Interval of convergence for dervative and integral

学习幂级数的时间到了。

我们可能想要取导数，

或者我们想要取积分。

大体上说，我们可以一项一项做。

什么意思呢？

好，它的意思是f的导数，

f'(x)是每一项的

导数。

那么它等于n=1到正无穷的和。

让我们看看，x的n次方的导数

时n乘以x的n-1次方。

那么我们可以把它写成n乘以x的n-1次方，

所有的这些除以n。

而这些n会取消，

所以这等于

它会等于x的n-1次方。

它是取关于x的导数。

相似地，我们可以积分，

我们可以取积分并且

计算f(x)dx的积分，

而它等于某个常数加上，

如果我们一项一项积分的话。

那么它等于n=1到正无穷

的总和。

那么让我看一下，我们增加了指数，

那么x的n+1次方，那么我们做除法。

所以乘以n+1乘以这里的这个n。

当做幂级数这些问题时，

你会看到这个是一个常见的方法。

那么我们将会介绍更多细节，

因为你只能做幂级数收敛区间

以内的x值。

正如我们将会看见的，这些不同幂级数的

收敛区间有一点不一样。

区间是非常相似的，

但是终点是不同的。

所以我鼓励你，先暂停这个视频，

看看你是不是可以自己算出

每个级数的收敛区间。

这是我们原本级数的区间，

而这个是我们原本级数的导数。

那让我们开始我们原本的级数。

让我们算一算收敛区间。

那么我们可以用比例试验做。

那么这个比例试验，我们想要做极限，

子n+1在n走向正无穷时的极限，

那这个是x的n+1次方除以n+1，

除以子n，那么是x的n次方除以n。

那么我们想要取绝对值。

它等于n趋向正无穷时的极限。

让我们看一看，如果你用x的n次方

除以这个和这个，那么它等于1，

这个是x，

然后这个n会到上面去。

那么这个等于xn除以n+1。

这个等于n趋向于无穷时的极限，

让我看一下，如果我们在这里

分子分母除以分之1，

如果我们分子分母除以n，

我们会得到x除以1+1/n。

这个是什么？

好的，这一项等于零，

那么这个等于x的绝对值。

比例检验告诉我们这个级数时收敛的，

如果那里的这个小于1，

如果它大于1，它是分散的，

而如果它等于1的话是无法得出结果的。

那么我们知道，让我写下来。

我们知道我们是

收敛的，

对于它小于1的时候，

x的绝对值小于1。

我们知道如果这个东西大于1的时候，

我们是离散的，

当x的绝对值大于1。

但是那么x的绝对值等于1呢？

这个是比例检验失败的地方

而我们得分开检验。

那么让我们看一下x=1

的情况。

当x=1时，这个级数时

n=1到正无穷时1^n/n的总和。

好的，它等于1/n。

这个是调和级数，或者p级数，

这里的p是1。

我们已经在多个视频中看到了它时分散的。

那么当x等于1时，我们分散。

那x=-1时呢？

当x等于-1，这个东西变成了-1的n次方除以n

从n=1到正无穷时

的总和。

这个也经常被称为交错调和级数。

通过交错级数检验，

这个实际上时收敛的。

而我们已经在很多视频里见过了。

那么它的结果是对于我们的原本级数来说

的收敛区间，

我们的收敛区间，

收敛区间，

这里的收敛，

我们可以，x可以，

x可以是

大于或等于-1，

或者我可以说-1小于或等于x，

因为如果x是-1的话，我们仍旧收敛，

但是然后x得是小于1，

因为我们在1的时候分散，

那么我们不能说小于等于。