Interval of convergence for dervative and integral
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0:00 - 0:03学习幂级数的时间到了。
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0:03 - 0:04我们可能想要取导数，
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0:04 - 0:06或者我们想要取积分。
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0:06 - 0:09大体上说，我们可以一项一项做。
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0:09 - 0:10什么意思呢？
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0:10 - 0:13好，它的意思是f的导数，
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0:13 - 0:16f'(x)是每一项的
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0:16 - 0:18导数。
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0:18 - 0:22那么它等于n=1到正无穷的和。
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0:22 - 0:24让我们看看，x的n次方的导数
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0:24 - 0:27时n乘以x的n-1次方。
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0:27 - 0:30那么我们可以把它写成n乘以x的n-1次方，
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0:30 - 0:32所有的这些除以n。
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0:32 - 0:34而这些n会取消，
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0:34 - 0:36所以这等于
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0:36 - 0:40它会等于x的n-1次方。
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0:40 - 0:43它是取关于x的导数。
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0:43 - 0:45相似地，我们可以积分，
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0:45 - 0:49我们可以取积分并且
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0:49 - 0:53计算f(x)dx的积分，
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0:54 - 0:58而它等于某个常数加上，
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0:58 - 1:01如果我们一项一项积分的话。
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1:02 - 1:04那么它等于n=1到正无穷
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1:04 - 1:06的总和。
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1:06 - 1:08那么让我看一下，我们增加了指数，
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1:08 - 1:11那么x的n+1次方，那么我们做除法。
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1:11 - 1:15所以乘以n+1乘以这里的这个n。
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1:15 - 1:18当做幂级数这些问题时，
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1:18 - 1:20你会看到这个是一个常见的方法。
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1:20 - 1:22那么我们将会介绍更多细节，
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1:22 - 1:25因为你只能做幂级数收敛区间
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1:25 - 1:29以内的x值。
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1:29 - 1:32正如我们将会看见的，这些不同幂级数的
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1:32 - 1:36收敛区间有一点不一样。
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1:36 - 1:38区间是非常相似的，
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1:38 - 1:41但是终点是不同的。
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1:41 - 1:43所以我鼓励你，先暂停这个视频，
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1:43 - 1:46看看你是不是可以自己算出
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1:46 - 1:48每个级数的收敛区间。
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1:48 - 1:51这是我们原本级数的区间，
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1:51 - 1:54而这个是我们原本级数的导数。
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1:54 - 1:56那让我们开始我们原本的级数。
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1:56 - 1:59让我们算一算收敛区间。
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1:59 - 2:01那么我们可以用比例试验做。
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2:01 - 2:05那么这个比例试验，我们想要做极限，
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2:05 - 2:09子n+1在n走向正无穷时的极限，
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2:10 - 2:15那这个是x的n+1次方除以n+1，
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2:15 - 2:19除以子n，那么是x的n次方除以n。
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2:19 - 2:21那么我们想要取绝对值。
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2:21 - 2:25它等于n趋向正无穷时的极限。
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2:26 - 2:29让我们看一看，如果你用x的n次方
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2:29 - 2:32除以这个和这个，那么它等于1，
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2:32 - 2:34这个是x，
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2:34 - 2:37然后这个n会到上面去。
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2:37 - 2:40那么这个等于xn除以n+1。
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2:42 - 2:47这个等于n趋向于无穷时的极限，
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2:47 - 2:49让我看一下，如果我们在这里
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2:49 - 2:50分子分母除以分之1，
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2:52 - 2:54如果我们分子分母除以n，
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2:54 - 2:58我们会得到x除以1+1/n。
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3:00 - 3:02这个是什么？
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3:02 - 3:04好的，这一项等于零，
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3:04 - 3:08那么这个等于x的绝对值。
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3:08 - 3:12比例检验告诉我们这个级数时收敛的，
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3:12 - 3:15如果那里的这个小于1，
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3:15 - 3:18如果它大于1，它是分散的，
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3:18 - 3:21而如果它等于1的话是无法得出结果的。
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3:21 - 3:23那么我们知道，让我写下来。
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3:23 - 3:26我们知道我们是
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3:27 - 3:28收敛的，
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3:30 - 3:34对于它小于1的时候，
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3:34 - 3:36x的绝对值小于1。
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3:36 - 3:39我们知道如果这个东西大于1的时候，
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3:39 - 3:43我们是离散的，
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3:43 - 3:45当x的绝对值大于1。
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3:45 - 3:49但是那么x的绝对值等于1呢？
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3:49 - 3:50这个是比例检验失败的地方
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3:50 - 3:52而我们得分开检验。
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3:52 - 3:55那么让我们看一下x=1
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3:55 - 3:57的情况。
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3:58 - 4:02当x=1时，这个级数时
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4:03 - 4:07n=1到正无穷时1^n/n的总和。
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4:07 - 4:09好的，它等于1/n。
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4:09 - 4:12这个是调和级数，或者p级数，
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4:12 - 4:14这里的p是1。
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4:14 - 4:17我们已经在多个视频中看到了它时分散的。
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4:17 - 4:20那么当x等于1时，我们分散。
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4:20 - 4:22那x=-1时呢？
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4:22 - 4:26当x等于-1，这个东西变成了-1的n次方除以n
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4:26 - 4:29从n=1到正无穷时
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4:29 - 4:32的总和。
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4:32 - 4:36这个也经常被称为交错调和级数。
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4:36 - 4:38通过交错级数检验，
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4:38 - 4:40这个实际上时收敛的。
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4:40 - 4:42而我们已经在很多视频里见过了。
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4:42 - 4:45那么它的结果是对于我们的原本级数来说
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4:45 - 4:47的收敛区间，
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4:47 - 4:49我们的收敛区间，
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4:49 - 4:51收敛区间，
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4:55 - 4:56这里的收敛，
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4:56 - 4:58我们可以，x可以，
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5:00 - 5:02x可以是
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5:02 - 5:04大于或等于-1，
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5:04 - 5:06或者我可以说-1小于或等于x，
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5:06 - 5:10因为如果x是-1的话，我们仍旧收敛，
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5:10 - 5:13但是然后x得是小于1，
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5:13 - 5:15因为我们在1的时候分散，
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5:15 - 5:17那么我们不能说小于等于。
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5:17 - 5:19那么这个是我们原本函数的
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5:19 - 5:20收敛区间。
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5:20 - 5:22那么当我们取导数时
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5:22 - 5:25这里的这个收敛区间呢？
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5:25 - 5:27好的，当我们取导数时，
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5:27 - 5:31这个和x的0次方加
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5:35 - 5:37x的1次方，
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5:37 - 5:39加x的2次方然后一直加一直加
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5:39 - 5:41是一样的。
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5:41 - 5:42现在你可能意识到这个，
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5:42 - 5:46这是一个共同比例为x的几何级数。
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5:46 - 5:47几何，
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5:49 - 5:50级数，
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5:52 - 5:54我们的共同比例
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5:54 - 5:57通常写作r，等于x。
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5:57 - 6:00我们知道几何级数只有在
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6:00 - 6:03某些情况下收敛，
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6:03 - 6:05也就是我们的共同比例
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6:05 - 6:07的绝对值，
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6:07 - 6:09那么收敛，
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6:11 - 6:13只在共同比例的绝对值
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6:13 - 6:16小于1的时候收敛。
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6:16 - 6:18那么在这个情况下，当我们取
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6:18 - 6:21导数f'(x)，我们的收敛区间
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6:21 - 6:23几乎是一样的。
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6:23 - 6:26那么这里我们的收敛区间
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6:29 - 6:32等于x，得是在
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6:32 - 6:34-1和1之间，
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6:34 - 6:36但是它不能是-1。
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6:36 - 6:39在-1时，我们实际上是分散的，
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6:39 - 6:40在1时也是分散的。
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6:40 - 6:43那么要注意，这些几乎是一样的。
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6:43 - 6:47如果我们把这个看作以0为中心的级数，
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6:47 - 6:50收敛半径时一样的。
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6:50 - 6:54我们可以一个向上，一个向下，一个上，一个下。
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6:54 - 6:56这个大体上是正确的。
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6:56 - 6:57我们取积分为导数。
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6:57 - 6:59但是收敛区间的终点
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6:59 - 7:01可能不同。
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7:01 - 7:03要继续看这个，
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7:03 - 7:06我鼓励你用比例检验
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7:06 - 7:08来算一个，是什么，
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7:10 - 7:14好，用比例检验加上用边界条件，
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7:14 - 7:18计算反导数，这里的积分
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7:18 - 7:20的收敛区间是什么。
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7:20 - 7:22你会看到的是，
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7:22 - 7:24收敛半径时一样的。
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7:24 - 7:27我们可以做零上的一个和下面的一个。
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7:27 - 7:28我们一定要在那个区间内。
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7:28 - 7:31但是正如你将会看到的，这一个收敛，
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7:31 - 7:35x=-1或1。
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7:35 - 7:36我会直接在这里切入正题。
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7:36 - 7:40那么，区间，让我们用黄色写。
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7:40 - 7:45上面的这个收敛区间收敛，
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7:46 - 7:50-1小于x时收敛，
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7:50 - 7:52是小于等于1。
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7:52 - 7:55那么注意，它们所有都有同样的收敛半径，
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7:55 - 7:59但是收敛半径，在终点不一样。
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7:59 - 8:01而如果你想自己试试看证明，
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8:01 - 8:03我鼓励你在原本的函数上
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8:03 - 8:05用一个非常相似的技术。
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8:05 - 8:09用比例检验，你会在这里
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8:09 - 8:12得到结论，然后测试
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8:12 - 8:15x=1和-1时的情况。
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8:15 - 8:18你会看到当x=-1时，
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8:18 - 8:20你有交错p级数，那么它会收敛。
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8:20 - 8:23然后当x=1，你会有一个p级数
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8:23 - 8:27这个p级数的分母的度数大于1，
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8:27 - 8:29或者和p级数相似的东西。
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8:29 - 8:31你可以建立一下它
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8:31 - 8:33也会在那个情况下收敛。
- Title:
- Interval of convergence for dervative and integral
- Description:
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- Video Language:
- English
- Team:
Khan Academy
- Duration:
- 08:35
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