WEBVTT

00:00:00.720 --> 00:00:02.526
Vi har trekant ABC her,

00:00:02.526 --> 00:00:04.153
som ligner en retvinklet trekant.

00:00:04.153 --> 00:00:08.720
Vi ved, det er en retvinklet trekant,
fordi 3² + 4² = 5².

00:00:08.720 --> 00:00:12.910
Vi skal bestemme cos(2∠ABC).

00:00:12.910 --> 00:00:16.620
Dette er vinkel ABC.

00:00:16.620 --> 00:00:18.850
Den kan vi ikke umiddelbart udregne,

00:00:18.850 --> 00:00:26.961
men vi ved, hvad cos(∠ABC) er.

00:00:26.961 --> 00:00:29.430
cosinus er hosliggende over hypotenuse.

00:00:29.430 --> 00:00:31.750
Så cos(∠ABC) er 3/5.

00:00:31.750 --> 00:00:39.665
På samme måde ved vi, hvad sin(∠ABC) er.

00:00:39.665 --> 00:00:41.496
sinus er modstående over hypotenuse.

00:00:41.496 --> 00:00:43.240
Det er 4/5.

00:00:43.240 --> 00:00:47.290
Hvis vi kan omskrive den til kun
cos(∠ABC) og sin(∠ABC),

00:00:47.290 --> 00:00:48.950
så kan vi udregne den.

00:00:48.950 --> 00:00:54.178
Heldigvis for os, så har vi en trig formel
der kan gøre præcis det.

00:00:54.178 --> 00:01:05.420
Vi ved, at cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ).

00:01:05.420 --> 00:01:07.633
Det har vi bevist i andre videoer.

00:01:07.633 --> 00:01:10.000
Det kan hjælpe os her.

00:01:10.000 --> 00:01:15.440
-- lad mig bruge en anden farve --

00:01:15.440 --> 00:01:23.220
Vi ved, at cos(∠ABC) =

00:01:23.220 --> 00:01:45.634
Nej, cos(2∠ABC) = cos²(∠ABC) - sin²(∠ABC).

00:01:45.634 --> 00:01:47.670
Vi ved, hvad disse led er.

00:01:47.670 --> 00:01:55.453
Dette led her er (3/5)²

00:01:55.453 --> 00:01:57.130
cos(∠ABC) er 3/5

00:01:57.130 --> 00:01:58.660
og så tager vi kvadratet på det.

00:01:58.660 --> 00:02:01.840
Dette her er blot (4/5)²,

00:02:01.840 --> 00:02:05.518
så - (4/5)².

00:02:05.518 --> 00:02:14.130
Det kan reduceres til 9/25 - 16/25,

00:02:14.130 --> 00:02:19.710
som er lig 7/25.

00:02:19.710 --> 00:02:22.695
Undskyld det skal være minus.

00:02:22.695 --> 00:02:24.081
Man skal være forsigtigt her.

00:02:24.081 --> 00:02:25.620
16 er større end 9.

00:02:25.620 --> 00:02:29.290
-7/25.

00:02:29.290 --> 00:02:31.189
Nu undrer du dig måske over,

00:02:31.189 --> 00:02:36.240
hvordan får jeg en negativ værdi,
når jeg fordobler vinklen?

00:02:36.240 --> 00:02:39.000
Cosinus var tydeligvis et positivt tal.

00:02:39.000 --> 00:02:41.310
Du skal lige huske på enhedscirklen.

00:02:41.310 --> 00:02:45.910
Vi kender allerede enhedscirklens
definitioner af trig funktionerne,

00:02:45.910 --> 00:02:48.874
som udledes af "Mod Hos ModHos".

00:02:48.874 --> 00:02:49.751
x-aksen

00:02:49.751 --> 00:02:50.740
y-aksen

00:02:50.740 --> 00:02:52.830
Lad mig tegne en enhedscirkel.

00:02:52.830 --> 00:02:54.430
Min bedste version.

00:02:54.430 --> 00:02:57.150
Dette er vores enhedscirkel.

00:02:57.150 --> 00:03:03.833
Denne vinkel ser nogenlunde således ud.

00:03:03.833 --> 00:03:08.910
Du kan se, at dens x-koordinat,
som er cosinus af en vinkel, er positiv.

00:03:08.910 --> 00:03:11.592
Men hvis du fordobler vinklen,

00:03:11.592 --> 00:03:16.152
så vil du komme herud et eller andet sted.

00:03:16.152 --> 00:03:18.200
Og med enhedscirklens definition

00:03:18.200 --> 00:03:23.590
er x-koordinaten, da vi nu
er i 2. kvadrant, negativ.

00:03:23.590 --> 00:03:26.667
Det er faktisk det
der skete i denne opgave.