Úvod k "i" a imaginárním číslům

Úvod k "i" a imaginárním číslům

V tomto videu vám
chci představit číslo „i“,

které je někdy nazýváno
imaginární jednotkou.

Co tu uvidíte,
bude možná trochu složitější,

než by se vám líbilo,
je to jedno z těch bizarnějších čísel,

které jsme už v matematice probírali,
jako π nebo „e“…

Je bizarnější, protože nemá
hmatatelnou hodnotu ve smyslu,

který normálně používáme
k tomu, jak definujeme čísla.

„i“ je definováno jako číslo,
jehož druhá mocnina se rovná -1.

Tohle je definice „i“,
a to vede ke spoustě zajímavých věcí.

Někde uvidíte „i“ definováno takto:

„i“ se rovná odmocnině z -1.

Chci jen zdůraznit, že tohle není špatně,
možná vám to dává smysl.

Víte, že něco na druhou je -1,
tak možná, to něco je odmocnina z -1.

Tohle vypadá jako téměř stejná tvrzení,

chci abyste byli pozorní,
když tohle děláte.

Někteří dokonce říkají,
že to není správně.

Pak se nakonec ukazuje, že nemají pravdu.

Ale když tohle děláte musíte být opatrní,
co znamená vzít odmocninu záporného čísla

a definovat tak imaginární,
v budoucnu se naučíme kompelxní čísla.

Ale pro vaše pochopení právě teď
je nemusíme rozlišovat.

Nemusíme dělat rozdíly
mezi těmito definicemi.

S touto definicí, zamysleme se,
co tyhle mocniny „i“ jsou,

protože je-li něco na druhou záporné,

tak když to umocním,
možná nám to dá divné věci.

A co uvidíme je,
že mocniny „i“ jsou velice jasné,

protože je to takový cyklus, kde
mocniny „i“ nabývají pouze určitých hodnot.

Takže můžu začít s „i“ na nultou.

A možná řeknete, cokoliv na nultou je 1,

takže „i“ na nultou je jedna,
a to je pravda.

A to si dokonce můžete
odvodit z té definice.

Ale je to poměrně jasné,
cokoliv na nultou je 1, včetně „i“.

A pak řeknete: „OK, co je „i“ na prvou?“

Cokoliv na prvou, je to samé.

Takže to prostě bude „i“.

Opravdu podle definice
co znamená vzít exponent,

tak to naprosto dává smysl.

A pak máte „i“ na druhou.

„i“ na druhou, podle definice,

„i“ na druhou se rovná -1.

Zkusme „i“ na třetí…

Udělám to barvou,
kterou jsem nepoužil…

„i“ na třetí,
to bude „i na druhou“ krát „i“.

A víme, že „i“ na druhou je -1,

takže -1 krát „i“,
udělám to jasně…

Je to stejné jako tohle,
což je stejné jako tamto.

„i“ na druhou je -1.

Takže to roznásobíme,
-1 krát „i“ se rovná „-i“.

Co se stane,
když vezmeme „i“ na čtvrtou?

Udělám to tady, „i“ na čtvrtou.

No, ještě jednou,
tohle bude „i“ krát „i na třetí“.

Takže „i“ krát „i na třetí“.

No, co bylo „i“ na třetí?
„i“ na třetí bylo „-i“.

Tohle tady je záporné „i“.
A tak „i“ krát „i“ by bylo -1.

Ale tady máte další zápor,
takže to bude „i“ krát „i“, to je -1.

A tady je zápor, takže to bude +1.

Tady to rozepíšu. Tohle je to samé.

Takže tohle je „i“ krát „-i“,

což je to samé jako -1 krát…
Pamatujte, je to komutativní násobení,

když násobíte více čísel,
můžete měnit pořadí.

Tohle je to samé
jako -1 krát „i“ krát „i“.

„i“ krát „i“ je podle definice -1.

-1 krát -1 se rovná +1.

Takže „i“ na čtvrtou je to samé,
jako „i“ na nultou.

Tak teď zkusíme „i“ na pátou.

„i“ na pátou.
Tak to bude jen „i“ na čtvrtou krát „i“.

A my víme, co je „i“ na čtvrtou,
je to 1.

Takže 1 krát „i“, neboli znovu jen „i“.

Takže znovu je to to samé
jako „i“ na prvou.

Zkusme znovu, abychom viděli ten vzorec.

Zkusme „i“ na sedmou.

Pardon, „i“ na šestou.

No, to je „i“ krát „i na pátou“.

„i“ na pátou víme, že je jen „i“,

takže „i“ krát „i“ se rovná,
podle definice, „i“ krát „i“ je -1.

A tak to skončeme, můžeme jít dál a dál.

Můžeme přidávat vyšší a vyšší mocniny „i“.

A znovu to bude cyklus.

V dalším videu vás naučím,
jak když si vezmete náhodnou mocninu „i“,

jak můžete přijít na to, co to bude.

Ale ujasněme si, jak jde ten cyklus.

„i“ na sedmou se rovná
„i“ krát „i na šestou“.

„i“ na šestou je -1.
„i“ krát -1 je „-i“.

A jestli si vezmete „i“ na osmou,
tak znovu to bude 1.

„i“ na devátou bude znovu „i“,
a tak dále a tak dále.