Vi har trekant ABC her,
som ligner en retvinklet trekant.
Vi ved, det er en retvinklet trekant, fordi 3² + 4² = 5².
Vi skal bestemme cos(2∠ABC).
Dette er vinkel ABC.
Den kan vi ikke umiddelbart udregne,
men vi ved, hvad cos(∠ABC) er.
cosinus er hosliggende over hypotenuse.
Så cos(∠ABC) er 3/5.
På samme måde ved vi, hvad sin(∠ABC) er.
sinus er modstående over hypotenuse.
Det er 4/5.
Hvis vi kan omskrive den til kun cos(∠ABC) og sin(∠ABC),
så kan vi udregne den.
Heldigvis for os, så har vi en trig formel der kan gøre præcis det.
Vi ved, at cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ).
Det har vi bevist i andre videoer.
Det kan hjælpe os her.
-- lad mig bruge en anden farve --
Vi ved, at cos(∠ABC) =
Nej, cos(2∠ABC) = cos²(∠ABC) - sin²(∠ABC).
Vi ved, hvad disse led er.
Dette led her er (3/5)²
cos(∠ABC) er 3/5
og så tager vi kvadratet på det.
Dette her er blot (4/5)²,
så - (4/5)².
Det kan reduceres til 9/25 - 16/25,
som er lig 7/25.
Undskyld det skal være minus.
Man skal være forsigtigt her.
16 er større end 9.
-7/25.
Nu undrer du dig måske over,
hvordan får jeg en negativ værdi, når jeg fordobler vinklen?
Cosinus var tydeligvis et positivt tal.
Du skal lige huske på enhedscirklen.
Vi kender allerede enhedscirklens definitioner af trig funktionerne,
som udledes af "Mod Hos ModHos".
x-aksen
y-aksen
Lad mig tegne en enhedscirkel.
Min bedste version.
Dette er vores enhedscirkel.
Denne vinkel ser nogenlunde således ud.
Du kan se, at dens x-koordinat, som er cosinus af en vinkel, er positiv.
Men hvis du fordobler vinklen,
så vil du komme herud et eller andet sted.
Og med enhedscirklens definition
er x-koordinaten, da vi nu er i 2. kvadrant, negativ.
Det er faktisk det der skete i denne opgave.