Multiplying a matrix by a matrix

Mamy tutaj dwie macierze, macierz E i macierz D. Pytają nas: czym jest ED? Innymi słowami: jaki jest iloczyn macierzy E i D?

Skopiuję to i wkleję do notatnika.

Wkleję tutaj, więc mamy wszystkie potrzebne informacje.

Więc popracujmy nad tym. Macierz E razy macierz D to [0, 3, 5; 5, 5, 2] razy [3, 4; 3, -2; 4, -2].

Pierwsza rzecz, którą musimy sprawdzić to, czy jest prawidłowa operacja. Mnożenie macierzy to operacja zdefiniowana przez człowieka, która ma swoje własności.

Sposób w jaki my, ludzie, zdefiniowaliśmy mnożenie macierzy nie zawsze działa. Chcemy pomnożyć nasze dwie macierze, pierwsza to 2x3, a druga to 3x2. Mnożenie działa tylko wtedy, gdy liczba kolumn pierwszej macierzy jest równa liczbie wierszy drugiej macierzy.

W tym przypadku to jest spełnione, więc możemy pomnożyć te dwie macierze. Gdyby te dwie liczby nie były równe, gdyby liczba kolumn pierwszej nie była równa liczbie wierszy drugiej macierzy, to nie byłaby prawidłowa operacja. Przynajmniej nie według tego, jak zdefiniowaliśmy mnożenie macierzy.

Inną rzeczą, o której zawsze musisz pamiętać jest to, że E razy D nie zawsze jest tym samym, czym D razy E. Kolejność jest ważna przy mnożeniu macierzy.

To nieważne przy zwykłych liczbach, ale jest istotne przy macierzach.

Policzmy to.

Dostaniemy macierz 2x2, ale zrobię tutaj trochę miejsca na obliczenia.

To będzie więc równe... zrobię tutaj dużą macierz. Sposób na otrzymanie górnego lewego elementu? Ten element to pierwszy wiersz pierwszej macierzy razy pierwsza kolumna drugiej.

Jeśli jesteś zaznajomiony z iloczynem skalarnym, to bierzemy iloczyn skalarny tego pierwszego wiersza i tej pierwszej kolumny.

Jeśli nie masz pojęcia, czym jest iloczyn skalarny, zaraz pokażę.

Ten pierwszy element to będzie (0 razy 3) + (3 razy 3) + (5 razy 4). To jest więc ten lewy górny element i już widzę, że nie mam miejsca, więc przesunę to na prawo.

Teraz możemy zrobić prawy górny element. Jest on równy iloczynowi pierwszego wiersza i drugiej kolumny.

Zauważ, że elementy dostają wiersze z pierwszej i kolumny z drugiej macierzy.

Więc jeszcze raz, to będzie: (0 razy 4) + (3 razy -2) + (5 razy -2).

I dalej lewy dolny to drugi wiersz razy pierwsza kolumna. To jest więc: (5 razy 3) + (5 razy 3) + (2 razy 4).

Prawie skończyliśmy. Musimy jeszcze tylko znaleźć iloczyn skalarny drugiego wiersza z drugą kolumną. Jest to więc: (5 razy 4)+(5 razy -2)+(2 razy -2).

Policzmy teraz, ile będzie to równe. 0+9+20 to 29. 0+(-6)+(-10) to -16. To tutaj to 15+15+8 czyli 38. I w końcu 20-10-4 czyli 6.

Więc to wszytko stało się 29, -16, 38 i 6.

Sprawdźmy naszą odpowiedź. Dobrze.