In diesem Video beschäftigen wir uns
mit einem der wichtigsten Sätze
der Physik überhaupt.
Nämlich mit dem Energieerhaltungssatz.
Zuerst schauen wir uns an,
wie sich die Energieerhaltung geschichtlich
entwickelt hat.
Danach klären wir einige Begriffe,
die für das bessere Verständnis
der Energieerhaltung notwendig sind.
Dann folgt der wichtigste Teil
des Videos,
wo wir uns kinetische und potentielle
Energien anschauen und wie sie
zur Energieerhaltung führen.
Das Ganze schließen wir mit
eine Beweis der Energieerhaltung
mit Hilfe des Newtonschen Axioms.
Und ganz zum Schluss werden
Beispiele folgen, die dir zeigen,
wie du Energieerhaltung in der
Realität einsetzen kannst.
Falls du keinen Bock auf das ganze Video hast,
einfach zu den Abschnitten wechseln,
die dich interessieren.
Los gehts!
Das Prinzip der Energieerhaltung
hat eine lange Geschichte,
die erst mit der Formulierung des
Energiebegriffes begann.
Das Wort "Energie" taucht
zum ersten Mal bei Aristoteles auf
und steht dort für das Prinzip des Bewegens.
Das Prinzip, welches das Mögliche
zum Wirklichen machte.
Schon Leonardo da Vinci stellte fest,
dass es eine Unmöglichkeit wäre ein Gerät zu bauen,
welches nach der einmaligen Inbetriebnahme,
unaufhörlich weiter arbeitet.
Ein Perpetuum mobile war und ist nicht umsetzbar,
da ein Teil der Energie immer aus dem System,
zum Beispiel durch Wärmeentstehung schwindet,
sodass das Gerät keine Arbeit mehr verrichten kann.
Gottfried Wilhelm Leibniz versuchte als einer der ersten,
eine mathematische Beschreibung der Energie zu formulieren,
die mit der Bewegung zusammenhing.
Er bezeichnete die Bewegungsenergie als
"lebende Kraft", Vis Viva.
Seine Formel für die lebende Kraft lautete:
mv².
Zu Leibniz-Zeiten wurde ein entscheidendes Experiment
von einem französischen Physiker
Willem Jacob’s Gravesande gemacht,
welches später für die Beschreibung
der Energie aufgegriffen wurde.
Er nahm zwei Messingkugeln,
die er mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten auf
eine weiche Oberfläche fallen ließ.
Dabei hatte eine doppelt so schnelle Kugel,
eine viermal so tiefe Grube hinterlassen.
Bei dreifacher Geschwindigkeit,
war die entstandene Grube sogar neun mal so tief.
Nun, als Leibniz und Newton schon längst tot waren,
manifestierte sich eher die Newtons
Philosophie der Bewegungsgröße, nämlich:
eine Kraft F eingewirkt auf ein Objekt
für eine bestimmte Zeit Δt
ist die Änderung der Bewegungsgröße.
Ein französisches Fräulein, Émilie du Châtelet,
eine gute Freundin von dem weltberühmten
Philosophen Voltaire und die Anhängerin der Vis-viva Formel,
war keine Pussy, die Angst hatte
gegen die Mehrheit der Männerwelt vorzugehen.
Nein! Mit Hilfe der Vis-Viva Formel von Leibniz
und den experimentellen Ergebnissen von Gravesande
zeigte sie die Richtigkeit der Leibniz Philosophie der Bewegung,
nämlich eine Kraft F eingewirkt für eine Strecke Δd
ist die Änderung der Vis-Viva.
Heute wird die Newtons Formel mv als Impuls bezeichnet,
während die Formel von Leibniz die Bewegungsenergie darstellt.
Später wurde die Vis-Viva Formel mv^2
durch den Franzosen Gaspard-Gustave Coriolis
zu 1/2mv^2 korrigiert,
was heute als kinetische Energie bekannt ist.
Die heutige Bezeichnung "kinetische Energie"
geht übrigens auf Lord Kelvin zurück.
Kelvin - nicht Kevin!
1798 - führte Benjamin Thompson
Messungen der Reibungswärme durch
und kam auf die Idee,
dass Wärme eine Form der Bewegungsenergie war.
Der Engländer Thomas Young,
von dem übrigens das Doppelspaltexperiment stammt,
benutzte als erster den Begriff Energie
und zwar als eine Summe kinetischer und potentieller Energien.
In einer Publikation schrieb er:
"The product of the mass of a body
into the square of its velocity
may properly be termed its energy."
Als Julius Robert Mayer, ein deutscher Arzt,
sich über verschiedene Blutfärbungen wunderte;
je nachdem wo er sich gerade
mit seinem Handelsschiff befand,
kam er ebenfalls wie Benjamin Thompson auf den Gedanken,
dass Wärme und Bewegung keine gänzlich
verschiedenen Erscheinungen waren,
sondern beide eine Form von Energie darstellten.
Der junge Arzt äußerte einen sehr entscheidenden Satz
bezüglich der Energieerhaltung.
Er sagte, dass die Energie weder erzeugt
noch vernichtet werden kann.
Das war eine wichtige Erkenntnis,
die zum modernen Verständnis von Energie geführt hatte.
Auf die gleiche Erkenntnis kam ein paar Jahre später
ein britischer Physiker James Prescott Joule.
Er entdeckte unter anderem die Gleichheit
von mechanischer Arbeit und Wärme.
Dazu führte er beispielsweise den nach ihm
benannten Joule-Versuch durch,
wo er einer thermisch isolierten Wassermenge
mechanische Arbeit von außen zuführte und danach
die erhöhte Temperatur des Wassers maß.
Es sah wohl so aus,
dass die Wärme einfach nur eine andere Form
der mechanischen Arbeit war.
Es war etwas Gleiches,
nur eben in einer anderen Form.
Wärme, Arbeit...
das alles schien auf etwas Gleiches hinauszulaufen.
Bedauerlicherweise führte die Energieerhaltung
zu einem rechtlichen Streit zwischen
Robert Mayer und dem Herrn Joule.
Obwohl Robert Mayer als erster
die Energieerhaltung formulierte,
wurde der Streit trotzdem von Joule gewonnen.
Deshalb wird heute die Einheit der Energie
nicht in "Mayer", sondern in "Joule" angegeben.
Der Verlust des rechtlichen Streits
konnte Mayer nicht verkraften,
also sprang er in einem Nervenzusammenbruch
aus dem 2. Stock seines Hauses...
Blieb jedoch am Leben.
Der Weg vom mechanischen Wärmeäquivalent
zu einer Formulierung des 1. Hauptsatzes
als Energieerhaltungssatz
war dem deutschen Physiker Hermann von Helmholtz vorbehalten.
1847 veröffentlichte er die Arbeit :
"Über die Erhaltung der Kraft",
in der er den allgemeinen Energieerhaltungssatz
ausführlich und vorallem wissenschaftlich formulierte.
Doch, was die Energieerhaltung
und andere Erhaltungssätze,
zu einer Grundlage der Physik machte,
war das sogenannte Noether-Theorem,
von einer deutschen Mathematikerin Emmy Noether.
Es besagt, dass man Erhaltungssätze
als eine prinzipielle Symmetrie der Welt auffassen kann.
Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie
eines physikalischen Systems
gehört eine Erhaltungsgröße.
Das heißt: es gibt bestimmte Merkmale eines Systems,
die unverändert bleiben,
wenn wir es drehen oder spiegeln oder oder oder.
Die erste angebliche Verletzung
des Energie- und Impulserhaltungssatzes
wurde beim Betazerfall festgestellt.
Denn beim Betazerfall
fehlte ein Teil der Energie.
Ein Neutron zerfiel in ein Proton und ein Elektron,
deren Energie kleiner war als die des Neutrons.
Später wurde aber dieses Rätsel durch
den österreichischen Physiker Wolfgang Pauli gelöst,
indem er ein schwach wechselwirkendes Teilchen,
das sogenannte Neutrino voraussagte.
Und dieses Teilchen
wurde tatsächlich 23 Jahre später,
in einem der ersten großen Kernreaktoren
experimentell nachgewiesen.
Kommen wir nun zu den Begriffen,
die wir noch klären sollten,
um die Energieerhaltung besser zu verstehen.
Einer dieser Begriffe ist das sogenannte Kraftfeld.
Wenn wir eine Masse an irgendeinem Ort
in der Nähe des Gravitationsfeldes der Erde platzieren,
dann erfährt diese Masse eine bestimmte
konstante Kraft, die ausschließlich
von der Höhe abhängt und nicht vom Verlauf der Zeit.
Wir sind also in der Lage jedem dieser Orte
eine Kraft zuzuordnen, die den jeweiligen Ort charakterisiert.
Das klassische Kraftfeld ist also dieser Raum,
in dem an jedem Punkt dieses Raumes,
eine gewisse Kraft wirkt, wenn wir dort ein Objekt platzieren.
Diese ganze Summe an Kräften,
die zum Erdmittelpunkt gerichtet sind,
stellen das Gravitationsfeld dar.
In diesem Fall ist es sogar ein konservatives Feld.
Konservatives Feld heißt:
es wäre völlig egal, ob ich ein Objekt
von der Höhe h1 auf Höhe h2 auf diesem Weg,
oder auf diesem Weg bringe.
In einem konservativen Feld,
wie im Falle des Gravitationsfeldes,
ist die Höhendifferenz des Start- und Endpunktes entscheidend,
nicht der Weg an sich.
Auch, wenn ich das Objekt sehr sehr schnell
zum Endpunkt bringe oder ganz ganz langsam;
energetisch kommt das Gleiche wieder raus.
Die Reibung dagegen ist ein gutes Beispiel
für ein nicht-konservatives Kraftfeld.
Denn bei dem Weg bis zum Punkt h2
würde das Objekt ein Teil seiner Energie an die Umgebung
aufgrund der Reibung verlieren,
zum größten Teil in Form von Wärme.
Ein längerer Weg würde also dementsprechend
mehr Energie kosten, als ein kürzerer Weg.
Die Ausübung der Schwerkraft
durch das konservative Kraftfeld der Erde,
hat zur Folge, dass sich das Objekt
in Richtung des Erdmittelpunktes beschleunigt wird.
Betrachten wir irgendein Intervall zweier Orte,
z.B. die Strecke zwischen s1 und s2
die mittels der Krafteinwirkung
von einem Objekt zurückgelegt wurde,
dann ist die verrichtete Arbeit das Produkt
aus der Kraft und der Verschiebung vom Ort s1 zum Ort s2.
Die Arbeit ist eine skalare Größe.
Ich weiß nicht, wie weit du in Mathe bist... aber,
wir multiplizieren hier zwei Vektoren,
zwei gerichtete Größen miteinander,
nämlich den Kraftvektor mit dem Ortsvektor,
und das ergibt eine reine Zahl,
einen sogenannten Skalar.
Das Skalarprodukt berücksichtigt nur die Kraftkomponente,
die in Richtung des Weges zeigt.
Um also die Arbeit im physikalischen Sinne
verrichten zu können,
muss die Kraft parallel zum Weg
oder eben unter einem bestimmten Winkel wirken,
aber nicht rechtwinklig;
denn das Produkt zweier senkrechter Vektoren
ist Null und somit auch die Arbeit.
Es gilt die Beziehung:
W=Fs∗cos(α).
Wenn du also ein Gewicht anhebst,
dann verrichtest du eine Arbeit, die notwendig ist,
um das Gewicht anzuheben.
Wenn du dann so stehen bleibst
oder mit dem angehobenen Gewicht anfängst zu gehen,
dann verrichtest du im physikalischen Sinne keine Arbeit,
denn der Weg steht senkrecht zur Kraft.
Die Arbeit kann entweder positiv
oder negativ sein. Also mit Vorzeichen...
Und das ist ganz praktisch, denn damit können wir sofort sehen,
ob am Objekt oder vom Objekt Arbeit verrichtet wird.
Wenn wir am Objekt die Arbeit verrichten,
dann ist das Vorzeichen positiv,
denn wir fügen dem Objekt zusätzliche Energie zu.
Und, wenn die Arbeit vom Objekt verrichtet wird,
dann ist sie entsprechend negativ,
denn wir ziehen ja ihm die Energie ab.
Das Schwerefeld der Erde zum Beispiel,
übt eine Kraft auf das Objekt aus,
führt ihm also eine Energie zu.
Zusammengefasst lässt sich sagen:
Arbeit, die einem System zugeführt
oder vom System abgeführt wird,
wird als Energie abgespeichert.
Je mehr Energie das System besitzt,
desto mehr Arbeit kann es verrichten.
Arbeit ist ein Prozess. Energie ist ein Zustand.
Die Einheit der Energie,
benannt nach einem britischen Physiker, ist Joule.
Ein Joule ist die Energiemenge, die benötigt wird,
um eine Sekunde lang, eine Leistung von einem Watt zu erbringen.
Eine gewöhnliche Glühlampe
besitzt zum Vergleich 100 Watt Leistung.
Wir bräuchten also 100 Joule,
um die Glühlampe eine Sekunde leuchten zu lassen.
Grundsätzlich lässt sich sagen:
Unterschiedliche Energieformen können
ineinander umgewandelt werden.
Sei es die chemische Energie, Gravitationsenergie,
Wärmeenergie oder oder oder.
Umwandlung ja; Vernichtung und Erzeugung - nein.
Die Gesamtenergie ist zu jedem Zeitpunkt konstant,
sie entsteht nicht aus dem Nichts.
Natürlich unter der Voraussetzung,
dass wir ein abgeschlossenes System betrachten.
Es darf also nicht mit der Umgebung wechselwirken.
Rein theoretisch versteht sich!
In der Realität findet immer irgendwo eine Wechselwirkung statt.
Ein System lässt sich, praktisch gesehen,
nicht komplett von der Außenwelt isolieren.
Die nicht mögliche Isolation des Systems
wäre das eine Problem.
Das andere Problem ist die Ausdehnung des betrachteten Objekts.
Bei der Berechnung der Energie oder Arbeit,
betrachten wir Objekte, z.B. Autos oder Planeten als Punktmassen.
Das heißt die ganze Masse des Autos
oder des Planeten ist in einem
unendlich kleinen Punkt konzentriert;
was in der Realität natürlich nicht der Fall ist.
Also dienen die ganzen Berechnungen der Punktmechanik
lediglich einer Näherung an die Realität,
die mathematisch sehr einfach aufgebaut ist
und trotzdem relativ genaue Ergebnisse liefert.
Erhaltungsgrößen wurden eingeführt,
weil sie eine Möglichkeit bieten,
mit deren Hilfe physikalische Vorgänge zu berechnen
und zwar auf einer einfachen Art und Weise,
denn wir müssen beispielsweise keine
Bahngleichung des Pendels aufstellen,
um etwas über seine Geschwindigkeit
bei einem bestimmten Ort sagen zu können.
Wir können sie einfach mit dem Energieerhaltungssatz abschätzen.
Dazu müssen wir lediglich die Anfangsbedingungen kennen.
Man kann mit dem Energieerhaltungssatz jedoch
nichts über die Zeit aussagen;
man kann nicht sagen, wann das Pendel eine bestimmte Lage erreicht,
dazu müssten wir die Bahnkurve kennen.
Lassen wir nun einen Apfel aus 10 Meter Höhe fallen.
Dann aus 20 und dann aus 50.
Wir werden feststellen, dass das Einschlagloch deutlich tiefer ist,
wenn der Apfel aus einer größeren Höhe fallen gelassen wird.
Bei dieser Beobachtung äußert sich
die sogenannte potentielle Energie,
oder auch Lageenergie genannt.
Dabei wären die Einschlaglöcher deutlich tiefer,
wenn wir das gleiche Experiment auf dem Jupiter durchführen würden.
Da ist nämlich
die Fallbeschleunigung deutlich größer,
was mit einem stärkeren Gravitationsfeld verbunden ist.
Die potentielle Energie bezieht sich nicht nur auf Gravitationsfelder,
sondern auch auf z.B. elektrische oder magnetische Felder.
Die verwendete Formel für Höhenenergie im Gravitationsfeld:
E = mgh ist nur eine Näherung,
denn je weiter wir von der Erde entfernt sind,
desto schwächer wird die Anziehungskraft: F = mg.
Der Bezugspunkt der potentiellen Energie
kann beliebig festgelegt werden,
denn das Einzige, was bei der potentiellen Energie
wirklich entscheidend ist,
ist die Differenz zweier Potentiale.
Ob wir das Nullniveau direkt auf der Erdoberfläche
oder auf der Fallhöhe definieren, ist völlig egal.
Die Differenz und somit der Betrag der Energie
bleibt so und so gleich!
Kinetische Energie, ist die Energie der Bewegung.
Jedes sich bewegende Objekt
besitzt eine kinetische Energie,
die von seiner Masse und seiner Geschwindigkeit abhängt.
Sie wird dem Objekt bei seiner Beschleunigung
z.B. vom Ruhezustand aus, zugeführt.
Nach dem wir einen Körper der Masse m
auf die Geschwindigkeit v beschleunigt haben,
indem wir auf ihn mit einer Kraft F
über eine Strecke s eingewirkt haben,
haben wir ihm damit eine Energie zugeführt: E = Fs.
Während dieser Zeit wurde vom Körper
eine Strecke s=vt zurückgelegt.
Da wir ihn innerhalb dieser Strecke beschleunigt haben,
nahm die Geschwindigkeit zu,
deshalb wird die Durchschnittsgeschwindigkeit betrachtet,
also der Mittelwert: 1/2vt.
Die Kraft ist dabei Masse multipliziert mit der Beschleunigung:
F = ma.
Einsetzen in die Energie-Formel ergibt:
E = ma * 1/2vt.
Unter der Voraussetzung,
dass wir den Körper gleichmäßig beschleunigt haben,
ist a*t eine Geschwindigkeit v.
Dies ergibt die kinetische Energie:
1/2mv^2.
Die klassische Formel der kinetischen Energie
kann jedoch bei sehr hohen Geschwindigkeiten
nicht mehr aufrechterhalten werden.
Es kommen einfach falsche Ergebnisse heraus.
Aus diesem Grunde müssen wir, bei hohen Geschwindigkeiten,
die einen beträchtlichen Teil der Lichtgeschwindigkeit ausmachen,
die relativistische Energie-Formel verwenden.
Die relativistische kinetische Energie ist dabei
Gesamtenergie Minus Ruheenergie:
Eges - mc^2, wobei die Gesamtenergie
folgendem Ausdruck entspricht: (siehe Video).
Die Gesamtenergie setzt sich aus
kinetischer und potentieller Energie zusammen.
Die potentielle Energie ist abhängig vom Ort.
Es spielt also eine Rolle, ob ich mich auf 10 Meter
oder auf 20 Meter Höhe befinde,
denn durch eine andere Lage, besitze ich eine andere potentielle Energie.
Nun müssen wir uns klar machen,
was eigentlich Energieerhaltung bedeutet.
Wikipedia sagt uns:
"dass also die Gesamtenergie eines isolierten Systems sich nicht mit der Zeit ändert. "
Was heißt das?
Mathematisch gesagt: die Ableitung der Gesamtenergie
nach der Zeit muss 0 ergeben: dE/dt=0.
Egal wie lange wir warten,
die Energie bleibt gleich;
natürlich unter der Voraussetzung,
dass keine äußeren Kräfte auf das Objekt wirken.
Schauen wir uns nun an, ob die zeitliche Ableitung 0 ergibt.
Zuerst die kinetische Energie.
Sie beträgt nämlich Ekin=1/2mv^2.
Die Geschwindigkeit ist eine zeitliche Ableitung des Ortes,
schreiben wir das um.
Das Ganze abgeleitet nach der Zeit ergibt: 1/2m2va.
Bei der Ableitung haben wir natürlich die Produktregel angewendet
Äußere Ableitung von v^2 ist 2v.
MAL die innere Ableitung,
also die Ableitung der Geschwindigkeit.
Und die Ableitung der Geschwindigkeit
ist die Beschleunigung.
Die zwei kürzt sich weg.
So, jetzt noch die potentielle Energie ableiten: Epot/dt.
Sie hängt aber nicht direkt von der Zeit,
sondern vom Ort ab.
Der Ort dagegen ist zeitabhängig.
Also betrachten wir sozusagen,
die Änderung der potentiellen Energie
bezüglich der zeitlichen Ableitung des Ortes.
Das ist die Ableitung der potentiellen Energie nach dem Ort
mal die Ableitung des Ortes nach der Zeit.
Addieren wir nun die beiden zeitlichen Ableitungen
der kinetischen und potentiellen Energie,
o erhalten wir die zeitliche Ableitung der Gesamtenergie.
Klammern wir die Geschwindigkeit aus.
Laut Newton wissen wir,
dass eine Kraft das Produkt der Masse
und der Beschleunigung ist: F=ma.
Setzen die Formel in unsere Ableitung der Gesamtenergie ein
und erhalten folgenden Ausdruck.
Soweit so gut.
Dieses dEpot/dx muss auch noch verarztet werden...
Da die Energieerhaltung nur in konservativen Systemen gilt,
können wir die Ableitung der Energie nach dem Ort,
als ein Kraft- bzw. Gradientenfeld auffassen: grad(Epot) = - F.
Die Kraft ist dabei negativ,
zeigt also in Richtung abnehmender potentieller Energie.
Nach dem Einsetzen heben sich die Kräfte weg
und wir erhalten 0 - als zeitliche Ableitung der Gesamtenergie.
Somit haben wir gezeigt,
dass die Energie in einem konservativen System erhalten bleibt.
Du hast wahrscheinlich
nichts verstanden oder?
Okay, dann verringern wir den Schwierigkeitsgrad ein bisschen.
Wir müssen zeigen,
dass die Summe potentieller und kinetischer Energien
zu jedem Zeitpunkt konstant ist!
Epot+Ekin=Eges=const.
Das heißt nichts anderes,
dass die beiden Energieformen sich ineinander umwandeln können,
soviel sie wollen, die Gesamtenergie bleibt gleich.
Verstanden? Gut.
Kinetische Energie war: Ekin=1/2mv^2.
und potentielle Energie war: Epot=mgh.
Wobei die Höhe h, wie wir wissen,
Differenz der Start -und Endhöhe ist.
Soweit so gut, setzen wir das Ganze in unsere Behauptung ein
und multiplizieren die Klammer aus.
Die Geschwindigkeit v ist nichts anderes
als eine Beschleunigung g multipliziert mit der Zeit t.
Der Fall ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung,
d.h. bei der Endhöhe hat das Objekt eine Strecke von 1/2gt^2 zurückgelegt.
Diese Formel kennst du hoffentlich aus der Kinematik.
Diese setzen wir für Endhöhe ein!
Wie du nach einer kleinen Umstellung sehen kannst,
hebt sich ein Teil weg.
Übrig bleibt: mgh=Eges.
Wir haben also gezeigt,
dass am Punkt der Endhöhe, die kinetische Energie
und die durch den Fall abgenommene Höhenenergie sich aufgehoben haben,
sodass am Ende die Gesamtenergie,
die auf der Starthöhe vorgegeben war, erhalten geblieben ist.
Energieerhaltung lässt sich ganz gut
am frei fallenden Körper verdeutlichen.
Bringen wir ihn auf 10m Höhe,
so besitzt er eine Höhenenergie, nämlich Epot=mgh.
Lassen wir den Körper fallen,
so nimmt die Höhenenergie aufgrund der Abnahme der Höhe, ab.
Diese Energie verschwindet aber nicht ins Jenseits,
sondern wird in kinetische Energie umgewandelt: Ekin=1/2mv^2.
Nach dem Gleichsetzen beider Formeln
sehen wir, dass die Masse m sich wegkürzt.
Es spielt also im Prinzip keine Rolle,
welche Masse fallen gelassen wird.
Umformung nach v ergibt 14m/s.
Solange wir die Fallhöhe kennen,
sind wir in der Lage für jeden Punkt des Falls
eine Geschwindigkeit des Körpers zu bestimmen.
Wenn du mal also einen Apfel
im Garten deiner Oma fallen siehst,
dann denk an die Energieerhaltung,
denn damit kannst du super easy die Auftreffgeschwindigkeit des Apfels abschätzen.
Und deine Abschätzung wird deutlich genauer sein,
als bei demjenigen, der dieses Wissen nicht besitzt
und die Geschwindigkeit rein intuitiv abschätzt.
Energieerhaltungssatz kann nicht nur auf den freien Fall,
sondern auch auf schiefe Ebene angewendet werden.
Entweder man nutzt einen umständlichen Weg
mit Hilfe der Kräfte, Winkel und der Bewegungsgleichung
oder man nutzt die Tatsache aus, dass Energie in einem System erhalten bleibt.
Packen wir den Körper ganz oben auf die schiefe Ebene,
so führen wir dem eine potentielle Energie zu.
Lassen wir den los,
dann setzt er sich in Bewegung und wandelt dabei die zugeführte potentielle Energie
in Bewegungsenergie um.
Klar oder?
Die Geschwindigkeit lässt sich leicht am Endpunkt angeben.
Dazu müssen wir lediglich die Höhe der Ebene kennen.
Damit rechnen wir die potentielle Energie
eines Körpers auf der Höhe h aus,
sagen wir mal 10 Meter Höhe.
Nun aufgrund der Energieerhaltung wissen wir,
dass am Ende der schiefen Ebene,
wo die Höhe Null ist,
dass die Höhenenergie sich jetzt komplett in die Bewegungsenergie umgewandelt hat.
Gleichsetzen der potentiellen mit der kinetischen Energie
und dem anschließenden Umformen und Einsetzen
ergibt eine Geschwindigkeit von v≈14m/s.
Ist das nicht unglaublich?
Wir können mit sehr einfachen Formeln
Geschwindigkeiten des Körpers an jedem Punkt
dieser schiefen Ebene berechnen,
ohne jeglicher Winkel, ohne Masse des Körpers,
ohne irgendwelcher Kräfte...
Das kann ein herunterrollender Fahrradfahrer sein,
ein Skifahrer oder oder oder.
Betrachten wir nun ein Fadenpendel.
Lenkt man das Pendel aus,
so schwingt es zwischen zwei Umkehrpunkten
und erreicht seine höchste Geschwindigkeit am Ort des Potentialminimums.
An den Umkehrpunkten, wo das Pendel stehen bleibt,
ist die kinetische Energie Null und die potentielle Energie maximal.
Unabhängig von der Position des Pendels
hat die Summe aus kinetischer und potentieller
einen konstanten Wert, den wir durch die anfängliche Auslenkung
vorgegeben haben.
Mensch, schon wieder die Energieerhaltung...
Selbst bei der Loopingbahn findet
der Energieerhaltungssatz Anwendung.
Dazu müssen wir nur den Radius r der Loopingbahn kennen,
um beispielsweise sagen zu können,
aus welcher Höhe die Maschine herunterrollen muss,
um die Loopingbahn zu überwinden.
Da wo die Maschine anfängt nach unten zu rollen,
ist die Geschwindigkeit näherungsweise 0.
Also hat sie nur die Höhenenergie: Epot=mgh,
die beim Herunterrollen allmählich in die Geschwindigkeit umgewandelt wird.
Die Frage ist nur, ob diese Geschwindigkeit ausreichend ist...
Hierbei müssen wir eine entscheidende Information kennen,
nämlich, dass am höchsten Punkt der Loopingbahn, zwei Kräfte wirken.
Die Gewichtskraft: Fg=mg wirkt nach unten,
während die Fliehkraft Fz=mv^2/r,
entgegengesetzt der Gewichtskraft wirkt.
Was folgern wir daraus?
Nun, es ist klar, dass die Fliehkraft größer
oder zumindest gleich der Gewichtskraft sein muss,
sonst stürzt die Maschine einfach nach unten: Fz≥Fg.
Unser Vorrat an Energie ist vorgegeben
durch die Starthöhe.
Am höchsten Punkt muss die Maschine die Energie aufweisen,
die gleich unserer vorgegebenen Energie ist.
Also die potentielle Energie am höchsten Punkt der Loopingbahn
Plus die kinetische Energie dort,
ist gleich unserer vorgegebenen Energie.
Wegen der Energieerhaltung und so.
Würden wir jetzt diese Formel nach der Geschwindigkeit umformen,
würden wir erfahren, wie schnell sich die Maschine
am höchsten Punkt der Loopingbahn bewegen würde.
Die Frage ist, ob diese Geschwindigkeit ausreicht...
Deshalb wird nach v^2 umgeformt
und direkt in die Formel der Fliehkraft eingesetzt.
So jetzt ist unsere Bedingung an der Reihe,
nämlich, dass die Fliehkraft größer
oder gleich der Gewichtskraft sein muss.
Nun wird die Ungleichung mit dem Radius r erweitert
und die Klammer ausmultipliziert, um den Ausdruck zu vereinfachen.
Wie man sieht, kürzt sich m*g weg.
So, jetzt −4r auf die andere Seite bringen,
ausklammern und durch 2 teilen.
Als Ergebnis haben wir eine Bedingung herausbekommen,
die aussagt, aus welcher Höhe die Maschine starten muss,
um die Loopingbahn überwinden zu können.
Die Starthöhe muss mindestens 5/2 des Radius entsprechen,
also z.B. bei einem Radius von 5 Metern,
muss die Starthöhe mindestens 12,5 Meter betragen,
sonst...
schrei