Solving Quadratic Equations by Completing the Square

...

V tomto videu vám ukážu
metodu jménem

doplnění na čtverec.

A co je na ní skvělé, je,
že funguje pro jakoukoliv

kvadratickou rovnici a
je to základ pro

kvadratický vzorec.

A v dalším videu nebo
ve videu následujícím

dokážu kvadratickou rovnici
pomocí doplnění na čtverec.

Ale než to uděláme,
musíme porozumět tomu,

o čem to všechno je.

A stavíme jenom na tom,
co jsme dělali v posledním

videu, kde jsme řešili
kvadratiku

pomocí úplných
čtverců.

Řekněme, že mám kvadratickou rovnici
x na druhou

minus 4x se rovná 5.

Tento prostor sem dávám
záměrně.

V posledním videu jsme viděli,
že tyto rovnice

mohou být jednoduché,
když je levá strana

úplný čtverec.

Doplnění na čtverec spočívá
v tom, že vytvoříme

z kvadratické rovnice úplný čtverec,
upravíme ji, přičteme hodnoty

k oběma stranám nebo je od nich
odečteme tak, aby vznikl

úplný čtverec.

A jak to uděláme?

Aby byla levá strana úplný čtverec,

musí být nějaké číslo
tady.

Nějaké číslo tu musí být, aby,
když mám svoje číslo na druhou,

dostanu toto číslo, a také,
když mám své číslo dvakrát,

dostanu -4.

Pamatujte si to.
Myslím, že to bude

jasné po několika příkladech.

Chci, aby
x na druhou minus 4x plus něco

bylo rovno
x minus a na druhou.

Ještě nevíme,
co je 'a',

ale víme několik věcí.

Když dám něco na druhou...
Takže tohle bude x na druhou minus

2a plus a na druhou.

Takže když se podíváte na tento vzor
tady, musí to být...

Omlouvám se, x na druhou minus 2ax...
Tohle musí být 2ax.

A tohle tady by muselo být
'a' na druhou.

Takže toto číslo, 'a', bude polovina z -4,

'a' tedy musí být -2, že ano?

Protože 2 krát 'a' bude -4.

'a' je tedy -2,
a co je potom 'a' na druhou?

'a' na druhou bude 4.

Tohle se vám nyní může
zdát komplikované,

ale ukazuji vám
zdůvodnění.

Opravdu se jenom podíváte na
tento koeficient tady

a řeknete si, dobře,
co je polovina koeficientu?

Polovina koeficientu je -2.

Takže můžeme říct, že 'a' je rovno -2.
To stejné platí tady.

A když to dáte na druhou,

dáte 'a' na druhou,
dostanete 4.

Takže přidáme 4 sem.

Přidáme 4.

Od první rovnice, kterou jsme kdy dělali,

byste měli vědět, že nikdy nemůžete
něco dělat pouze s jednou stranou

rovnice.

Nemůžete přidat 4 pouze na jednu
stranu rovnice.

Kdyby x na druhou minus 4x bylo 5
a pokud bych přičetl 4,

nebylo by to už rovno 5.

Rovnalo by se to 5 plus 4.

Přidali jsme 4 na levou stranu,
protože jsme chtěli mít

úplný čtverec.

Ale když přidáte něco na levou stranu,
musíte to

přidat i na pravou stranu.

A nyní máme příklad stejný

jako ten v předchozím videu.

Co je tato levá strana?

Přepíšu to celé.

Máme x na druhou minus 4x plus 4
je nyní rovno 9.

Pouze jsme přidali 4 na obě
strany rovnice.

Ale přidali jsme 4, aby tato levá
strana

byla úplný čtverec.

A co je toto?

Které číslo, vynásobeno samo sebou,
je rovno 4,

a když je sečteno samo se sebou,
je rovno -2?

Na to už jsme odpověděli.

Je to -2.

Takže máme x minus 2 krát
x minus 2 je rovno 9.

Nebo to můžeme přeskočit
a napíšeme x minus 2 na druhou

je rovno 9.

A potom, když si vezmete odmocniny
z obou stran, dostanete

x minus 2 je rovno
plus nebo minus 3.

Přičtěte 2 k levé i pravé straně a dostanete
x je rovno plus nebo minus 3.

To nám říká, že 'x' může být rovno
2 plus 3, což je 5.

Nebo 'x' může být rovno
2 minus 3, což je -1.

A jsme hotovi.

Abych to teď zcela ujasnil.

Mohli jste to udělat bez
doplnění na čtverec.

Mohli jsme začít s
x na druhou minus

4x je rovno 5.

Mohli jsme z obou stran
odečíst 5 a dostat

x na druhou minus 4x minus 5
je rovno 0.

A mohli jsme říct, že když máme
-5 krát +1,

potom je výsledek -5 a jejich součet

-4.

Takže mohu říct, že
x minus 5 krát x plus 1

se rovná 0.

A potom můžeme říct,
že x je rovno 5,

nebo x je rovno -1.

A v tomto případě by
tento způsob byl dokonce

rychlejší cestou, jak vyřešit příklad.

Ale výhoda na doplnění na čtverec je,

že funguje vždy.

Vždy funguje nezávisle na tom,
jaký je koeficient

nebo jak složitý je příklad.

A já vám to dokážu.

Udělejme jeden, který by tradičně byl

docela složitý na vyřešení,
pokud bychom použili

faktorizaci, a zejména sdružování nebo

něco podobného.

Řekněme, že máme
10x na druhou minus 30x minus 8

je rovno 0.

Hned od začátku byste mohli říct,

že můžeme vydělit obě strany 2.

To nám příklad trochu zjednoduší.

Vydělme obě strany 2.

Když vydělíte všechno 2,
co dostanete?

Dostaneme
5x na druhou minus 15x minus 4 je rovno 0.

Ale znovu, teď tu máme složitou pětku
před tímto koeficientem

a museli bychom to
vyřešit sdružováním,

což je dost obtížná metoda.

Ale nyní můžeme jít rovnou na
doplnění na čtverec.

Abych doplnil na čtverec,
budu dělit pěti, a dostanu tak 1 jako

hlavní koeficient tady.

A uvidíte, že je to jiné, než co jsme

tradičně dělali.

Takže když to celé vydělím pěti...
Mohl jsem to prostě

vydělit deseti na samém začátku,
ale chtěl jsem nejdřív

udělat tento krok,
abych vám ukázal,

že nám tohle nic neusnadní.

Vydělme všechno pěti.

Když vydělíte všechno pěti, dostanete
x na druhou minus 3x

minus 4/5 je rovno 0.

Můžete se zeptat, proč vůbec
děláme faktorizaci pomocí

sdružování?

Vždyť můžeme vždy vydělit hlavním
koeficientem

a zbavit se tohoto.

Můžeme tohle vždy přeměnit na 1 nebo -1,
když dělíme

správným číslem.

Všimněte si ale, že tím dostaneme
tento nepříjemný zlomek 4/5.

Je tedy velice složité řešit to jen pomocí
faktorizace.

Musíte se zeptat, která dvě čísla,

když vezmu produkt (součin),
se rovnají -4/5?

To je zlomek.
A když vezmu jejich součet,

se rovnají -3?

Toto je složitý problém pro
faktorizaci.

Je složité použít na to
faktorizaci.

Nejlepší věc je
doplnit na úplný čtverec.

Přemýšlejme chvíli nad tím,
jak to přeměnit

na úplný čtverec.

Co chci udělat... A uvidíte to provedené

dvěma způsoby a ukážu vám oba, protože

učitelé oba používají.
Chci dostat 4/5 na druhou stranu.

Takže přičtu 4/5 k oběma stranám rovnice.

Nemusíte to dělat tímto způsobem,
ale chci se zbavit

těch 4/5.

A co dostaneme, když přičteme 4/5
k oběma

stranám rovnice?

Levá strana rovnice bude

x na druhou minus 3x,
žádné 4/5 tady nejsou.

Nechám tu trochu prostoru.

A to bude rovno 4/5.

Stejně jako u posledního příkladu,

chceme tuto levou stranu
proměnit na úplný čtverec.

Jak to uděláme?

Zeptáme se, jaké číslo krát 2

je rovno -3?

Některá čísla krát 2 se rovnají -3.

Nebo jednoduše vezmeme
-3 a vydělíme to 2,

což je -3/2.

A dáme -3/2 na druhou.

V tomto případě řekneme,
že 'a' je -3/2.

A co dostaneme za -3/2
na druhou?

Dostaneme 9/4.

Vzal jsem polovinu tohoto
koeficientu na druhou a

dostal 9/4.

Celý účel je proměnit tuto
levou stranu

na úplný čtverec.

Cokoliv uděláte jedné straně,
musíte

udělat i na té druhé.

Takže jsme přičetli 9/4 tady,
přičteme 9/4 i tady.

A co z toho vznikne?

Dostaneme
x na druhou minus 3x plus 9/4 se rovná...

Zkusíme dostat společný jmenovatel.

4/5 je totéž jako 16/20.

Vynásobíme čitatel a jmenovatel 4.

Plus jmenovatel 20.

9/4 je totéž

(když vynásobíte čitatel 5)
jako 45/20.

A co je 16 plus 45?

Začíná to být trochu zamotané,

ale to je ta zábava, myslím,

doplňování na čtverec.

16 plus 45.

To je 55... 61.

Takže tohle se musí rovnat 61/20.

Takže to jenom přepíšu.

x na druhou minus 3x plus 9/4
je rovno 61/20.

Šílené číslo.

Nyní tohle, alespoň na
levé straně,

je úplný čtverec.

Toto je to samé jako
x minus 3/2 na druhou.

A to bylo záměrem.

-3/2 krát -3/2 je 9/4.

-3/2 plus -3/2
je rovno -3.

Takže toto na druhou je
rovno 61/20.

Můžeme vzít odmocninu z obou
stran a dostaneme

x minus 3/2 je rovno plus nebo minus

odmocnina z 61/20.

A nyní můžeme přičíst 3/2
k oběma stranám rovnice

a dostaneme
x je rovno 3/2 plus nebo minus

odmocnině z 61/20.
A toto je šílené číslo

a snad je vám jasné,
že by nebylo možné

(tedy alespoň já bych nebyl schopen)

dostat se k tomuto číslu
pouze pomocí faktorování.

A jestli chcete jejich opravdové hodnoty,

můžete si vzít kalkulačku.

...

A všechno tohle vymažu.

...

A 3/2... Udělejme kladnou verzi
první. Takže chceme 3

vydělit 2 plus druhá odmocnina.
Chceme si vybrat tu

malou žlutou odmocninu.

Takže odmocnina z 61 děleno 20, což je
3,24.

To je šílených 3,2464, já napíšu
3,246.

To je zhruba rovno 3,246
a to byla pouze

kladná verze.

Zkusme možnost z odečtením.

Náš druhý vstup...
Jestli dáte druhý a potom zadáte,

že chceme ten žlutý vstup,
to je, proč jsem zvolil

to druhé tlačítko.

Zmáčknu enter, zadá to, co jsme zadali,
a my můžeme prostě změnit

to kladné, nebo přičítání na odečítání,

a dostaneme -0,246.

Máme -0,246.

A můžeme si ověřit,
že toto sedí na naši

původní rovnici.

Naše rovnice byla tady.

Ověřím to jenom pro jeden
způsob.

...

Takže druhá odpověď na vaší grafické
kalkulačce bude

poslední výsledek, který používáte.

Takže když použijete
proměnnou "výsledek", to je

toto číslo tady.

Když máme výsledek na druhou...
Používám výsledek

reprezentující -0,24.

Výsledek na druhou minus 3 krát
výsledek minus 4/5...

4 děleno 5... Rovná se...

A tohle je jen trochu vysvětlení.

Toto nezachová celé číslo,
jde to pouze do určité

míry přesnosti.

Zachová to jen několik
číslic.

Takže když se to vypočítalo za pomoci
tohoto čísla tady,

dostalo to 1 krát 10 na -14.

To je 0,0000...

A to je 13 nul a potom 1.

Desetinná čárka, potom 13 nul a 1.

A to je v podstatě 0.

Nebo, kdybyste tady měli
přesný výsledek

a probrali se nekonečnou úrovní přesnosti,
nebo možná,

kdybyste to nechali ve tvaru odmocniny,
dostanete,

že je to opravdu rovno 0.

Doufám, že vám toto bylo
užitečné, tento celý proces doplnění

na úplný čtverec.

A nyní to rozvineme na opravdový
kvadratický vzorec,

který můžeme jednoduše
dosadit

a vyřešit tím jakoukoliv kvadratickou
rovnici.

...