TITEL: Introductie in i en imaginaire getallen

Inleiding tot i en imaginaire getallen

In deze video wil ik getal i introduceren,

wat soms de imaginaire eenheid wordt genoemd.

Wat je hier gaat zien, en het zal misschien een beetje moeilijk zijn,

om het helemaal te waarderen, is dat het een vreemder getal is dan

die andere rare getallen die we in de wiskunde leren,

zoals pi of e. En het is meer bizar omdat het geen tastbare waarde heeft

zoals we die normaal gesproken wel geven aan getallen.

"i" wordt gedefinieerd als het getal waarvan het kwadraat gelijk is aan min 1.

Dat is de definitie van "i", en dat leidt tot allerlei interessante dingen.

Soms zie je dat "i"gedefinieerd wordt op deze manier:

"i" is gelijk aan de wortel van min 1.

Ik wil je gewoon laten zien dat dit niet fout is, je zal het snappen,

je weet dat als iets in het kwadraat min 1 is, dan is

misschien de wortel ervan min 1.

En dat is dus bijna dezelfde regel

maar ik wil dat je wat voorzichtiger bent, als je dit doet zullen

sommigen mensen zelfs zeggen dat dit fout is,

en het zal blijken dat het fout is wanneer ze zeggen dit fout is.

Maar als je dit doet moet je voorzichtig zijn met de betekenis

van worteltrekken van een negatief getal, en dat gedefinieerd

voor een imaginair getal, en voor wat we later zullen leren, complexe getallen.

Maar voor nu hoef je geen onderscheid te maken,

je hoeft niet te muggenziften over deze definities.

Welnu, wat betreft deze definitie, laten we eens kijken wat deze verschillende machten van "i" zijn.

Omdat je je kunt voorstellen dat, als iets in het kwadraat min 1 is,

als ik dat tot allerlei machten verhef, dan zal je vreemde dingen krijgen.

En wat we zullen zien is dat de machten van i speciaal zijn

omdat ze een cyclus doorlopen door een serie van waarden.

Laten we beginnen met i tot de nulde macht.

En dus kan je zeggen, iets tot de nulde macht is altijd gelijk aan 1

dus i tot de nulde macht is 1, en dat is correct.

En je zou dat ook kunnen afleiden uit deze definitie

maar dit is erg voor de hand liggend, gelijk welk getal tot de nulde, met inbegrip van i, is gelijk aan 1.

Vervolgens, wat is i tot de eerste macht,

wel, elk getal tot de eerste is gewoon dat getal eenmaal.

Dus dat is gewoon gelijk aan i.

Gewoon volgens de definitie van wat het betekent om een exponent te nemen,

dus dat is volledig logisch.

En dan komen we aan i tot de tweede macht.

i tot de tweede macht, per definitie

is gelijk aan min 1.

Laten we i tot de derde macht proberen, in een kleur die ik nog niet gebruikt heb.

i tot de derde, dat is gelijk aan i tot de tweede maal i

En we weten dat i tot de tweede macht gelijk is aan min 1,

dus min 1 maal i - laat ik dat duidelijk schrijven

Dit is hetzeflde als dit, hetgeen hetzelfde is als dat.

i kwdraat is min 1.

Dus als je vermenigvuldigt, min 1 maal i is gelijk aan min i.

Wat gebeurt er nu als je i tot de vierde macht verheft?

Ik zal het hierboven schrijven : i tot de vierde.

Dat is opnieuw gelijk aan i maal i tot de derde macht.

Dus dat is i maal i tot de derde.

Wat was i tot de derde ook alweer? i tot de derde was gelijk aan min i.

Dit hier is min i. En dus wordt i maal i gelijk aan min 1,

maar je hebt nog een minteken hier, dus het wordt i maal i is gelijk aan min 1

en met het minteken erbij krijg je plus 1.

Ik schrijf het even uit. Dit is hetzelfde,

dus dit is i maal min i, hetgeen hetzelfde is als

denk eraan : vermenigvuldiging is commutatief

als je een reeks getallen vermenigvuldigt mag je de volgorde veranderen.

Dit is hetzelfde als min 1 maal i maal i

i maal i is min 1 per definitie.

min 1 maal min 1 is gelijk aan plus 1.

Dus i tot de vierde is hetzelfde als i tot de nulde.

Laten we nu i tot de vijfde proberen.

i tot de vijfde is gelijk aan i tot de vierde maal i.

en we weten wat i tot de vierde is, dat is gelijk aan 1.

Dus dit is 1 maal i

of het is gewoon opnieuw i. Dus opnieuw is dit precies hetzelfde

als i tot de eerste macht.

Laten we nog eens proberen om te zien of het patroon zich verderzet.

Laten we i tot de zevende proberen.

Sorry, i tot de zesde.

Wel, dat is i maal i tot de vijfde,

i tot de vijfde hebben we al uitgewerkt als zijnde gelijk aan i

dus het is i maal i hetgeen per definitie gelijk is aan min 1.

En laten we dit afwerken, we kunnen blijven doorgaan op deze manier

We kunnen hier steeds hogere machten van i zetten.

En we zullen zien dat ze blijven terugkomen.

in de volgende video zal ik tonen hoe je een willekeurig grote macht van i kan nemen,

hoe je kan uitrekenen wat dat gaat zijn.

Maar laten we gewoon aantonen dat de cyclus blijft doorlopen.

i tot de zevende macht is i maal i tot de zesde.

i tot de zesde is min 1. i maal min 1 is gelijk aan min i.

En als je i tot de achtste doet, zal het opnieuw gelijk zijn aan 1.

i tot de negende zal gelijk zijn aan i, en zo voort.