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In diesem Video beschäftigen wir uns
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mit einem der wichtigsten Sätze
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der Physik überhaupt.
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Nämlich mit dem Energieerhaltungssatz.
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Zuerst schauen wir uns an,
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wie sich die Energieerhaltung geschichtlich
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entwickelt hat.
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Danach klären wir einige Begriffe,
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die für das bessere Verständnis
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der Energieerhaltung notwendig sind.
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Dann folgt der wichtigste Teil
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des Videos,
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wo wir uns kinetische und potentielle
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Energien anschauen und wie sie
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zur Energieerhaltung führen.
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Das Ganze schließen wir mit
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eine Beweis der Energieerhaltung
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mit Hilfe des Newtonschen Axioms.
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Und ganz zum Schluss werden
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Beispiele folgen, die dir zeigen,
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wie du Energieerhaltung in der
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Realität einsetzen kannst.
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Falls du keinen Bock auf das ganze Video hast,
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einfach zu den Abschnitten wechseln,
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die dich interessieren.
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Los gehts!
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Das Prinzip der Energieerhaltung
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hat eine lange Geschichte,
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die erst mit der Formulierung des
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Energiebegriffes begann.
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Das Wort "Energie" taucht
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zum ersten Mal bei Aristoteles auf
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und steht dort für das Prinzip des Bewegens.
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Das Prinzip, welches das Mögliche
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zum Wirklichen machte.
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Schon Leonardo da Vinci stellte fest,
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dass es eine Unmöglichkeit wäre ein Gerät zu bauen,
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welches nach der einmaligen Inbetriebnahme,
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unaufhörlich weiter arbeitet.
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Ein Perpetuum mobile war und ist nicht umsetzbar,
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da ein Teil der Energie immer aus dem System,
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zum Beispiel durch Wärmeentstehung schwindet,
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sodass das Gerät keine Arbeit mehr verrichten kann.
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Gottfried Wilhelm Leibniz versuchte als einer der ersten,
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eine mathematische Beschreibung der Energie zu formulieren,
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die mit der Bewegung zusammenhing.
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Er bezeichnete die Bewegungsenergie als
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"lebende Kraft", Vis Viva.
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Seine Formel für die lebende Kraft lautete:
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mv².
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Zu Leibniz-Zeiten wurde ein entscheidendes Experiment
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von einem französischen Physiker
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Willem Jacob’s Gravesande gemacht,
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welches später für die Beschreibung
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der Energie aufgegriffen wurde.
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Er nahm zwei Messingkugeln,
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die er mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten auf
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eine weiche Oberfläche fallen ließ.
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Dabei hatte eine doppelt so schnelle Kugel,
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eine viermal so tiefe Grube hinterlassen.
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Bei dreifacher Geschwindigkeit,
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war die entstandene Grube sogar neun mal so tief.
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Nun, als Leibniz und Newton schon längst tot waren,
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manifestierte sich eher die Newtons
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Philosophie der Bewegungsgröße, nämlich:
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eine Kraft F eingewirkt auf ein Objekt
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für eine bestimmte Zeit Δt
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ist die Änderung der Bewegungsgröße.
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Ein französisches Fräulein, Émilie du Châtelet,
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eine gute Freundin von dem weltberühmten
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Philosophen Voltaire und die Anhängerin der Vis-viva Formel,
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war keine Pussy, die Angst hatte
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gegen die Mehrheit der Männerwelt vorzugehen.
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Nein! Mit Hilfe der Vis-Viva Formel von Leibniz
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und den experimentellen Ergebnissen von Gravesande
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zeigte sie die Richtigkeit der Leibniz Philosophie der Bewegung,
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nämlich eine Kraft F eingewirkt für eine Strecke Δd
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ist die Änderung der Vis-Viva.
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Heute wird die Newtons Formel mv als Impuls bezeichnet,
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während die Formel von Leibniz die Bewegungsenergie darstellt.
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Später wurde die Vis-Viva Formel mv^2
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durch den Franzosen Gaspard-Gustave Coriolis
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zu 1/2mv^2 korrigiert,
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was heute als kinetische Energie bekannt ist.
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Die heutige Bezeichnung "kinetische Energie"
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geht übrigens auf Lord Kelvin zurück.
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Kelvin - nicht Kevin!
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1798 - führte Benjamin Thompson
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Messungen der Reibungswärme durch
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und kam auf die Idee,
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dass Wärme eine Form der Bewegungsenergie war.
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Der Engländer Thomas Young,
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von dem übrigens das Doppelspaltexperiment stammt,
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benutzte als erster den Begriff Energie
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und zwar als eine Summe kinetischer und potentieller Energien.
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In einer Publikation schrieb er:
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"The product of the mass of a body
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into the square of its velocity
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may properly be termed its energy."
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Als Julius Robert Mayer, ein deutscher Arzt,
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sich über verschiedene Blutfärbungen wunderte;
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je nachdem wo er sich gerade
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mit seinem Handelsschiff befand,
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kam er ebenfalls wie Benjamin Thompson auf den Gedanken,
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dass Wärme und Bewegung keine gänzlich
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verschiedenen Erscheinungen waren,
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sondern beide eine Form von Energie darstellten.
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Der junge Arzt äußerte einen sehr entscheidenden Satz
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bezüglich der Energieerhaltung.
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Er sagte, dass die Energie weder erzeugt
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noch vernichtet werden kann.
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Das war eine wichtige Erkenntnis,
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die zum modernen Verständnis von Energie geführt hatte.
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Auf die gleiche Erkenntnis kam ein paar Jahre später
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ein britischer Physiker James Prescott Joule.
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Er entdeckte unter anderem die Gleichheit
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von mechanischer Arbeit und Wärme.
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Dazu führte er beispielsweise den nach ihm
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benannten Joule-Versuch durch,
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wo er einer thermisch isolierten Wassermenge
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mechanische Arbeit von außen zuführte und danach
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die erhöhte Temperatur des Wassers maß.
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Es sah wohl so aus,
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dass die Wärme einfach nur eine andere Form
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der mechanischen Arbeit war.
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Es war etwas Gleiches,
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nur eben in einer anderen Form.
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Wärme, Arbeit...
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das alles schien auf etwas Gleiches hinauszulaufen.
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Bedauerlicherweise führte die Energieerhaltung
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zu einem rechtlichen Streit zwischen
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Robert Mayer und dem Herrn Joule.
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Obwohl Robert Mayer als erster
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die Energieerhaltung formulierte,
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wurde der Streit trotzdem von Joule gewonnen.
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Deshalb wird heute die Einheit der Energie
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nicht in "Mayer", sondern in "Joule" angegeben.
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Der Verlust des rechtlichen Streits
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konnte Mayer nicht verkraften,
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also sprang er in einem Nervenzusammenbruch
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aus dem 2. Stock seines Hauses...
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Blieb jedoch am Leben.
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Der Weg vom mechanischen Wärmeäquivalent
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zu einer Formulierung des 1. Hauptsatzes
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als Energieerhaltungssatz
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war dem deutschen Physiker Hermann von Helmholtz vorbehalten.
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1847 veröffentlichte er die Arbeit :
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"Über die Erhaltung der Kraft",
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in der er den allgemeinen Energieerhaltungssatz
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ausführlich und vorallem wissenschaftlich formulierte.
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Doch, was die Energieerhaltung
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und andere Erhaltungssätze,
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zu einer Grundlage der Physik machte,
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war das sogenannte Noether-Theorem,
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von einer deutschen Mathematikerin Emmy Noether.
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Es besagt, dass man Erhaltungssätze
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als eine prinzipielle Symmetrie der Welt auffassen kann.
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Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie
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eines physikalischen Systems
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gehört eine Erhaltungsgröße.
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Das heißt: es gibt bestimmte Merkmale eines Systems,
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die unverändert bleiben,
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wenn wir es drehen oder spiegeln oder oder oder.
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Die erste angebliche Verletzung
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des Energie- und Impulserhaltungssatzes
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wurde beim Betazerfall festgestellt.
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Denn beim Betazerfall
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fehlte ein Teil der Energie.
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Ein Neutron zerfiel in ein Proton und ein Elektron,
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deren Energie kleiner war als die des Neutrons.
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Später wurde aber dieses Rätsel durch
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den österreichischen Physiker Wolfgang Pauli gelöst,
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indem er ein schwach wechselwirkendes Teilchen,
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das sogenannte Neutrino voraussagte.
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Und dieses Teilchen
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wurde tatsächlich 23 Jahre später,
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in einem der ersten großen Kernreaktoren
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experimentell nachgewiesen.
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Kommen wir nun zu den Begriffen,
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die wir noch klären sollten,
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um die Energieerhaltung besser zu verstehen.
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Einer dieser Begriffe ist das sogenannte Kraftfeld.
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Wenn wir eine Masse an irgendeinem Ort
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in der Nähe des Gravitationsfeldes der Erde platzieren,
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dann erfährt diese Masse eine bestimmte
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konstante Kraft, die ausschließlich
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von der Höhe abhängt und nicht vom Verlauf der Zeit.
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Wir sind also in der Lage jedem dieser Orte
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eine Kraft zuzuordnen, die den jeweiligen Ort charakterisiert.
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Das klassische Kraftfeld ist also dieser Raum,
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in dem an jedem Punkt dieses Raumes,
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eine gewisse Kraft wirkt, wenn wir dort ein Objekt platzieren.
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Diese ganze Summe an Kräften,
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die zum Erdmittelpunkt gerichtet sind,
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stellen das Gravitationsfeld dar.
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In diesem Fall ist es sogar ein konservatives Feld.
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Konservatives Feld heißt:
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es wäre völlig egal, ob ich ein Objekt
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von der Höhe h1 auf Höhe h2 auf diesem Weg,
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oder auf diesem Weg bringe.
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In einem konservativen Feld,
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wie im Falle des Gravitationsfeldes,
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ist die Höhendifferenz des Start- und Endpunktes entscheidend,
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nicht der Weg an sich.
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Auch, wenn ich das Objekt sehr sehr schnell
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zum Endpunkt bringe oder ganz ganz langsam;
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energetisch kommt das Gleiche wieder raus.
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Die Reibung dagegen ist ein gutes Beispiel
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für ein nicht-konservatives Kraftfeld.
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Denn bei dem Weg bis zum Punkt h2
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würde das Objekt ein Teil seiner Energie an die Umgebung
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aufgrund der Reibung verlieren,
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zum größten Teil in Form von Wärme.
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Ein längerer Weg würde also dementsprechend
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mehr Energie kosten, als ein kürzerer Weg.
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Die Ausübung der Schwerkraft
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durch das konservative Kraftfeld der Erde,
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hat zur Folge, dass sich das Objekt
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in Richtung des Erdmittelpunktes beschleunigt wird.
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Betrachten wir irgendein Intervall zweier Orte,
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z.B. die Strecke zwischen s1 und s2
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die mittels der Krafteinwirkung
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von einem Objekt zurückgelegt wurde,
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dann ist die verrichtete Arbeit das Produkt
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aus der Kraft und der Verschiebung vom Ort s1 zum Ort s2.
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Die Arbeit ist eine skalare Größe.
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Ich weiß nicht, wie weit du in Mathe bist... aber,
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wir multiplizieren hier zwei Vektoren,
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zwei gerichtete Größen miteinander,
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nämlich den Kraftvektor mit dem Ortsvektor,
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und das ergibt eine reine Zahl,
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einen sogenannten Skalar.
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Das Skalarprodukt berücksichtigt nur die Kraftkomponente,
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die in Richtung des Weges zeigt.
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Um also die Arbeit im physikalischen Sinne
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verrichten zu können,
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muss die Kraft parallel zum Weg
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oder eben unter einem bestimmten Winkel wirken,
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aber nicht rechtwinklig;
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denn das Produkt zweier senkrechter Vektoren
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ist Null und somit auch die Arbeit.
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Es gilt die Beziehung:
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W=Fs∗cos(α).
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Wenn du also ein Gewicht anhebst,
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dann verrichtest du eine Arbeit, die notwendig ist,
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um das Gewicht anzuheben.
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Wenn du dann so stehen bleibst
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oder mit dem angehobenen Gewicht anfängst zu gehen,
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dann verrichtest du im physikalischen Sinne keine Arbeit,
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denn der Weg steht senkrecht zur Kraft.
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Die Arbeit kann entweder positiv
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oder negativ sein. Also mit Vorzeichen...
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Und das ist ganz praktisch, denn damit können wir sofort sehen,
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ob am Objekt oder vom Objekt Arbeit verrichtet wird.
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Wenn wir am Objekt die Arbeit verrichten,
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dann ist das Vorzeichen positiv,
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denn wir fügen dem Objekt zusätzliche Energie zu.
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Und, wenn die Arbeit vom Objekt verrichtet wird,
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dann ist sie entsprechend negativ,
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denn wir ziehen ja ihm die Energie ab.
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Das Schwerefeld der Erde zum Beispiel,
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übt eine Kraft auf das Objekt aus,
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führt ihm also eine Energie zu.
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Zusammengefasst lässt sich sagen:
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Arbeit, die einem System zugeführt
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oder vom System abgeführt wird,
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wird als Energie abgespeichert.
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Je mehr Energie das System besitzt,
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desto mehr Arbeit kann es verrichten.
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Arbeit ist ein Prozess. Energie ist ein Zustand.
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Die Einheit der Energie,
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benannt nach einem britischen Physiker, ist Joule.
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Ein Joule ist die Energiemenge, die benötigt wird,
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um eine Sekunde lang, eine Leistung von einem Watt zu erbringen.
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Eine gewöhnliche Glühlampe
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besitzt zum Vergleich 100 Watt Leistung.
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Wir bräuchten also 100 Joule,
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um die Glühlampe eine Sekunde leuchten zu lassen.
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Grundsätzlich lässt sich sagen:
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Unterschiedliche Energieformen können
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ineinander umgewandelt werden.
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Sei es die chemische Energie, Gravitationsenergie,
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Wärmeenergie oder oder oder.
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Umwandlung ja; Vernichtung und Erzeugung - nein.
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Die Gesamtenergie ist zu jedem Zeitpunkt konstant,
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sie entsteht nicht aus dem Nichts.
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Natürlich unter der Voraussetzung,
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dass wir ein abgeschlossenes System betrachten.
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Es darf also nicht mit der Umgebung wechselwirken.
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Rein theoretisch versteht sich!
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In der Realität findet immer irgendwo eine Wechselwirkung statt.
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Ein System lässt sich, praktisch gesehen,
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nicht komplett von der Außenwelt isolieren.
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Die nicht mögliche Isolation des Systems
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wäre das eine Problem.
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Das andere Problem ist die Ausdehnung des betrachteten Objekts.
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Bei der Berechnung der Energie oder Arbeit,
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betrachten wir Objekte, z.B. Autos oder Planeten als Punktmassen.
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Das heißt die ganze Masse des Autos
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oder des Planeten ist in einem
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unendlich kleinen Punkt konzentriert;
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was in der Realität natürlich nicht der Fall ist.
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Also dienen die ganzen Berechnungen der Punktmechanik
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lediglich einer Näherung an die Realität,
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die mathematisch sehr einfach aufgebaut ist
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und trotzdem relativ genaue Ergebnisse liefert.
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Erhaltungsgrößen wurden eingeführt,
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weil sie eine Möglichkeit bieten,
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mit deren Hilfe physikalische Vorgänge zu berechnen
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und zwar auf einer einfachen Art und Weise,
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denn wir müssen beispielsweise keine
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Bahngleichung des Pendels aufstellen,
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um etwas über seine Geschwindigkeit
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bei einem bestimmten Ort sagen zu können.
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Wir können sie einfach mit dem Energieerhaltungssatz abschätzen.
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Dazu müssen wir lediglich die Anfangsbedingungen kennen.
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Man kann mit dem Energieerhaltungssatz jedoch
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nichts über die Zeit aussagen;
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man kann nicht sagen, wann das Pendel eine bestimmte Lage erreicht,
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dazu müssten wir die Bahnkurve kennen.
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Lassen wir nun einen Apfel aus 10 Meter Höhe fallen.
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Dann aus 20 und dann aus 50.
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Wir werden feststellen, dass das Einschlagloch deutlich tiefer ist,
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wenn der Apfel aus einer größeren Höhe fallen gelassen wird.
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Bei dieser Beobachtung äußert sich
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die sogenannte potentielle Energie,
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oder auch Lageenergie genannt.
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Dabei wären die Einschlaglöcher deutlich tiefer,
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wenn wir das gleiche Experiment auf dem Jupiter durchführen würden.
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Da ist nämlich
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die Fallbeschleunigung deutlich größer,
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was mit einem stärkeren Gravitationsfeld verbunden ist.
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Die potentielle Energie bezieht sich nicht nur auf Gravitationsfelder,
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sondern auch auf z.B. elektrische oder magnetische Felder.
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Die verwendete Formel für Höhenenergie im Gravitationsfeld:
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E = mgh ist nur eine Näherung,
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denn je weiter wir von der Erde entfernt sind,
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desto schwächer wird die Anziehungskraft: F = mg.
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Der Bezugspunkt der potentiellen Energie
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kann beliebig festgelegt werden,
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denn das Einzige, was bei der potentiellen Energie
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wirklich entscheidend ist,
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ist die Differenz zweier Potentiale.
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Ob wir das Nullniveau direkt auf der Erdoberfläche
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oder auf der Fallhöhe definieren, ist völlig egal.
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Die Differenz und somit der Betrag der Energie
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bleibt so und so gleich!
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Kinetische Energie, ist die Energie der Bewegung.
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Jedes sich bewegende Objekt
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besitzt eine kinetische Energie,
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die von seiner Masse und seiner Geschwindigkeit abhängt.
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Sie wird dem Objekt bei seiner Beschleunigung
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z.B. vom Ruhezustand aus, zugeführt.
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Nach dem wir einen Körper der Masse m
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auf die Geschwindigkeit v beschleunigt haben,
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indem wir auf ihn mit einer Kraft F
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über eine Strecke s eingewirkt haben,
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haben wir ihm damit eine Energie zugeführt: E = Fs.
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Während dieser Zeit wurde vom Körper
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eine Strecke s=vt zurückgelegt.
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Da wir ihn innerhalb dieser Strecke beschleunigt haben,
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nahm die Geschwindigkeit zu,
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deshalb wird die Durchschnittsgeschwindigkeit betrachtet,
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also der Mittelwert: 1/2vt.
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Die Kraft ist dabei Masse multipliziert mit der Beschleunigung:
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F = ma.
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Einsetzen in die Energie-Formel ergibt:
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E = ma * 1/2vt.
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Unter der Voraussetzung,
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dass wir den Körper gleichmäßig beschleunigt haben,
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ist a*t eine Geschwindigkeit v.
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Dies ergibt die kinetische Energie:
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1/2mv^2.
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Die klassische Formel der kinetischen Energie
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kann jedoch bei sehr hohen Geschwindigkeiten
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nicht mehr aufrechterhalten werden.
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Es kommen einfach falsche Ergebnisse heraus.
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Aus diesem Grunde müssen wir, bei hohen Geschwindigkeiten,
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die einen beträchtlichen Teil der Lichtgeschwindigkeit ausmachen,
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die relativistische Energie-Formel verwenden.
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Die relativistische kinetische Energie ist dabei
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Gesamtenergie Minus Ruheenergie:
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Eges - mc^2, wobei die Gesamtenergie
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folgendem Ausdruck entspricht: (siehe Video).
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Die Gesamtenergie setzt sich aus
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kinetischer und potentieller Energie zusammen.
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Die potentielle Energie ist abhängig vom Ort.
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Es spielt also eine Rolle, ob ich mich auf 10 Meter
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oder auf 20 Meter Höhe befinde,
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denn durch eine andere Lage, besitze ich eine andere potentielle Energie.
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Nun müssen wir uns klar machen,
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was eigentlich Energieerhaltung bedeutet.
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Wikipedia sagt uns:
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"dass also die Gesamtenergie eines isolierten Systems sich nicht mit der Zeit ändert. "
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Was heißt das?
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Mathematisch gesagt: die Ableitung der Gesamtenergie
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nach der Zeit muss 0 ergeben: dE/dt=0.
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Egal wie lange wir warten,
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die Energie bleibt gleich;
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natürlich unter der Voraussetzung,
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dass keine äußeren Kräfte auf das Objekt wirken.
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Schauen wir uns nun an, ob die zeitliche Ableitung 0 ergibt.
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Zuerst die kinetische Energie.
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Sie beträgt nämlich Ekin=1/2mv^2.
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Die Geschwindigkeit ist eine zeitliche Ableitung des Ortes,
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schreiben wir das um.
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Das Ganze abgeleitet nach der Zeit ergibt: 1/2m2va.
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Bei der Ableitung haben wir natürlich die Produktregel angewendet
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Äußere Ableitung von v^2 ist 2v.
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MAL die innere Ableitung,
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also die Ableitung der Geschwindigkeit.
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Und die Ableitung der Geschwindigkeit
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ist die Beschleunigung.
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Die zwei kürzt sich weg.
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So, jetzt noch die potentielle Energie ableiten: Epot/dt.
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Sie hängt aber nicht direkt von der Zeit,
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sondern vom Ort ab.
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Der Ort dagegen ist zeitabhängig.
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Also betrachten wir sozusagen,
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die Änderung der potentiellen Energie
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bezüglich der zeitlichen Ableitung des Ortes.
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Das ist die Ableitung der potentiellen Energie nach dem Ort
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mal die Ableitung des Ortes nach der Zeit.
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Addieren wir nun die beiden zeitlichen Ableitungen
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der kinetischen und potentiellen Energie,
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o erhalten wir die zeitliche Ableitung der Gesamtenergie.
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Klammern wir die Geschwindigkeit aus.
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Laut Newton wissen wir,
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dass eine Kraft das Produkt der Masse
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und der Beschleunigung ist: F=ma.
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Setzen die Formel in unsere Ableitung der Gesamtenergie ein
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und erhalten folgenden Ausdruck.
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Soweit so gut.
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Dieses dEpot/dx muss auch noch verarztet werden...
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Da die Energieerhaltung nur in konservativen Systemen gilt,
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können wir die Ableitung der Energie nach dem Ort,
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als ein Kraft- bzw. Gradientenfeld auffassen: grad(Epot) = - F.
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Die Kraft ist dabei negativ,
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zeigt also in Richtung abnehmender potentieller Energie.
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Nach dem Einsetzen heben sich die Kräfte weg
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und wir erhalten 0 - als zeitliche Ableitung der Gesamtenergie.
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Somit haben wir gezeigt,
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dass die Energie in einem konservativen System erhalten bleibt.
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Du hast wahrscheinlich
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nichts verstanden oder?
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Okay, dann verringern wir den Schwierigkeitsgrad ein bisschen.
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Wir müssen zeigen,
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dass die Summe potentieller und kinetischer Energien
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zu jedem Zeitpunkt konstant ist!
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Epot+Ekin=Eges=const.
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Das heißt nichts anderes,
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dass die beiden Energieformen sich ineinander umwandeln können,
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soviel sie wollen, die Gesamtenergie bleibt gleich.
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Verstanden? Gut.
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Kinetische Energie war: Ekin=1/2mv^2.
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und potentielle Energie war: Epot=mgh.
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Wobei die Höhe h, wie wir wissen,
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Differenz der Start -und Endhöhe ist.
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Soweit so gut, setzen wir das Ganze in unsere Behauptung ein
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und multiplizieren die Klammer aus.
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Die Geschwindigkeit v ist nichts anderes
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als eine Beschleunigung g multipliziert mit der Zeit t.
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Der Fall ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung,
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d.h. bei der Endhöhe hat das Objekt eine Strecke von 1/2gt^2 zurückgelegt.
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Diese Formel kennst du hoffentlich aus der Kinematik.
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Diese setzen wir für Endhöhe ein!
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Wie du nach einer kleinen Umstellung sehen kannst,
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hebt sich ein Teil weg.
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Übrig bleibt: mgh=Eges.
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Wir haben also gezeigt,
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dass am Punkt der Endhöhe, die kinetische Energie
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und die durch den Fall abgenommene Höhenenergie sich aufgehoben haben,
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sodass am Ende die Gesamtenergie,
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die auf der Starthöhe vorgegeben war, erhalten geblieben ist.
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Energieerhaltung lässt sich ganz gut
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am frei fallenden Körper verdeutlichen.
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Bringen wir ihn auf 10m Höhe,
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so besitzt er eine Höhenenergie, nämlich Epot=mgh.
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Lassen wir den Körper fallen,
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so nimmt die Höhenenergie aufgrund der Abnahme der Höhe, ab.
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Diese Energie verschwindet aber nicht ins Jenseits,
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sondern wird in kinetische Energie umgewandelt: Ekin=1/2mv^2.
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Nach dem Gleichsetzen beider Formeln
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sehen wir, dass die Masse m sich wegkürzt.
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Es spielt also im Prinzip keine Rolle,
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welche Masse fallen gelassen wird.
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Umformung nach v ergibt 14m/s.
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Solange wir die Fallhöhe kennen,
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sind wir in der Lage für jeden Punkt des Falls
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eine Geschwindigkeit des Körpers zu bestimmen.
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Wenn du mal also einen Apfel
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im Garten deiner Oma fallen siehst,
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dann denk an die Energieerhaltung,
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denn damit kannst du super easy die Auftreffgeschwindigkeit des Apfels abschätzen.
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Und deine Abschätzung wird deutlich genauer sein,
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als bei demjenigen, der dieses Wissen nicht besitzt
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und die Geschwindigkeit rein intuitiv abschätzt.
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Energieerhaltungssatz kann nicht nur auf den freien Fall,
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sondern auch auf schiefe Ebene angewendet werden.
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Entweder man nutzt einen umständlichen Weg
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mit Hilfe der Kräfte, Winkel und der Bewegungsgleichung
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oder man nutzt die Tatsache aus, dass Energie in einem System erhalten bleibt.
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Packen wir den Körper ganz oben auf die schiefe Ebene,
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so führen wir dem eine potentielle Energie zu.
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Lassen wir den los,
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dann setzt er sich in Bewegung und wandelt dabei die zugeführte potentielle Energie
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in Bewegungsenergie um.
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Klar oder?
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Die Geschwindigkeit lässt sich leicht am Endpunkt angeben.
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Dazu müssen wir lediglich die Höhe der Ebene kennen.
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Damit rechnen wir die potentielle Energie
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eines Körpers auf der Höhe h aus,
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sagen wir mal 10 Meter Höhe.
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Nun aufgrund der Energieerhaltung wissen wir,
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dass am Ende der schiefen Ebene,
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wo die Höhe Null ist,
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dass die Höhenenergie sich jetzt komplett in die Bewegungsenergie umgewandelt hat.
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Gleichsetzen der potentiellen mit der kinetischen Energie
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und dem anschließenden Umformen und Einsetzen
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ergibt eine Geschwindigkeit von v≈14m/s.
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Ist das nicht unglaublich?
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Wir können mit sehr einfachen Formeln
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Geschwindigkeiten des Körpers an jedem Punkt
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dieser schiefen Ebene berechnen,
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ohne jeglicher Winkel, ohne Masse des Körpers,
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ohne irgendwelcher Kräfte...
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Das kann ein herunterrollender Fahrradfahrer sein,
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ein Skifahrer oder oder oder.
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Betrachten wir nun ein Fadenpendel.
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Lenkt man das Pendel aus,
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so schwingt es zwischen zwei Umkehrpunkten
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und erreicht seine höchste Geschwindigkeit am Ort des Potentialminimums.
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An den Umkehrpunkten, wo das Pendel stehen bleibt,
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ist die kinetische Energie Null und die potentielle Energie maximal.
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Unabhängig von der Position des Pendels
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hat die Summe aus kinetischer und potentieller
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einen konstanten Wert, den wir durch die anfängliche Auslenkung
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vorgegeben haben.
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Mensch, schon wieder die Energieerhaltung...
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Selbst bei der Loopingbahn findet
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der Energieerhaltungssatz Anwendung.
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Dazu müssen wir nur den Radius r der Loopingbahn kennen,
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um beispielsweise sagen zu können,
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aus welcher Höhe die Maschine herunterrollen muss,
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um die Loopingbahn zu überwinden.
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Da wo die Maschine anfängt nach unten zu rollen,
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ist die Geschwindigkeit näherungsweise 0.
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Also hat sie nur die Höhenenergie: Epot=mgh,
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die beim Herunterrollen allmählich in die Geschwindigkeit umgewandelt wird.
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Die Frage ist nur, ob diese Geschwindigkeit ausreichend ist...
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Hierbei müssen wir eine entscheidende Information kennen,
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nämlich, dass am höchsten Punkt der Loopingbahn, zwei Kräfte wirken.
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Die Gewichtskraft: Fg=mg wirkt nach unten,
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während die Fliehkraft Fz=mv^2/r,
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entgegengesetzt der Gewichtskraft wirkt.
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Was folgern wir daraus?
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Nun, es ist klar, dass die Fliehkraft größer
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oder zumindest gleich der Gewichtskraft sein muss,
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sonst stürzt die Maschine einfach nach unten: Fz≥Fg.
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Unser Vorrat an Energie ist vorgegeben
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durch die Starthöhe.
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Am höchsten Punkt muss die Maschine die Energie aufweisen,
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die gleich unserer vorgegebenen Energie ist.
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Also die potentielle Energie am höchsten Punkt der Loopingbahn
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Plus die kinetische Energie dort,
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ist gleich unserer vorgegebenen Energie.
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Wegen der Energieerhaltung und so.
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Würden wir jetzt diese Formel nach der Geschwindigkeit umformen,
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würden wir erfahren, wie schnell sich die Maschine
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am höchsten Punkt der Loopingbahn bewegen würde.
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Die Frage ist, ob diese Geschwindigkeit ausreicht...
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Deshalb wird nach v^2 umgeformt
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und direkt in die Formel der Fliehkraft eingesetzt.
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So jetzt ist unsere Bedingung an der Reihe,
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nämlich, dass die Fliehkraft größer
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oder gleich der Gewichtskraft sein muss.
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Nun wird die Ungleichung mit dem Radius r erweitert
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und die Klammer ausmultipliziert, um den Ausdruck zu vereinfachen.
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Wie man sieht, kürzt sich m*g weg.
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So, jetzt −4r auf die andere Seite bringen,
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ausklammern und durch 2 teilen.
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Als Ergebnis haben wir eine Bedingung herausbekommen,
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die aussagt, aus welcher Höhe die Maschine starten muss,
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um die Loopingbahn überwinden zu können.
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Die Starthöhe muss mindestens 5/2 des Radius entsprechen,
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also z.B. bei einem Radius von 5 Metern,
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muss die Starthöhe mindestens 12,5 Meter betragen,
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sonst...
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schrei
