0:00:00.524,0:00:01.915
In diesem Video beschäftigen wir uns

0:00:01.915,0:00:03.250
mit einem der wichtigsten Sätze

0:00:03.250,0:00:04.881
der Physik überhaupt.

0:00:04.881,0:00:07.381
Nämlich mit dem Energieerhaltungssatz.

0:00:07.381,0:00:08.804
Zuerst schauen wir uns an,

0:00:08.804,0:00:10.401
wie sich die Energieerhaltung geschichtlich

0:00:10.401,0:00:11.585
entwickelt hat.

0:00:11.585,0:00:13.545
Danach klären wir einige Begriffe,

0:00:13.545,0:00:14.921
die für das bessere Verständnis

0:00:14.921,0:00:16.752
der Energieerhaltung notwendig sind.

0:00:16.752,0:00:18.514
Dann folgt der wichtigste Teil

0:00:18.514,0:00:19.303
des Videos,

0:00:19.303,0:00:21.065
wo wir uns kinetische und potentielle

0:00:21.065,0:00:22.806
Energien anschauen und wie sie

0:00:22.806,0:00:25.491
zur Energieerhaltung führen.

0:00:25.491,0:00:26.762
Das Ganze schließen wir mit

0:00:26.762,0:00:28.513
eine Beweis der Energieerhaltung

0:00:28.513,0:00:30.195
mit Hilfe des Newtonschen Axioms.

0:00:30.195,0:00:31.728
Und ganz zum Schluss werden

0:00:31.728,0:00:33.457
Beispiele folgen, die dir zeigen,

0:00:33.457,0:00:35.426
wie du Energieerhaltung in der

0:00:35.426,0:00:37.674
Realität einsetzen kannst.

0:00:37.674,0:00:39.341
Falls du keinen Bock auf das ganze Video hast,

0:00:39.341,0:00:40.801
einfach zu den Abschnitten wechseln,

0:00:40.801,0:00:42.122
die dich interessieren.

0:00:42.122,0:00:44.915
Los gehts!

0:00:44.915,0:00:46.476
Das Prinzip der Energieerhaltung

0:00:46.476,0:00:48.010
hat eine lange Geschichte,

0:00:48.010,0:00:49.028
die erst mit der Formulierung des

0:00:49.028,0:00:51.045
Energiebegriffes begann.

0:00:51.045,0:00:52.472
Das Wort "Energie" taucht

0:00:52.472,0:00:54.381
zum ersten Mal bei Aristoteles auf

0:00:54.381,0:00:56.775
und steht dort für das Prinzip des Bewegens.

0:00:56.775,0:00:59.121
Das Prinzip, welches das Mögliche

0:00:59.121,0:01:01.035
zum Wirklichen machte.

0:01:01.035,0:01:02.775
Schon Leonardo da Vinci stellte fest,

0:01:02.775,0:01:05.564
dass es eine Unmöglichkeit wäre ein Gerät zu bauen,

0:01:05.564,0:01:08.086
welches nach der einmaligen Inbetriebnahme,

0:01:08.086,0:01:10.141
unaufhörlich weiter arbeitet.

0:01:10.141,0:01:13.869
Ein Perpetuum mobile war und ist nicht umsetzbar,

0:01:13.869,0:01:16.672
da ein Teil der Energie immer aus dem System,

0:01:16.672,0:01:18.813
zum Beispiel durch Wärmeentstehung schwindet,

0:01:18.813,0:01:21.982
sodass das Gerät keine Arbeit mehr verrichten kann.

0:01:21.982,0:01:25.395
Gottfried Wilhelm Leibniz versuchte als einer der ersten,

0:01:25.395,0:01:28.325
eine mathematische Beschreibung der Energie zu formulieren,

0:01:28.325,0:01:30.615
die mit der Bewegung zusammenhing.

0:01:30.615,0:01:32.574
Er bezeichnete die Bewegungsenergie als

0:01:32.574,0:01:35.531
"lebende Kraft", Vis Viva.

0:01:35.531,0:01:37.364
Seine Formel für die lebende Kraft lautete:

0:01:37.364,0:01:39.709
mv².

0:01:39.709,0:01:42.466
Zu Leibniz-Zeiten wurde ein entscheidendes Experiment

0:01:42.466,0:01:43.756
von einem französischen Physiker

0:01:43.756,0:01:45.775
Willem Jacob’s Gravesande gemacht,

0:01:45.775,0:01:47.301
welches später für die Beschreibung

0:01:47.301,0:01:49.393
der Energie aufgegriffen wurde.

0:01:49.393,0:01:50.821
Er nahm zwei Messingkugeln,

0:01:50.821,0:01:53.143
die er mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten auf

0:01:53.143,0:01:55.611
eine weiche Oberfläche fallen ließ.

0:01:55.611,0:01:58.349
Dabei hatte eine doppelt so schnelle Kugel,

0:01:58.349,0:02:00.903
eine viermal so tiefe Grube hinterlassen.

0:02:00.903,0:02:02.578
Bei dreifacher Geschwindigkeit,

0:02:02.578,0:02:05.601
war die entstandene Grube sogar neun mal so tief.

0:02:05.601,0:02:08.881
Nun, als Leibniz und Newton schon längst tot waren,

0:02:08.881,0:02:10.493
manifestierte sich eher die Newtons

0:02:10.493,0:02:12.784
Philosophie der Bewegungsgröße, nämlich:

0:02:12.784,0:02:15.712
eine Kraft F eingewirkt auf ein Objekt

0:02:15.712,0:02:17.836
für eine bestimmte Zeit Δt

0:02:17.836,0:02:20.941
ist die Änderung der Bewegungsgröße.

0:02:20.941,0:02:24.232
Ein französisches Fräulein, Émilie du Châtelet,

0:02:24.232,0:02:26.201
eine gute Freundin von dem weltberühmten

0:02:26.201,0:02:30.049
Philosophen Voltaire und die Anhängerin der Vis-viva Formel,

0:02:30.049,0:02:31.895
war keine Pussy, die Angst hatte

0:02:31.895,0:02:34.506
gegen die Mehrheit der Männerwelt vorzugehen.

0:02:34.506,0:02:36.977
Nein! Mit Hilfe der Vis-Viva Formel von Leibniz

0:02:36.977,0:02:40.415
und den experimentellen Ergebnissen von Gravesande

0:02:40.415,0:02:43.968
zeigte sie die Richtigkeit der Leibniz Philosophie der Bewegung,

0:02:43.968,0:02:47.588
nämlich eine Kraft F eingewirkt für eine Strecke Δd

0:02:47.588,0:02:50.194
ist die Änderung der Vis-Viva.

0:02:50.194,0:02:53.552
Heute wird die Newtons Formel mv als Impuls bezeichnet,

0:02:53.552,0:02:57.301
während die Formel von Leibniz die Bewegungsenergie darstellt.

0:02:57.301,0:03:00.514
Später wurde die Vis-Viva Formel mv^2

0:03:00.514,0:03:03.511
durch den Franzosen Gaspard-Gustave Coriolis

0:03:03.511,0:03:06.304
zu 1/2mv^2 korrigiert,

0:03:06.304,0:03:09.004
was heute als kinetische Energie bekannt ist.

0:03:09.004,0:03:11.521
Die heutige Bezeichnung "kinetische Energie"

0:03:11.521,0:03:13.675
geht übrigens auf Lord Kelvin zurück.

0:03:13.675,0:03:15.704
Kelvin - nicht Kevin!

0:03:15.704,0:03:18.333
1798 - führte Benjamin Thompson

0:03:18.333,0:03:20.165
Messungen der Reibungswärme durch

0:03:20.165,0:03:21.453
und kam auf die Idee,

0:03:21.453,0:03:24.624
dass Wärme eine Form der Bewegungsenergie war.

0:03:24.624,0:03:27.266
Der Engländer Thomas Young,

0:03:27.266,0:03:29.528
von dem übrigens das Doppelspaltexperiment stammt,

0:03:29.528,0:03:32.515
benutzte als erster den Begriff Energie

0:03:32.515,0:03:36.701
und zwar als eine Summe kinetischer und potentieller Energien.

0:03:36.701,0:03:38.197
In einer Publikation schrieb er:

0:03:38.197,0:03:39.981
"The product of the mass of a body

0:03:39.981,0:03:41.843
into the square of its velocity

0:03:41.843,0:03:45.044
may properly be termed its energy."

0:03:45.044,0:03:47.073
Als Julius Robert Mayer, ein deutscher Arzt,

0:03:47.073,0:03:49.397
sich über verschiedene Blutfärbungen wunderte;

0:03:49.397,0:03:51.011
je nachdem wo er sich gerade

0:03:51.011,0:03:52.542
mit seinem Handelsschiff befand,

0:03:52.542,0:03:55.083
kam er ebenfalls wie Benjamin Thompson auf den Gedanken,

0:03:55.083,0:03:57.872
dass Wärme und Bewegung keine gänzlich

0:03:57.872,0:03:59.901
verschiedenen Erscheinungen waren,

0:03:59.901,0:04:03.736
sondern beide eine Form von Energie darstellten.

0:04:03.736,0:04:05.749
Der junge Arzt äußerte einen sehr entscheidenden Satz

0:04:05.749,0:04:07.518
bezüglich der Energieerhaltung.

0:04:07.518,0:04:10.387
Er sagte, dass die Energie weder erzeugt

0:04:10.387,0:04:12.093
noch vernichtet werden kann.

0:04:12.093,0:04:13.883
Das war eine wichtige Erkenntnis,

0:04:13.883,0:04:17.024
die zum modernen Verständnis von Energie geführt hatte.

0:04:17.024,0:04:19.621
Auf die gleiche Erkenntnis kam ein paar Jahre später

0:04:19.621,0:04:22.272
ein britischer Physiker James Prescott Joule.

0:04:22.272,0:04:24.410
Er entdeckte unter anderem die Gleichheit

0:04:24.410,0:04:26.625
von mechanischer Arbeit und Wärme.

0:04:26.625,0:04:28.763
Dazu führte er beispielsweise den nach ihm

0:04:28.763,0:04:30.552
benannten Joule-Versuch durch,

0:04:30.552,0:04:32.725
wo er einer thermisch isolierten Wassermenge

0:04:32.725,0:04:35.272
mechanische Arbeit von außen zuführte und danach

0:04:35.272,0:04:38.591
die erhöhte Temperatur des Wassers maß.

0:04:38.591,0:04:39.684
Es sah wohl so aus,

0:04:39.684,0:04:42.203
dass die Wärme einfach nur eine andere Form

0:04:42.203,0:04:44.061
der mechanischen Arbeit war.

0:04:44.061,0:04:45.351
Es war etwas Gleiches,

0:04:45.351,0:04:47.705
nur eben in einer anderen Form.

0:04:47.705,0:04:48.934
Wärme, Arbeit...

0:04:48.934,0:04:52.315
das alles schien auf etwas Gleiches hinauszulaufen.

0:04:52.315,0:04:55.044
Bedauerlicherweise führte die Energieerhaltung

0:04:55.044,0:04:57.397
zu einem rechtlichen Streit zwischen

0:04:57.397,0:04:59.034
Robert Mayer und dem Herrn Joule.

0:04:59.034,0:05:00.493
Obwohl Robert Mayer als erster

0:05:00.493,0:05:02.346
die Energieerhaltung formulierte,

0:05:02.346,0:05:04.833
wurde der Streit trotzdem von Joule gewonnen.

0:05:04.833,0:05:07.175
Deshalb wird heute die Einheit der Energie

0:05:07.175,0:05:10.464
nicht in "Mayer", sondern in "Joule" angegeben.

0:05:10.464,0:05:11.851
Der Verlust des rechtlichen Streits

0:05:11.851,0:05:13.321
konnte Mayer nicht verkraften,

0:05:13.321,0:05:15.046
also sprang er in einem Nervenzusammenbruch

0:05:15.046,0:05:16.965
aus dem 2. Stock seines Hauses...

0:05:16.965,0:05:20.136
Blieb jedoch am Leben.

0:05:20.136,0:05:21.946
Der Weg vom mechanischen Wärmeäquivalent

0:05:21.946,0:05:24.081
zu einer Formulierung des 1. Hauptsatzes

0:05:24.081,0:05:25.602
als Energieerhaltungssatz

0:05:25.602,0:05:28.821
war dem deutschen Physiker Hermann von Helmholtz vorbehalten.

0:05:28.821,0:05:31.871
1847 veröffentlichte er die Arbeit :

0:05:31.871,0:05:34.014
"Über die Erhaltung der Kraft",

0:05:34.014,0:05:36.715
in der er den allgemeinen Energieerhaltungssatz

0:05:36.715,0:05:39.801
ausführlich und vorallem wissenschaftlich formulierte.

0:05:39.801,0:05:41.764
Doch, was die Energieerhaltung

0:05:41.764,0:05:43.378
und andere Erhaltungssätze,

0:05:43.378,0:05:45.487
zu einer Grundlage der Physik machte,

0:05:45.487,0:05:48.001
war das sogenannte Noether-Theorem,

0:05:48.001,0:05:50.577
von einer deutschen Mathematikerin Emmy Noether.

0:05:50.577,0:05:52.321
Es besagt, dass man Erhaltungssätze

0:05:52.321,0:05:56.213
als eine prinzipielle Symmetrie der Welt auffassen kann.

0:05:56.213,0:05:58.477
Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie

0:05:58.477,0:06:00.174
eines physikalischen Systems

0:06:00.174,0:06:02.776
gehört eine Erhaltungsgröße.

0:06:02.776,0:06:06.062
Das heißt: es gibt bestimmte Merkmale eines Systems,

0:06:06.062,0:06:07.880
die unverändert bleiben,

0:06:07.880,0:06:10.921
wenn wir es drehen oder spiegeln oder oder oder.

0:06:10.921,0:06:13.741
Die erste angebliche Verletzung

0:06:13.741,0:06:15.921
des Energie- und Impulserhaltungssatzes

0:06:15.921,0:06:18.092
wurde beim Betazerfall festgestellt.

0:06:18.092,0:06:19.415
Denn beim Betazerfall

0:06:19.415,0:06:21.262
fehlte ein Teil der Energie.

0:06:21.262,0:06:24.885
Ein Neutron zerfiel in ein Proton und ein Elektron,

0:06:24.885,0:06:28.427
deren Energie kleiner war als die des Neutrons.

0:06:28.427,0:06:30.343
Später wurde aber dieses Rätsel durch

0:06:30.343,0:06:32.994
den österreichischen Physiker Wolfgang Pauli gelöst,

0:06:32.994,0:06:35.308
indem er ein schwach wechselwirkendes Teilchen,

0:06:35.308,0:06:38.086
das sogenannte Neutrino voraussagte.

0:06:38.086,0:06:39.141
Und dieses Teilchen

0:06:39.141,0:06:41.316
wurde tatsächlich 23 Jahre später,

0:06:41.316,0:06:43.896
in einem der ersten großen Kernreaktoren

0:06:43.896,0:06:46.502
experimentell nachgewiesen.

0:06:46.502,0:06:48.563
Kommen wir nun zu den Begriffen,

0:06:48.563,0:06:49.653
die wir noch klären sollten,

0:06:49.653,0:06:51.903
um die Energieerhaltung besser zu verstehen.

0:06:51.903,0:06:55.092
Einer dieser Begriffe ist das sogenannte Kraftfeld.

0:06:55.092,0:06:57.656
Wenn wir eine Masse an irgendeinem Ort

0:06:57.656,0:07:00.942
in der Nähe des Gravitationsfeldes der Erde platzieren,

0:07:00.942,0:07:02.874
dann erfährt diese Masse eine bestimmte

0:07:02.874,0:07:05.043
konstante Kraft, die ausschließlich

0:07:05.043,0:07:08.886
von der Höhe abhängt und nicht vom Verlauf der Zeit.

0:07:08.886,0:07:12.714
Wir sind also in der Lage jedem dieser Orte

0:07:12.714,0:07:16.413
eine Kraft zuzuordnen, die den jeweiligen Ort charakterisiert.

0:07:16.413,0:07:19.026
Das klassische Kraftfeld ist also dieser Raum,

0:07:19.026,0:07:21.372
in dem an jedem Punkt dieses Raumes,

0:07:21.372,0:07:25.574
eine gewisse Kraft wirkt, wenn wir dort ein Objekt platzieren.

0:07:25.574,0:07:27.392
Diese ganze Summe an Kräften,

0:07:27.392,0:07:29.276
die zum Erdmittelpunkt gerichtet sind,

0:07:29.276,0:07:31.577
stellen das Gravitationsfeld dar.

0:07:31.577,0:07:34.381
In diesem Fall ist es sogar ein konservatives Feld.

0:07:34.381,0:07:35.943
Konservatives Feld heißt:

0:07:35.943,0:07:37.628
es wäre völlig egal, ob ich ein Objekt

0:07:37.628,0:07:41.433
von der Höhe h1 auf Höhe h2 auf diesem Weg,

0:07:41.433,0:07:43.161
oder auf diesem Weg bringe.

0:07:43.161,0:07:44.877
In einem konservativen Feld,

0:07:44.877,0:07:46.617
wie im Falle des Gravitationsfeldes,

0:07:46.617,0:07:50.525
ist die Höhendifferenz des Start- und Endpunktes entscheidend,

0:07:50.525,0:07:52.742
nicht der Weg an sich.

0:07:52.742,0:07:54.323
Auch, wenn ich das Objekt sehr sehr schnell

0:07:54.323,0:07:56.922
zum Endpunkt bringe oder ganz ganz langsam;

0:07:56.922,0:07:59.404
energetisch kommt das Gleiche wieder raus.

0:07:59.404,0:08:01.253
Die Reibung dagegen ist ein gutes Beispiel

0:08:01.253,0:08:03.665
für ein nicht-konservatives Kraftfeld.

0:08:03.665,0:08:06.896
Denn bei dem Weg bis zum Punkt h2

0:08:06.896,0:08:09.476
würde das Objekt ein Teil seiner Energie an die Umgebung

0:08:09.476,0:08:11.613
aufgrund der Reibung verlieren,

0:08:11.613,0:08:14.123
zum größten Teil in Form von Wärme.

0:08:14.123,0:08:16.061
Ein längerer Weg würde also dementsprechend

0:08:16.061,0:08:19.373
mehr Energie kosten, als ein kürzerer Weg.

0:08:19.373,0:08:21.818
Die Ausübung der Schwerkraft

0:08:21.818,0:08:24.263
durch das konservative Kraftfeld der Erde,

0:08:24.263,0:08:26.274
hat zur Folge, dass sich das Objekt

0:08:26.274,0:08:28.848
in Richtung des Erdmittelpunktes beschleunigt wird.

0:08:28.848,0:08:31.502
Betrachten wir irgendein Intervall zweier Orte,

0:08:31.502,0:08:34.353
z.B. die Strecke zwischen s1 und s2

0:08:34.353,0:08:35.753
die mittels der Krafteinwirkung

0:08:35.753,0:08:38.115
von einem Objekt zurückgelegt wurde,

0:08:38.115,0:08:40.676
dann ist die verrichtete Arbeit das Produkt

0:08:40.676,0:08:45.884
aus der Kraft und der Verschiebung vom Ort s1 zum Ort s2.

0:08:45.884,0:08:48.553
Die Arbeit ist eine skalare Größe.

0:08:48.553,0:08:50.236
Ich weiß nicht, wie weit du in Mathe bist... aber,

0:08:50.236,0:08:52.438
wir multiplizieren hier zwei Vektoren,

0:08:52.438,0:08:54.694
zwei gerichtete Größen miteinander,

0:08:54.694,0:08:57.633
nämlich den Kraftvektor mit dem Ortsvektor,

0:08:57.633,0:08:59.743
und das ergibt eine reine Zahl,

0:08:59.743,0:09:01.685
einen sogenannten Skalar.

0:09:01.685,0:09:04.716
Das Skalarprodukt berücksichtigt nur die Kraftkomponente,

0:09:04.716,0:09:06.883
die in Richtung des Weges zeigt.

0:09:06.883,0:09:09.061
Um also die Arbeit im physikalischen Sinne

0:09:09.061,0:09:10.248
verrichten zu können,

0:09:10.248,0:09:12.567
muss die Kraft parallel zum Weg

0:09:12.567,0:09:15.248
oder eben unter einem bestimmten Winkel wirken,

0:09:15.248,0:09:17.123
aber nicht rechtwinklig;

0:09:17.123,0:09:21.592
denn das Produkt zweier senkrechter Vektoren

0:09:21.592,0:09:22.714
ist Null und somit auch die Arbeit.

0:09:22.714,0:09:24.124
Es gilt die Beziehung:

0:09:24.124,0:09:26.385
W=Fs∗cos(α).

0:09:26.385,0:09:28.382
Wenn du also ein Gewicht anhebst,

0:09:28.382,0:09:31.612
dann verrichtest du eine Arbeit, die notwendig ist,

0:09:31.612,0:09:33.643
um das Gewicht anzuheben.

0:09:33.643,0:09:35.300
Wenn du dann so stehen bleibst

0:09:35.300,0:09:38.371
oder mit dem angehobenen Gewicht anfängst zu gehen,

0:09:38.371,0:09:41.839
dann verrichtest du im physikalischen Sinne keine Arbeit,

0:09:41.839,0:09:44.735
denn der Weg steht senkrecht zur Kraft.

0:09:44.735,0:09:46.903
Die Arbeit kann entweder positiv

0:09:46.903,0:09:49.266
oder negativ sein. Also mit Vorzeichen...

0:09:49.266,0:09:52.555
Und das ist ganz praktisch, denn damit können wir sofort sehen,

0:09:52.555,0:09:57.213
ob am Objekt oder vom Objekt Arbeit verrichtet wird.

0:09:57.213,0:09:59.473
Wenn wir am Objekt die Arbeit verrichten,

0:09:59.473,0:10:01.032
dann ist das Vorzeichen positiv,

0:10:01.032,0:10:03.931
denn wir fügen dem Objekt zusätzliche Energie zu.

0:10:03.931,0:10:06.693
Und, wenn die Arbeit vom Objekt verrichtet wird,

0:10:06.693,0:10:08.574
dann ist sie entsprechend negativ,

0:10:08.574,0:10:10.925
denn wir ziehen ja ihm die Energie ab.

0:10:10.925,0:10:12.795
Das Schwerefeld der Erde zum Beispiel,

0:10:12.795,0:10:15.145
übt eine Kraft auf das Objekt aus,

0:10:15.145,0:10:17.553
führt ihm also eine Energie zu.

0:10:17.553,0:10:19.606
Zusammengefasst lässt sich sagen:

0:10:19.606,0:10:22.159
Arbeit, die einem System zugeführt

0:10:22.159,0:10:24.186
oder vom System abgeführt wird,

0:10:24.186,0:10:26.531
wird als Energie abgespeichert.

0:10:26.531,0:10:28.655
Je mehr Energie das System besitzt,

0:10:28.655,0:10:31.033
desto mehr Arbeit kann es verrichten.

0:10:31.033,0:10:32.686
Arbeit ist ein Prozess. Energie ist ein Zustand.

0:10:32.686,0:10:35.942
Die Einheit der Energie,

0:10:35.942,0:10:38.913
benannt nach einem britischen Physiker, ist Joule.

0:10:38.913,0:10:41.312
Ein Joule ist die Energiemenge, die benötigt wird,

0:10:41.312,0:10:45.812
um eine Sekunde lang, eine Leistung von einem Watt zu erbringen.

0:10:45.812,0:10:47.195
Eine gewöhnliche Glühlampe

0:10:47.195,0:10:49.425
besitzt zum Vergleich 100 Watt Leistung.

0:10:49.425,0:10:51.331
Wir bräuchten also 100 Joule,

0:10:51.331,0:10:55.225
um die Glühlampe eine Sekunde leuchten zu lassen.

0:10:55.225,0:10:57.922
Grundsätzlich lässt sich sagen:

0:10:57.922,0:11:00.194
Unterschiedliche Energieformen können

0:11:00.194,0:11:02.301
ineinander umgewandelt werden.

0:11:02.301,0:11:05.071
Sei es die chemische Energie, Gravitationsenergie,

0:11:05.071,0:11:07.195
Wärmeenergie oder oder oder.

0:11:07.195,0:11:10.766
Umwandlung ja; Vernichtung und Erzeugung - nein.

0:11:10.766,0:11:14.224
Die Gesamtenergie ist zu jedem Zeitpunkt konstant,

0:11:14.224,0:11:16.193
sie entsteht nicht aus dem Nichts.

0:11:16.193,0:11:17.715
Natürlich unter der Voraussetzung,

0:11:17.715,0:11:20.295
dass wir ein abgeschlossenes System betrachten.

0:11:20.295,0:11:22.933
Es darf also nicht mit der Umgebung wechselwirken.

0:11:22.933,0:11:24.285
Rein theoretisch versteht sich!

0:11:24.285,0:11:27.743
In der Realität findet immer irgendwo eine Wechselwirkung statt.

0:11:27.743,0:11:29.367
Ein System lässt sich, praktisch gesehen,

0:11:29.367,0:11:32.276
nicht komplett von der Außenwelt isolieren.

0:11:32.276,0:11:34.972
Die nicht mögliche Isolation des Systems

0:11:34.972,0:11:36.534
wäre das eine Problem.

0:11:36.534,0:11:40.339
Das andere Problem ist die Ausdehnung des betrachteten Objekts.

0:11:40.339,0:11:42.794
Bei der Berechnung der Energie oder Arbeit,

0:11:42.794,0:11:47.846
betrachten wir Objekte, z.B. Autos oder Planeten als Punktmassen.

0:11:47.846,0:11:50.054
Das heißt die ganze Masse des Autos

0:11:50.054,0:11:51.908
oder des Planeten ist in einem

0:11:51.908,0:11:54.576
unendlich kleinen Punkt konzentriert;

0:11:54.576,0:11:57.333
was in der Realität natürlich nicht der Fall ist.

0:11:57.333,0:12:00.261
Also dienen die ganzen Berechnungen der Punktmechanik

0:12:00.261,0:12:02.759
lediglich einer Näherung an die Realität,

0:12:02.759,0:12:05.093
die mathematisch sehr einfach aufgebaut ist

0:12:05.093,0:12:08.241
und trotzdem relativ genaue Ergebnisse liefert.

0:12:08.241,0:12:10.216
Erhaltungsgrößen wurden eingeführt,

0:12:10.216,0:12:11.729
weil sie eine Möglichkeit bieten,

0:12:11.729,0:12:14.727
mit deren Hilfe physikalische Vorgänge zu berechnen

0:12:14.727,0:12:17.241
und zwar auf einer einfachen Art und Weise,

0:12:17.241,0:12:18.531
denn wir müssen beispielsweise keine

0:12:18.531,0:12:20.953
Bahngleichung des Pendels aufstellen,

0:12:20.953,0:12:22.896
um etwas über seine Geschwindigkeit

0:12:22.896,0:12:24.778
bei einem bestimmten Ort sagen zu können.

0:12:24.778,0:12:28.605
Wir können sie einfach mit dem Energieerhaltungssatz abschätzen.

0:12:28.605,0:12:31.831
Dazu müssen wir lediglich die Anfangsbedingungen kennen.

0:12:31.831,0:12:33.621
Man kann mit dem Energieerhaltungssatz jedoch

0:12:33.621,0:12:35.593
nichts über die Zeit aussagen;

0:12:35.593,0:12:39.432
man kann nicht sagen, wann das Pendel eine bestimmte Lage erreicht,

0:12:39.432,0:12:42.314
dazu müssten wir die Bahnkurve kennen.

0:12:42.314,0:12:46.098
Lassen wir nun einen Apfel aus 10 Meter Höhe fallen.

0:12:46.098,0:12:49.121
Dann aus 20 und dann aus 50.

0:12:49.121,0:12:52.775
Wir werden feststellen, dass das Einschlagloch deutlich tiefer ist,

0:12:52.775,0:12:56.024
wenn der Apfel aus einer größeren Höhe fallen gelassen wird.

0:12:56.024,0:12:57.673
Bei dieser Beobachtung äußert sich

0:12:57.673,0:12:59.994
die sogenannte potentielle Energie,

0:12:59.994,0:13:02.172
oder auch Lageenergie genannt.

0:13:02.172,0:13:05.254
Dabei wären die Einschlaglöcher deutlich tiefer,

0:13:05.254,0:13:08.921
wenn wir das gleiche Experiment auf dem Jupiter durchführen würden.

0:13:08.921,0:13:09.927
Da ist nämlich

0:13:09.927,0:13:12.156
die Fallbeschleunigung deutlich größer,

0:13:12.156,0:13:15.564
was mit einem stärkeren Gravitationsfeld verbunden ist.

0:13:15.564,0:13:19.473
Die potentielle Energie bezieht sich nicht nur auf Gravitationsfelder,

0:13:19.473,0:13:22.927
sondern auch auf z.B. elektrische oder magnetische Felder.

0:13:22.927,0:13:26.416
Die verwendete Formel für Höhenenergie im Gravitationsfeld:

0:13:26.416,0:13:29.262
E = mgh ist nur eine Näherung,

0:13:29.262,0:13:31.564
denn je weiter wir von der Erde entfernt sind,

0:13:31.564,0:13:34.565
desto schwächer wird die Anziehungskraft: F = mg.

0:13:34.565,0:13:36.792
Der Bezugspunkt der potentiellen Energie

0:13:36.792,0:13:38.972
kann beliebig festgelegt werden,

0:13:38.972,0:13:41.157
denn das Einzige, was bei der potentiellen Energie

0:13:41.157,0:13:42.701
wirklich entscheidend ist,

0:13:42.701,0:13:45.154
ist die Differenz zweier Potentiale.

0:13:45.154,0:13:48.596
Ob wir das Nullniveau direkt auf der Erdoberfläche

0:13:48.596,0:13:51.732
oder auf der Fallhöhe definieren, ist völlig egal.

0:13:51.732,0:13:54.594
Die Differenz und somit der Betrag der Energie

0:13:54.594,0:13:57.154
bleibt so und so gleich!

0:13:57.154,0:14:01.124
Kinetische Energie, ist die Energie der Bewegung.

0:14:01.124,0:14:03.146
Jedes sich bewegende Objekt

0:14:03.146,0:14:04.949
besitzt eine kinetische Energie,

0:14:04.949,0:14:07.481
die von seiner Masse und seiner Geschwindigkeit abhängt.

0:14:07.481,0:14:09.478
Sie wird dem Objekt bei seiner Beschleunigung

0:14:09.478,0:14:12.954
z.B. vom Ruhezustand aus, zugeführt.

0:14:12.954,0:14:15.446
Nach dem wir einen Körper der Masse m

0:14:15.446,0:14:17.976
auf die Geschwindigkeit v beschleunigt haben,

0:14:17.976,0:14:19.842
indem wir auf ihn mit einer Kraft F

0:14:19.842,0:14:22.393
über eine Strecke s eingewirkt haben,

0:14:22.393,0:14:26.445
haben wir ihm damit eine Energie zugeführt: E = Fs.

0:14:26.445,0:14:28.081
Während dieser Zeit wurde vom Körper

0:14:28.081,0:14:30.841
eine Strecke s=vt zurückgelegt.

0:14:30.841,0:14:33.435
Da wir ihn innerhalb dieser Strecke beschleunigt haben,

0:14:33.435,0:14:35.604
nahm die Geschwindigkeit zu,

0:14:35.604,0:14:38.774
deshalb wird die Durchschnittsgeschwindigkeit betrachtet,

0:14:38.774,0:14:42.076
also der Mittelwert: 1/2vt.

0:14:42.076,0:14:45.486
Die Kraft ist dabei Masse multipliziert mit der Beschleunigung:

0:14:45.486,0:14:46.893
F = ma.

0:14:46.893,0:14:48.878
Einsetzen in die Energie-Formel ergibt:

0:14:48.878,0:14:52.424
E = ma * 1/2vt.

0:14:52.424,0:14:53.455
Unter der Voraussetzung,

0:14:53.455,0:14:55.564
dass wir den Körper gleichmäßig beschleunigt haben,

0:14:55.564,0:14:58.943
ist a*t eine Geschwindigkeit v.

0:14:58.943,0:15:00.912
Dies ergibt die kinetische Energie:

0:15:00.912,0:15:04.233
1/2mv^2.

0:15:04.233,0:15:07.095
Die klassische Formel der kinetischen Energie

0:15:07.095,0:15:09.035
kann jedoch bei sehr hohen Geschwindigkeiten

0:15:09.035,0:15:11.173
nicht mehr aufrechterhalten werden.

0:15:11.173,0:15:14.003
Es kommen einfach falsche Ergebnisse heraus.

0:15:14.003,0:15:16.826
Aus diesem Grunde müssen wir, bei hohen Geschwindigkeiten,

0:15:16.826,0:15:20.004
die einen beträchtlichen Teil der Lichtgeschwindigkeit ausmachen,

0:15:20.004,0:15:23.065
die relativistische Energie-Formel verwenden.

0:15:23.065,0:15:25.961
Die relativistische kinetische Energie ist dabei

0:15:25.961,0:15:29.261
Gesamtenergie Minus Ruheenergie:

0:15:29.261,0:15:34.106
Eges - mc^2, wobei die Gesamtenergie

0:15:34.106,0:15:37.003
folgendem Ausdruck entspricht: (siehe Video).

0:15:37.003,0:15:39.322
Die Gesamtenergie setzt sich aus

0:15:39.322,0:15:42.199
kinetischer und potentieller Energie zusammen.

0:15:42.199,0:15:45.531
Die potentielle Energie ist abhängig vom Ort.

0:15:45.531,0:15:48.123
Es spielt also eine Rolle, ob ich mich auf 10 Meter

0:15:48.123,0:15:50.215
oder auf 20 Meter Höhe befinde,

0:15:50.215,0:15:54.766
denn durch eine andere Lage, besitze ich eine andere potentielle Energie.

0:15:54.766,0:15:56.281
Nun müssen wir uns klar machen,

0:15:56.281,0:15:58.706
was eigentlich Energieerhaltung bedeutet.

0:15:58.706,0:16:00.084
Wikipedia sagt uns:

0:16:00.084,0:16:05.801
"dass also die Gesamtenergie eines isolierten Systems sich nicht mit der Zeit ändert. "

0:16:05.801,0:16:06.832
Was heißt das?

0:16:06.832,0:16:09.663
Mathematisch gesagt: die Ableitung der Gesamtenergie

0:16:09.663,0:16:12.301
nach der Zeit muss 0 ergeben: dE/dt=0.

0:16:12.301,0:16:16.635
Egal wie lange wir warten,

0:16:16.635,0:16:19.017
die Energie bleibt gleich;

0:16:19.017,0:16:20.235
natürlich unter der Voraussetzung,

0:16:20.235,0:16:23.203
dass keine äußeren Kräfte auf das Objekt wirken.

0:16:23.203,0:16:26.352
Schauen wir uns nun an, ob die zeitliche Ableitung 0 ergibt.

0:16:26.352,0:16:28.299
Zuerst die kinetische Energie.

0:16:28.299,0:16:30.994
Sie beträgt nämlich Ekin=1/2mv^2.

0:16:30.994,0:16:34.361
Die Geschwindigkeit ist eine zeitliche Ableitung des Ortes,

0:16:34.361,0:16:35.621
schreiben wir das um.

0:16:35.621,0:16:44.982
Das Ganze abgeleitet nach der Zeit ergibt: 1/2m2va.

0:16:44.982,0:16:48.124
Bei der Ableitung haben wir natürlich die Produktregel angewendet

0:16:48.124,0:16:52.221
Äußere Ableitung von v^2 ist 2v.

0:16:52.221,0:16:53.875
MAL die innere Ableitung,

0:16:53.875,0:16:55.875
also die Ableitung der Geschwindigkeit.

0:16:55.875,0:16:57.186
Und die Ableitung der Geschwindigkeit

0:16:57.186,0:16:59.245
ist die Beschleunigung.

0:16:59.245,0:17:01.364
Die zwei kürzt sich weg.

0:17:01.364,0:17:05.366
So, jetzt noch die potentielle Energie ableiten: Epot/dt.

0:17:05.366,0:17:07.273
Sie hängt aber nicht direkt von der Zeit,

0:17:07.273,0:17:09.065
sondern vom Ort ab.

0:17:09.065,0:17:11.895
Der Ort dagegen ist zeitabhängig.

0:17:11.895,0:17:13.257
Also betrachten wir sozusagen,

0:17:13.257,0:17:15.746
die Änderung der potentiellen Energie

0:17:15.746,0:17:18.655
bezüglich der zeitlichen Ableitung des Ortes.

0:17:18.655,0:17:21.501
Das ist die Ableitung der potentiellen Energie nach dem Ort

0:17:21.501,0:17:25.531
mal die Ableitung des Ortes nach der Zeit.

0:17:25.531,0:17:27.486
Addieren wir nun die beiden zeitlichen Ableitungen

0:17:27.486,0:17:29.623
der kinetischen und potentiellen Energie,

0:17:29.623,0:17:33.792
o erhalten wir die zeitliche Ableitung der Gesamtenergie.

0:17:33.792,0:17:36.383
Klammern wir die Geschwindigkeit aus.

0:17:36.383,0:17:37.353
Laut Newton wissen wir,

0:17:37.353,0:17:39.475
dass eine Kraft das Produkt der Masse

0:17:39.475,0:17:42.781
und der Beschleunigung ist: F=ma.

0:17:42.781,0:17:46.021
Setzen die Formel in unsere Ableitung der Gesamtenergie ein

0:17:46.021,0:17:48.676
und erhalten folgenden Ausdruck.

0:17:48.676,0:17:49.552
Soweit so gut.

0:17:49.552,0:17:52.737
Dieses dEpot/dx muss auch noch verarztet werden...

0:17:52.737,0:17:55.967
Da die Energieerhaltung nur in konservativen Systemen gilt,

0:17:55.967,0:17:58.602
können wir die Ableitung der Energie nach dem Ort,

0:17:58.602,0:18:02.101
als ein Kraft- bzw. Gradientenfeld auffassen: grad(Epot) = - F.

0:18:02.101,0:18:04.041
Die Kraft ist dabei negativ,

0:18:04.041,0:18:07.331
zeigt also in Richtung abnehmender potentieller Energie.

0:18:07.331,0:18:09.484
Nach dem Einsetzen heben sich die Kräfte weg

0:18:09.484,0:18:13.744
und wir erhalten 0 - als zeitliche Ableitung der Gesamtenergie.

0:18:13.744,0:18:15.141
Somit haben wir gezeigt,

0:18:15.141,0:18:19.433
dass die Energie in einem konservativen System erhalten bleibt.

0:18:19.433,0:18:20.785
Du hast wahrscheinlich

0:18:20.785,0:18:22.078
nichts verstanden oder?

0:18:22.078,0:18:25.597
Okay, dann verringern wir den Schwierigkeitsgrad ein bisschen.

0:18:25.597,0:18:26.855
Wir müssen zeigen,

0:18:26.855,0:18:29.463
dass die Summe potentieller und kinetischer Energien

0:18:29.463,0:18:32.305
zu jedem Zeitpunkt konstant ist!

0:18:32.305,0:18:37.853
Epot+Ekin=Eges=const.

0:18:37.853,0:18:39.533
Das heißt nichts anderes,

0:18:39.533,0:18:43.418
dass die beiden Energieformen sich ineinander umwandeln können,

0:18:43.418,0:18:48.180
soviel sie wollen, die Gesamtenergie bleibt gleich.

0:18:48.180,0:18:50.232
Verstanden? Gut.

0:18:50.232,0:18:53.969
Kinetische Energie war: Ekin=1/2mv^2.

0:18:53.969,0:18:57.313
und potentielle Energie war: Epot=mgh.

0:18:57.313,0:18:59.217
Wobei die Höhe h, wie wir wissen,

0:18:59.217,0:19:02.001
Differenz der Start -und Endhöhe ist.

0:19:02.001,0:19:09.425
Soweit so gut, setzen wir das Ganze in unsere Behauptung ein

0:19:09.425,0:19:11.654
und multiplizieren die Klammer aus.

0:19:11.654,0:19:13.594
Die Geschwindigkeit v ist nichts anderes

0:19:13.594,0:19:17.895
als eine Beschleunigung g multipliziert mit der Zeit t.

0:19:17.895,0:19:21.175
Der Fall ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung,

0:19:21.175,0:19:27.954
d.h. bei der Endhöhe hat das Objekt eine Strecke von 1/2gt^2 zurückgelegt.

0:19:27.954,0:19:30.415
Diese Formel kennst du hoffentlich aus der Kinematik.

0:19:30.415,0:19:32.567
Diese setzen wir für Endhöhe ein!

0:19:32.567,0:19:34.788
Wie du nach einer kleinen Umstellung sehen kannst,

0:19:34.788,0:19:37.077
hebt sich ein Teil weg.

0:19:37.077,0:19:40.835
Übrig bleibt: mgh=Eges.

0:19:40.835,0:19:42.004
Wir haben also gezeigt,

0:19:42.004,0:19:45.932
dass am Punkt der Endhöhe, die kinetische Energie

0:19:45.932,0:19:50.555
und die durch den Fall abgenommene Höhenenergie sich aufgehoben haben,

0:19:50.555,0:19:52.495
sodass am Ende die Gesamtenergie,

0:19:52.495,0:19:57.347
die auf der Starthöhe vorgegeben war, erhalten geblieben ist.

0:19:57.347,0:20:00.433
Energieerhaltung lässt sich ganz gut

0:20:00.433,0:20:03.116
am frei fallenden Körper verdeutlichen.

0:20:03.116,0:20:05.592
Bringen wir ihn auf 10m Höhe,

0:20:05.592,0:20:09.853
so besitzt er eine Höhenenergie, nämlich Epot=mgh.

0:20:09.853,0:20:11.352
Lassen wir den Körper fallen,

0:20:11.352,0:20:15.004
so nimmt die Höhenenergie aufgrund der Abnahme der Höhe, ab.

0:20:15.004,0:20:17.339
Diese Energie verschwindet aber nicht ins Jenseits,

0:20:17.339,0:20:22.126
sondern wird in kinetische Energie umgewandelt: Ekin=1/2mv^2.

0:20:22.126,0:20:24.083
Nach dem Gleichsetzen beider Formeln

0:20:24.083,0:20:26.813
sehen wir, dass die Masse m sich wegkürzt.

0:20:26.813,0:20:28.752
Es spielt also im Prinzip keine Rolle,

0:20:28.752,0:20:30.511
welche Masse fallen gelassen wird.

0:20:30.511,0:20:34.683
Umformung nach v ergibt 14m/s.

0:20:34.683,0:20:37.021
Solange wir die Fallhöhe kennen,

0:20:37.021,0:20:39.966
sind wir in der Lage für jeden Punkt des Falls

0:20:39.966,0:20:42.728
eine Geschwindigkeit des Körpers zu bestimmen.

0:20:42.728,0:20:44.392
Wenn du mal also einen Apfel

0:20:44.392,0:20:46.274
im Garten deiner Oma fallen siehst,

0:20:46.274,0:20:48.321
dann denk an die Energieerhaltung,

0:20:48.321,0:20:53.141
denn damit kannst du super easy die Auftreffgeschwindigkeit des Apfels abschätzen.

0:20:53.141,0:20:56.254
Und deine Abschätzung wird deutlich genauer sein,

0:20:56.254,0:20:58.693
als bei demjenigen, der dieses Wissen nicht besitzt

0:20:58.693,0:21:02.566
und die Geschwindigkeit rein intuitiv abschätzt.

0:21:02.566,0:21:04.778
Energieerhaltungssatz kann nicht nur auf den freien Fall,

0:21:04.778,0:21:07.443
sondern auch auf schiefe Ebene angewendet werden.

0:21:07.443,0:21:10.065
Entweder man nutzt einen umständlichen Weg

0:21:10.065,0:21:14.401
mit Hilfe der Kräfte, Winkel und der Bewegungsgleichung

0:21:14.401,0:21:19.734
oder man nutzt die Tatsache aus, dass Energie in einem System erhalten bleibt.

0:21:19.734,0:21:22.376
Packen wir den Körper ganz oben auf die schiefe Ebene,

0:21:22.376,0:21:25.075
so führen wir dem eine potentielle Energie zu.

0:21:25.075,0:21:26.637
Lassen wir den los,

0:21:26.637,0:21:31.137
dann setzt er sich in Bewegung und wandelt dabei die zugeführte potentielle Energie

0:21:31.137,0:21:33.075
in Bewegungsenergie um.

0:21:33.075,0:21:34.014
Klar oder?

0:21:34.014,0:21:36.898
Die Geschwindigkeit lässt sich leicht am Endpunkt angeben.

0:21:36.898,0:21:40.417
Dazu müssen wir lediglich die Höhe der Ebene kennen.

0:21:40.417,0:21:42.885
Damit rechnen wir die potentielle Energie

0:21:42.885,0:21:45.087
eines Körpers auf der Höhe h aus,

0:21:45.087,0:21:46.814
sagen wir mal 10 Meter Höhe.

0:21:46.814,0:21:51.166
Nun aufgrund der Energieerhaltung wissen wir,

0:21:51.166,0:21:53.426
dass am Ende der schiefen Ebene,

0:21:53.426,0:21:54.759
wo die Höhe Null ist,

0:21:54.759,0:21:59.385
dass die Höhenenergie sich jetzt komplett in die Bewegungsenergie umgewandelt hat.

0:21:59.385,0:22:02.736
Gleichsetzen der potentiellen mit der kinetischen Energie

0:22:02.736,0:22:05.545
und dem anschließenden Umformen und Einsetzen

0:22:05.545,0:22:09.245
ergibt eine Geschwindigkeit von v≈14m/s.

0:22:09.245,0:22:10.643
Ist das nicht unglaublich?

0:22:10.643,0:22:12.764
Wir können mit sehr einfachen Formeln

0:22:12.764,0:22:14.794
Geschwindigkeiten des Körpers an jedem Punkt

0:22:14.794,0:22:16.601
dieser schiefen Ebene berechnen,

0:22:16.601,0:22:19.693
ohne jeglicher Winkel, ohne Masse des Körpers,

0:22:19.693,0:22:21.633
ohne irgendwelcher Kräfte...

0:22:21.633,0:22:24.184
Das kann ein herunterrollender Fahrradfahrer sein,

0:22:24.184,0:22:27.361
ein Skifahrer oder oder oder.

0:22:27.361,0:22:29.518
Betrachten wir nun ein Fadenpendel.

0:22:29.518,0:22:30.856
Lenkt man das Pendel aus,

0:22:30.856,0:22:33.289
so schwingt es zwischen zwei Umkehrpunkten

0:22:33.289,0:22:37.713
und erreicht seine höchste Geschwindigkeit am Ort des Potentialminimums.

0:22:37.713,0:22:40.656
An den Umkehrpunkten, wo das Pendel stehen bleibt,

0:22:40.656,0:22:44.703
ist die kinetische Energie Null und die potentielle Energie maximal.

0:22:44.703,0:22:46.703
Unabhängig von der Position des Pendels

0:22:46.703,0:22:49.203
hat die Summe aus kinetischer und potentieller

0:22:49.203,0:22:53.075
einen konstanten Wert, den wir durch die anfängliche Auslenkung

0:22:53.075,0:22:55.141
vorgegeben haben.

0:22:55.141,0:22:58.887
Mensch, schon wieder die Energieerhaltung...

0:22:58.887,0:23:01.493
Selbst bei der Loopingbahn findet

0:23:01.493,0:23:04.469
der Energieerhaltungssatz Anwendung.

0:23:04.469,0:23:07.595
Dazu müssen wir nur den Radius r der Loopingbahn kennen,

0:23:07.595,0:23:08.881
um beispielsweise sagen zu können,

0:23:08.881,0:23:11.583
aus welcher Höhe die Maschine herunterrollen muss,

0:23:11.583,0:23:14.021
um die Loopingbahn zu überwinden.

0:23:14.021,0:23:16.426
Da wo die Maschine anfängt nach unten zu rollen,

0:23:16.426,0:23:19.184
ist die Geschwindigkeit näherungsweise 0.

0:23:19.184,0:23:22.363
Also hat sie nur die Höhenenergie: Epot=mgh,

0:23:22.363,0:23:26.401
die beim Herunterrollen allmählich in die Geschwindigkeit umgewandelt wird.

0:23:26.401,0:23:29.632
Die Frage ist nur, ob diese Geschwindigkeit ausreichend ist...

0:23:29.632,0:23:32.601
Hierbei müssen wir eine entscheidende Information kennen,

0:23:32.601,0:23:36.631
nämlich, dass am höchsten Punkt der Loopingbahn, zwei Kräfte wirken.

0:23:36.631,0:23:39.964
Die Gewichtskraft: Fg=mg wirkt nach unten,

0:23:39.964,0:23:43.651
während die Fliehkraft Fz=mv^2/r,

0:23:43.651,0:23:45.922
entgegengesetzt der Gewichtskraft wirkt.

0:23:45.922,0:23:47.621
Was folgern wir daraus?

0:23:47.621,0:23:50.182
Nun, es ist klar, dass die Fliehkraft größer

0:23:50.182,0:23:53.055
oder zumindest gleich der Gewichtskraft sein muss,

0:23:53.055,0:23:55.764
sonst stürzt die Maschine einfach nach unten: Fz≥Fg.

0:23:55.764,0:23:57.904
Unser Vorrat an Energie ist vorgegeben

0:23:57.904,0:23:59.849
durch die Starthöhe.

0:23:59.849,0:24:02.895
Am höchsten Punkt muss die Maschine die Energie aufweisen,

0:24:02.895,0:24:05.707
die gleich unserer vorgegebenen Energie ist.

0:24:05.707,0:24:08.542
Also die potentielle Energie am höchsten Punkt der Loopingbahn

0:24:08.542,0:24:10.372
Plus die kinetische Energie dort,

0:24:10.372,0:24:12.833
ist gleich unserer vorgegebenen Energie.

0:24:12.833,0:24:14.533
Wegen der Energieerhaltung und so.

0:24:14.533,0:24:17.446
Würden wir jetzt diese Formel nach der Geschwindigkeit umformen,

0:24:17.446,0:24:19.793
würden wir erfahren, wie schnell sich die Maschine

0:24:19.793,0:24:22.501
am höchsten Punkt der Loopingbahn bewegen würde.

0:24:22.501,0:24:25.385
Die Frage ist, ob diese Geschwindigkeit ausreicht...

0:24:25.385,0:24:28.065
Deshalb wird nach v^2 umgeformt

0:24:28.065,0:24:31.281
und direkt in die Formel der Fliehkraft eingesetzt.

0:24:31.281,0:24:33.781
So jetzt ist unsere Bedingung an der Reihe,

0:24:33.781,0:24:35.614
nämlich, dass die Fliehkraft größer

0:24:35.614,0:24:38.487
oder gleich der Gewichtskraft sein muss.

0:24:38.487,0:24:41.041
Nun wird die Ungleichung mit dem Radius r erweitert

0:24:41.041,0:24:45.216
und die Klammer ausmultipliziert, um den Ausdruck zu vereinfachen.

0:24:45.216,0:24:47.884
Wie man sieht, kürzt sich m*g weg.

0:24:47.884,0:24:50.774
So, jetzt −4r auf die andere Seite bringen,

0:24:50.774,0:24:53.744
ausklammern und durch 2 teilen.

0:24:53.744,0:24:56.203
Als Ergebnis haben wir eine Bedingung herausbekommen,

0:24:56.203,0:24:59.737
die aussagt, aus welcher Höhe die Maschine starten muss,

0:24:59.737,0:25:02.286
um die Loopingbahn überwinden zu können.

0:25:02.286,0:25:06.392
Die Starthöhe muss mindestens 5/2 des Radius entsprechen,

0:25:06.392,0:25:08.744
also z.B. bei einem Radius von 5 Metern,

0:25:08.744,0:25:12.265
muss die Starthöhe mindestens 12,5 Meter betragen,

0:25:12.265,0:25:14.058
sonst...

0:25:14.058,0:25:16.872
<i>schrei</i>