Brug af dobbeltvinkelformlen for cosinus

Dobbeltvinkelformlen for cosinus siger at cos(2θ) er lig cos² (θ)-sin² (θ). Vi bruger denne formel til at bestemme det dobbelte af en vinkel i en retvinklet trekant.

At kende til de mange forskellige trigonometriske formler og sætninger er én ting. Det er noget helt andet at kunne bevise dem. I dette emne skal vi bevise forskellige trigonometriske sætninger samt definere inverse trigonometriske funktioner, som gør det muligt at løse trigonometriske ligninger.

I opvarmning til infinitesimalregning skal du bygge ovenpå mange af de færdigheder, du allerede har. Vi skal arbejde med: sammensatte funktioner, trigonometriske funktioner, vektorer, matricer, keglesnit samt sandsynlighedsregning og kombinatorik. Der er dog også to nye emner om talrækker samt grænseværdier og kontinuitet. I opvarmning til infinitesimalregning fra Khan Academy får du en omfattende, oplysende og spændende introduktion til infinitesimalregning. Glæd dig!

Khan Academy har en mission om at give gratis, verdensklasse undervisning til hvem som helst, hvor som helst. Vi tilbyder quizzer, opgaver, videoer og artikler inden for områder som matematik, kunst, computerprogrammering, økonomi, fysik, kemi, biologi, medicin, finans, historie, og meget mere. Vi giver lærere værktøjer og data som de kan bruge til at hjælpe deres elever med at udvikle deres færdigheder, vaner og tankegang, så de fremover kan have succes både i skolen og senere i livet. Khan Academy er oversat til mange sprog og over 15 millioner mennesker verden over lærer via Khan Academy hver måned. Khan Academy er et 501(c)(3) nonprofit selskab.

Giv en donation eller Bliv frivillig i dag!

https://www.khanacademy.org/donate

https://www.khanacademy.org/contribute

Vi har trekant ABC her,

som ligner en retvinklet trekant.

Vi ved, det er en retvinklet trekant,
fordi 3² + 4² = 5².

Vi skal bestemme cos(2∠ABC).

Dette er vinkel ABC.

Den kan vi ikke umiddelbart udregne,

men vi ved, hvad cos(∠ABC) er.

cosinus er hosliggende over hypotenuse.

Så cos(∠ABC) er 3/5.

På samme måde ved vi, hvad sin(∠ABC) er.

sinus er modstående over hypotenuse.

Det er 4/5.

Hvis vi kan omskrive den til kun
cos(∠ABC) og sin(∠ABC),

så kan vi udregne den.

Heldigvis for os, så har vi en trig formel
der kan gøre præcis det.

Vi ved, at cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ).

Det har vi bevist i andre videoer.

Det kan hjælpe os her.

-- lad mig bruge en anden farve --

Vi ved, at cos(∠ABC) =

Nej, cos(2∠ABC) = cos²(∠ABC) - sin²(∠ABC).

Vi ved, hvad disse led er.

Dette led her er (3/5)²

cos(∠ABC) er 3/5

og så tager vi kvadratet på det.

Dette her er blot (4/5)²,

så - (4/5)².

Det kan reduceres til 9/25 - 16/25,

som er lig 7/25.

Undskyld det skal være minus.

Man skal være forsigtigt her.

16 er større end 9.

-7/25.

Nu undrer du dig måske over,

hvordan får jeg en negativ værdi,
når jeg fordobler vinklen?

Cosinus var tydeligvis et positivt tal.

Du skal lige huske på enhedscirklen.

Vi kender allerede enhedscirklens
definitioner af trig funktionerne,

som udledes af "Mod Hos ModHos".

x-aksen

y-aksen

Lad mig tegne en enhedscirkel.

Min bedste version.

Dette er vores enhedscirkel.

Denne vinkel ser nogenlunde således ud.

Du kan se, at dens x-koordinat,
som er cosinus af en vinkel, er positiv.

Men hvis du fordobler vinklen,

så vil du komme herud et eller andet sted.

Og med enhedscirklens definition

er x-koordinaten, da vi nu
er i 2. kvadrant, negativ.

Det er faktisk det
der skete i denne opgave.