Area of a Regular Hexagon

Using what we know about triangles to find the area of a regular hexagon

اعطينا ان A B C D E F سداسي الاضلاع

وهذا الجزء من سداسي الاضلاع يوضح

اننا نتعامل مع ستة اضلاع ويمكنك ان تقوم بعدهم

ولا يجب ان تبلغ مسبقاً انه سداسي الاضلاع

لكن الجزء المنتظم يسمح لنا بمعرفة جميع الاضلاع

جميع الاضلاع الستة تمتلك الطول ذاته

وجميع الزوايا الداخلية لها نفس القياس

هذا كافي

ومن ثم فقد اعطي لنا طول واحد من الاضلاع

وبما ان سداسي الاضلاع هذا منتظم

فإنه في الواقع المعطى لنا هو طول جميع الاضلاع

وهو 2 × الجذر التربيعي لـ 3

اذاً هذا الضلع طوله 2 × الجذر التربيعي لـ 3

وهذا الضلع طوله 2 × الجذر التربيعي لـ 3

ويمكنني الدوران حول سداسي الاضلاع

كل واحد من هذه الاضلاع يساوي 2 × الجذر التربيعي لـ 3

والمطلوب منا ان نجد مساحة سداسي الاضلاع هذا

اوجد مساحة A B C D E F

وافضل طريقة لايجاد المساحة، وبشكل خاص مساحة المضلعات

هي ان نحاول قسمه الى مثلثان

والسداسيات نوعاً ما تعتبر حالة خاصة

ربما في العروض القادمة

سنفكر بالحالات الخاصة للمضلعات اكثر

بالنسبة لسداسي الاضلاع، ما يمكن ان تفكر به اذا

اذا اخذنا هذه النقطة ودعونا نسميها G

الآن دعونا نفترض انها مركز سداسي الاضلاع

وعندما اتحدث عن مركز سداسي الاضلاع

فأنا اتحدث عن نقطة لا يمكن ان تكون المسافة اليها متساوية

من اي نقطة تقع على سداسي الاضلاع لأنه ليس دائرة

لكن يمكن ان نقول ان المسافة متساوية من جميع الرؤوس

اذاً GD = GC = GB

وايضاً يساوي GA و GF

ويساوي GE

سأرسم بعض من هذه النقاط التي اتحدث عنها

هذا GE

هذا GD

هذا GC

جميع هذه الخطوط تكون متساوية

هنا نقطة اسمها G وتسمى بالمركز

اي مركز سداسي الاضلاع

ونحن نعلم ان هذا الطول مساوياً لذاك الطول

ومساوياً لهذا الطول ايضاً

ومساوياً لذلك الطول

ومساوياً لذلك الطول

ومساوياً لذلك الطول

ونحن نعلم انه اذا اضفنا

اذا درنا حول الدائرة

اذا درنا حول الدائرة بهذا الشكل

سنقطع 360 درجة

ونعلم ان هذه المثلثات

هذه المثلثات جميعها ستكون متطابقة

وهناك عدة طرق اذا اردنا ان نوضح ذلك

لكن ابسط طريقة هي ان لديهما ضلعان

جميعهم يمتلكون هذا الضلع وهذا الضلع المتطابقان

لأن G تقع في المركز، وجميعهم يمتلكون هذا الضلع المشترك

الذي طوله 2 × الجذر التربيعي لـ 3

اذاً جميعهم وباستخدام ضلع ضلع ضلع

يكونوا متطابقين

وبما انهم متطابقين

فإن هذه الزاوية، هذه الزاوية الداخلية

ستكون نفس

ستكون نفسها لجميع هذه

لجميع هذه المثلثات الستة

وربما سنسمي هذه بـ X

هذه الزاية X، هذه الزاية X، هذه الزاية X، هذه الزاية X، هذه الزاية X،

واذا قمت بجمعهم فأنت بذلك تدور حول الدائرة

اي سنحصل على 360 درجة ولدينا ستة من X هذه

بالتالي سنحصل على 6X = 360

نقسم كلا الطرفين على 6، ونحصل على X =

X = 60 درجة

X = 60 درجة

كلها تساوي 60 درجة

الآن هناك شيئ مثير للاهتمام

نحن نعلم ان هذه المثلثات

على سبيل المثال، المثلث GBC

ويمكننا فعل ذلك لأي من هذه المثلثات الستة

تبدو وكأنها قطعة عادية

لكننا نعلم انها مثلثات متساوية الساقين بلا شك

حيث ان هذه المسافة مساوية لهذه المسافة

اذاً يمكننا استخدام تلك المعلومة لايجاد

لايجاد الزوايا الاخرى

لأن زاويتا القاعدة

انه مثلث متساوي الساقين؛ فيه ضلعان متساويان

اذاً زاويتا القاعدة

هذه الزاوية ستكون مطابقة لتلك الزاوية

ويمكننا ان نسمي هذه بـ Y

اذاً لدينا Y+Y اي 2Y+60،
+ 60 درجة

= 180

لأن الزوايا الداخيلة لأي مثلث

مجموعها هو 180

ثم نطرح 60 من كلا الطرفين

ونحصل على 2Y = 120

نقسم كلا الطرفين على 2، فنحصل على Y = 60 درجة

الآن هذا الشيئ مثير للاهتمام

لم اقم بفعل ذلك مع اي من هذه المثلثات

جميع هذه المثلثات 60-60-60

وقد قمنا باثبات هذا منذ البداية

عندما بدأنا بدراسة المثلثات متساوية الاضلاع

نحن نعلم ان جميع زوايا المثلث تساوي 60 درجة

واننا نتعامل مع مثلثات متساوية الاضلاع

ما يعني ان جميع الاضلاع لديها نفس الطول

اذاً هذا طوله 2 × الجذر التربيعي لـ 3

وهذا ايضاً 2 × الجذر التربيعي لـ 3

وهذا 2 × الجذر التربيعي لـ 3 ايضاً

اي ان جميع هذه الاضلاع الخضراء سيكون طولها 2 × الجذر التربيعي لـ 3

وبالطبع نعلم ذلك لأن سداسي الاضلاع هذا منتظم

حيث ان كل

ضلع خارجي من سداسي الاضلاع يساوي 2 × الجذر التربيعي لـ 3

اذاً الآن يمكننا استخدام تلك المعلومة

يمكن استخدام تلك المعلومة لايجاد

في الواقع لا يتوجب علينا ايجاد هذا الجزء

سأريكم بسرعة

لايجاد مساحة اي واحد من هذه المثلثات

ثم نضربه بـ 6

دعونا نركز على --دعونا نركز على هذا المثلث

فكروا في كيفية ايجاد مساحته

نحن نعلم ان طول DC = 2 × الجذر التربيعي لـ 3

فيمكننا ان نضع هذا الارتفاع هنا

سنضع الارتفاع هكذا

ثم اذا وضعنا ارتفاع

نحن نعلم ان هذا

نحن نعلم ان هذا المثلث متساوي الاضلاع

ويمكن ان نوضح بسرعة

ان هذان المثلثان متماثلان

كل من هاتان الزاويتان قياسهما 90 درجة

ونعلم بالطبع ان قياس كل واحدة من هاتان الزاويتان يساوي 60 درجة

ومن ثم

اذا نظرت الى كل واحد من هذان المثلثان بشكل مستقل

فعليك ان تقول، حسناً، يجب ان يكون مجموع زوايا كل مثلث هو 180

اذاً هذه يجب ان تكون 30 درجة؛ وهذه يجب ان تكون 30 درجة

جميع الزوايا متساوية

وكلاهما ايضاً يتشاركان بضلع

اذاً هذان المثلثان متطابقان

اذا اردنا ان نجد مساحة هذه

القطعة الاوسع من هذه الفطيرة

فيمكن ان نجد مساحة هذه القطعة او هذه القطعة البديلة

ثم نضربها بـ 2

او يمكننا ان نجد هذه المساحة ونضربها بـ 12

لسداسي الاضلاع جميعه

اذاً كيف نجد مساحة هذا الشكل؟

حسناً، ستكون نصف طول هذه القاعدة

هذا الطول الموجود هنا --دعوني اسمي هذه النقطة بـ H

DH = الجذر التربيعي لـ 3

واتمنى اننا بالفعل ندرك

ان هذه المثلثات قياس زواياها 30-60-90

دعوني ارسمه هنا

هذا المثلث قياس زواياه 30-60-90

ونعلم ان هذا الطول يساوي الجذر التربيعي لـ 3

نعلم ذلك وقد قمنا بحسابه بالفعل

هذا يساوي 2 × الجذر التربيعي لـ 3 او في الحقيقة لا نحتاجه

وما نحتاجه بالفعل هو ايجاد هذا الارتفاع

ومن 30-60 درجة، فإن المثلثات التي قياس زواياها 90 30-60-90 درجة

نحن نعلم ان الضلع المقابل للزاوية التي قياسها 60 درجة يكون قياسه الجذر التربيعي لـ 3

الجذر التربيعي لـ 3

× الضلع المقابل للزاوية التي قياسها 30 درجة

اذاً هذا سيكون قياسه الجذر التربيعي لـ 3

× الجذر التربيعي لـ 3

× الجذر التربيعي لـ 3

الجذر التربيعي لـ 3 × الجذر التربيعي لـ 3

= 3

اذاً هذا الارتفاع الموجود هنا يساوي 3

فاذا اردنا مساحة هذا المثلث

اي هذا المثلث الموجود هنا

= 1/2 القاعدة × الارتفاع

اذاً مساحة هذه القطعة البديلة

تساوي 1/2 القاعدة × الارتفاع

اي هذه القاعدة الموجودة هنا

في الواقع دعونا نعود خطوة للوراء

ليس علينا ان نهتم لهذا الشيئ

دعونا نذهب بشكل مباشر الى المثلث الاكبر GDC

اذاً دعوني، دعوني ارجع هذا قليلاً

لأن الآن لدينا قاعدة وارتفاع هذا الشيئ كله

اذا كنا نهتم لأمر، اذا كنا نهتم لأمر مساحة المثلث GDC

انا الآن انظر الى

انا الآن انظر الى هذا المثلث كله

هذا يساوي 1/2 × القاعدة × الارتفاع

ما يساوي 1/2

كم قياس القاعدة؟

نحن بالفعل نعرف قياس القاعدة

انها تعتبر ضلع من اضلاع السداسي!

وتساوي 2 × الجذر التربيعي لـ 3

اي كل هذا

اذاً × 2 × الجذر التربيعي لـ 3

ومن ثم سنضرب هذا × الارتفاع

وهذا ما اوجدناه باستخدام قياس زوايا المثلثات 30-60-90

الارتفاع = 3

اذاً × 3 × 1/2، ويتم حذف الـ2

ويتبقى لدينا 3 × الجذر التربيعي لـ 3

هذه هي مساحة واحد من هذه الاوتاد الصغيرة الموجودة هنا

اذا اردنا ان نجد مساحة سداسي الاضلاع كاملاً

فعلينا ان نضرب ذلك بـ 6

لأنه يوجد لدينا ستة من هذه المثلثات

اذاً ستساوي 6 × 3 × الجذر التربيعي لـ 3

اي تساوي 18 × الجذر التربيعي لـ 3 وانتهينا