21.840
Den fandt vi ved at bruge vores viden om 30-60-90-trekanter.

00:07:21.850 --> 00:07:23.440
Højden er 3.

00:07:23.450 --> 00:07:27.180
Det er altså gange 3. En halv og 2 udligner hinanden.

00:07:27.190 --> 00:07:30.000
Vi står tilbage med 3 kvadratrødder af 3.

00:07:30.010 --> 00:07:33.310
Det er arealet af en af de her små ting.

00:07:33.320 --> 00:07:35.820
Hvis vi skal finde arealet af hele heksagonen,

00:07:35.830 --> 00:07:38.390
skal vi gange det med 6.

00:07:38.400 --> 00:07:40.370
Der er nemlig 6 af de her trekanter.

00:07:40.380 --> 00:07:45.680
Arealet er altså lig med 6 gange 3 kvadratrødder af 3.

00:07:45.690 --> 00:07:49.880
Det er 18 kvadratrødder af 3. Vi er færdige.