Proof: Bounding the Error or Remainder of a Taylor Polynomial Approximation

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0:00 - 0:04

지난 시간에 오차 함수의
개념에 대해 살펴보았습니다
0:04 - 0:06

기댓값과 혼동하지 0:00.6않기 바랍니다
0:06 - 0:08

같은 표기법을 쓰고
있기 때문이죠
0:08 - 0:10

하지만 여기 E는
오류를 말합니다
0:10 - 0:11

이 함수는 Reminder 함수로도
볼 수 있습니다
0:11 - 0:13

이 함수는 Reminder 함수로도
볼 수 있습니다
0:13 - 0:17

이는 함수와 근사함수의 차로
0:17 - 0:20

볼 수도 있습니다
0:20 - 0:26

예를 들어
여기 이 사이의 거리는
0:26 - 0:30

x = b 일 때의
오류입니다
0:30 - 0:32

그 절댓값을 구해야 합니다
0:32 - 0:35

f(x)의 어떤 점에서는
다항식보다 크지만
0:35 - 0:38

다항식보다 작은 경우도
있기 때문이죠
0:38 - 0:41

따라서 그 사이 거리의
절댓값을 구해야 합니다
0:41 - 0:42

이번 강의에서는
0:42 - 0:48

어떤 b에 대한 오류의
상한선을 정하려고 합니다
0:48 - 0:50

어떤 b에 대한 오류의
상한선을 정하려고 합니다
0:50 - 0:53

임의의 상수보다
작거나 같다고 해봅시다
0:53 - 0:56

여기서 b > a 입니다
0:56 - 0:58

여기서 b > a 입니다
0:58 - 1:02

지난 강의에서
이것이 상한선 내에
있는 듯 없는 듯한
1:02 - 1:05

다소 아쉬운 결과를 확인했죠
1:05 - 1:08

오류함수를 n+1번 미분한 함수와
1:08 - 1:12

이 함수를 n+1번 미분한 함수와
같다는 것
1:12 - 1:15

혹은 절댓값이 같다는 것을
보았습니다
1:15 - 1:18

b를 포함하고
우리에게 중요한
1:18 - 1:22

어떤 구간에서
n+1번 미분한 함수의
1:22 - 1:25

상한선이 있다면
1:25 - 1:27

적어도 오류함수를
n+1번 미분한 함수도
1:27 - 1:30

상한선이 있을 것입니다
1:30 - 1:31

그렇다면 임의의 값 b에서
1:31 - 1:36

오류함수가 상한선 내에 있도록
적분을 할 수 있습니다
1:36 - 1:37

확인해 봅시다
1:37 - 1:40

f(x)를 n+1번 미분한 함수에 대해
1:40 - 1:44

무언가를 알고 있다고
가정합시다
1:44 - 1:46

아직 사용하지 않은
1:46 - 1:49

흰색으로 해봅시다
1:49 - 1:51

흰색으로 해봅시다
1:51 - 1:55

이런 그래프가 있다고 합시다
1:55 - 1:59

이는 f^(n+1)(x) 입니다
1:59 - 2:00

이는 f^(n+1)(x) 입니다
2:00 - 2:04

이 구간만을 살펴봅시다
2:04 - 2:06

나중에 어떻게 되든지
구간의 상한선을 정하려고 합니다
2:06 - 2:10

나중에 b가 상한선 내에
있게 하기 위해서죠
2:10 - 2:13

이 절댓값을
이렇게 나타내 봅시다
2:13 - 2:14

여기에 적어볼게요
2:14 - 2:19

여기에 적어볼게요
2:19 - 2:24

f^(N+1)의 절댓값
2:24 - 2:27

지난 강의에서
대문자 N과 소문자 n을
2:27 - 2:28

바꾸어 쓴 점 사과드립니다
2:28 - 2:30

헷갈렸네요
2:30 - 2:32

그러나 이제 알게 되었으니
혼동하지 않기를 바랍니다
2:32 - 2:35

f(x)를 n+1번 미분한 함수
f^(n+1)의 절댓값은
2:35 - 2:40

상한선이 있다고 합시다
2:40 - 2:44

구간에 대하여
임의의 M보다 작거나 같다고 합시다
2:44 - 2:45

그 구간만이
중요하기 때문이죠
2:45 - 2:48

일반적으로 상한선이 없겠지만
2:48 - 2:50

이 구간에서는
최댓값이 존재할 것입니다
2:50 - 2:57

그 구간의 x는
이렇게 나타내보죠
2:57 - 3:04

그 구간의 x는 [a,b]에 속하므로
a와 b 모두 포함합니다
3:04 - 3:06

닫힌 구간이므로
x는 a, b 아니면
3:06 - 3:10

그 사이의 어떤 값도
될 수 있습니다
3:10 - 3:12

일반적으로 이 도함수는
3:12 - 3:15

최댓값이 있다고 볼 수 있습니다
3:15 - 3:20

따라서 이 M은 최댓값입니다
3:20 - 3:24

이 함수가 연속이라면
최댓값이 존재할 것입니다
3:24 - 3:27

이번에도
이 함수는 연속이고
3:27 - 3:31

이 구간에서 최댓값이
존재한다고 가정합니다
3:31 - 3:35

이는 오류함수를
3:35 - 3:39

n+1번 미분한
함수와 같습니다
3:39 - 3:46

따라서 이는 다음을 암시합니다
3:46 - 3:52

녹색으로 해볼게요
3:52 - 3:59

오류함수를
n+1번 미분한 함수를
3:59 - 4:00

위와 같이 절댓값을 취하면
4:00 - 4:05

이 또한 상한선이 M입니다
4:05 - 4:08

재밌는 결과이지만
4:08 - 4:11

겉보기엔 비슷해 보이지만
이는 오류함수를 n+1번 미분한 함수입니다
4:11 - 4:14

나중에 어떻게 M에 도달할 것인지
생각해 보아야 합니다
4:14 - 4:16

이것을 안다고 가정하고
4:16 - 4:19

이를 해결할 예제들을
풀어볼 것입니다
4:19 - 4:20

하지만 이는
n+1번 미분한 함수입니다
4:20 - 4:22

그 절댓값은 상한선이 있지만
4:22 - 4:24

실제 오류함수인
0번 미분한 함수도
4:24 - 4:28

상한선이 있게 해야 합니다
4:28 - 4:31

이 식의 양변을 적분하여
4:31 - 4:35

최종적으로 E(x)가 나오도록
해보려고 합니다
4:35 - 4:38

즉, 오류함수 혹은 reminder 함수가
나오도록 적분해 봅시다
4:38 - 4:44

이 식의 양변을 적분합니다
4:44 - 4:46

좌변의 적분에는
흥미로운 부분이 있습니다
4:46 - 4:48

절댓값을 적분하는 것보다
4:48 - 4:52

적분한 값에 절댓값을 취하는 것이
더 쉽습니다
4:52 - 4:54

운이 좋게도
그 방법을 알고 있습니다
4:54 - 4:56

옆 공간에 적어볼게요
4:56 - 4:59

여러분이 생각해볼 문제입니다
적분을 취할 때
4:59 - 5:03

일반적으로 두 선택지가 있습니다
5:03 - 5:10

이 식과 이 식이 있습니다
똑같아 보일지 모르겠네요
5:11 - 5:13

지금은 똑같아 보일 것입니다
5:13 - 5:16

여기에는 함수에
절댓값을 취하고
5:16 - 5:20

여기에는 적분에
절댓값을 취합니다
5:20 - 5:24

어떤 것이 더 클까요?
5:24 - 5:27

상황을 따져 봅시다
5:27 - 5:30

따라서 f(x)가
적분을 취하는 구간에서
5:30 - 5:33

항상 양수라면
동일한 결과가 나올 것입니다
5:33 - 5:35

양수가 나오는 것과
5:35 - 5:37

양수에 절댓값을 취하는 것은
5:37 - 5:38

차이가 없습니다
5:38 - 5:41

중요한 것은
f(x)가 음수인 경우입니다
5:41 - 5:45

모든 구간에서
f(x)가 음수라면
5:45 - 5:48

x축과 y축을 그립니다
5:48 - 5:51

전 구간에서
f(x)가 양수라면
5:51 - 5:55

양수에 절댓값을
취하는 것이므로
5:55 - 5:56

문제되지 않습니다
5:56 - 5:58

두 식은 같습니다
5:58 - 6:01

만약 전 구간에서
f(x)가 음수라면
6:01 - 6:05

적분 결과 음수가 나옵니다
6:05 - 6:07

그러나 여기에
절댓값을 취하면
6:07 - 6:10

이 값은 양수가 되고
6:10 - 6:13

여전히 같은 값이
나오게 됩니다
6:13 - 6:16

흥미로운 경우는
f(x)가 양수이면서 음수인 경우입니다
6:16 - 6:19

이런 상황을
상상해 봅니다
6:19 - 6:23

f(x)가 이런 모습이라면
6:23 - 6:26

이 부분의 적분은
양수가 되고
6:26 - 6:29

이 부분은 음수가 됩니다
6:29 - 6:31

서로 상쇄시킬 수 있죠
6:31 - 6:34

따라서 절댓값에
적분을 취하는 이 경우가
6:34 - 6:36

값이 더 작겠죠
6:36 - 6:39

f(x)에 절댓값을 취한 경우는
다음과 같습니다
6:39 - 6:42

모든 넓이는
6:42 - 6:43

이것을 명백한
적분값이므로
6:43 - 6:45

이것을 명백한
적분값이므로
6:45 - 6:48

모든 넓이는
양수가 됩니다
6:48 - 6:51

절댓값에 적분을 취할 때
6:51 - 6:53

더 큰 값이 나온다면
6:53 - 6:55

f(x)가 구간에 대하여
양수이면서 음수인 경우입니다
6:55 - 6:57

f(x)가 구간에 대하여
양수이면서 음수인 경우입니다
6:57 - 7:02

먼저 적분하고
절댓값을 취하면
7:02 - 7:04

적분을 취할 때
7:04 - 7:07

이 부분이 상쇄되므로
작은 값이 나옵니다
7:07 - 7:10

이 부분이 상쇄되므로
작은 값이 나옵니다
7:10 - 7:13

따라서 더 작은 값에
절댓값을 취하게 됩니다
7:13 - 7:17

일반적으로
7:17 - 7:18

다시 말씀드리죠
적분에 절댓값을 취한 것은
7:18 - 7:23

절댓값에 적분을 취한 것보다
작거나 같습니다
7:23 - 7:26

따라서 이 식은
절댓값에 적분을 취한 것이고
7:26 - 7:28

크거나 같을 것입니다
7:28 - 7:30

여기에 올 식은
이 식입니다
7:30 - 7:32

이 식보다
크거나 같을 것입니다
7:32 - 7:35

왜 이렇게 하는지
잠시 후에 알게됩니다
7:35 - 7:40

그 식은
E^(n+1)(x)의 적분에
7:40 - 7:46

절댓값을 취한 식입니다
7:46 - 7:49

E^(n+1)(x)dx
7:49 - 7:51

이것이 유용한 이유는
7:51 - 7:55

이는 이 식보다 작거나 같다는
부등식이 성립하기 때문입니다
7:55 - 7:59

이제 적분하기
꽤 간단해졌습니다
7:59 - 8:01

E^(n+1)을 적분하면
8:01 - 8:04

E^n이 됩니다
8:04 - 8:07

즉, 다음과 같습니다
8:07 - 8:11

E^n(x)의 절댓값이 됩니다
8:11 - 8:16

오류함수를 n번 미분한
식의 절댓값입니다
8:16 - 8:17

기댓값에 대해 이야기했나요?
8:17 - 8:18

그럴 수 없죠
8:18 - 8:19

저도 헷갈립니다
8:19 - 8:20

이것은 오류함수입니다
8:20 - 8:22

Reminder 함수로
R을 써도 됐습니다
8:22 - 8:23

하지만 이 식들은
모두 오류함수입니다
8:23 - 8:25

이번 수업에서는
확률이나 기댓값에 대한 내용은 없습니다
8:25 - 8:26

E는 오류함수입니다
8:26 - 8:27

E는 오류함수입니다
8:27 - 8:31

여하튼, 이 식은
오류함수를 n번 미분한 식이고
8:31 - 8:33

이 식보다 작거나 같습니다
8:33 - 8:37

즉, M을 부정적분한
것보다 작거나 같습니다
8:37 - 8:39

이는 상수입니다
8:39 - 8:43

따라서 Mx가 됩니다
8:43 - 8:44

부정적분을
취하고 있으므로
8:44 - 8:48

상수를 더해야 하는 것을
잊으면 안됩니다
8:48 - 8:50

일납적으로
상한선을 정할 때
8:50 - 8:52

가능한 작게
하고 싶을 것입니다
8:52 - 8:57

이 상수항을
최소화하고 싶습니다
8:57 - 9:00

운이 좋게도
이 함수가 특정 점에서
9:00 - 9:04

어떤 값을 가지는지
알고 있습니다
9:04 - 9:08

오류함수를 n번 미분한 식은
a에서 0입니다
9:08 - 9:10

여기에 적었습니다
9:10 - 9:12

E^n(a) = 0 입니다
9:12 - 9:15

a에서는
n번 미분한 함수와
9:15 - 9:20

그 근사값은 같을 것입니다
9:20 - 9:23

a에서 양변을 계산하면
9:23 - 9:27

절댓값을 알고 있습니다
9:27 - 9:32

E^(a)의 절댓값은
9:32 - 9:35

0입니다
9:35 - 9:35

0입니다
9:35 - 9:39

이는 a에서 이 식보다
작거나 같습니다
9:39 - 9:43

Ma + c
9:43 - 9:45

이 부등식 부분을 보세요
9:45 - 9:48

양변에 Ma를 빼줍니다
9:48 - 9:51

-Ma ≤ c 가 됩니다
9:51 - 9:54

지난 수업에서
구할 수 있었던
9:54 - 9:56

이 조건 하에서
상수는
9:56 - 10:01

-Ma보다 크거나 같습니다
10:01 - 10:03

상수를 최소화하려면
10:03 - 10:05

즉, 상한선을 작게 하려면
10:05 - 10:08

-Ma와 같은
c를 고르면 됩니다
10:08 - 10:10

참인 조건들을 만족하는
10:10 - 10:13

제일 작은 c입니다
10:13 - 10:17

c = -Ma 입니다
10:17 - 10:19

전체 식을 다시 적어보면
10:19 - 10:22

n번 미분한 오류 함수에
절댓값을 취한 것은
10:22 - 10:25

n번 미분한 오류 함수에
절댓값을 취한 것은
10:25 - 10:26

기댓값이 아닙니다
10:26 - 10:28

제가 기댓값이라고 말했는지
의심이 드네요
10:28 - 10:30

이는 오류함수입니다
10:30 - 10:30

n번 미분한 오류함수에
절댓값을 취하면
10:30 - 10:33

n번 미분한 오류함수에
절댓값을 취하면
10:33 - 10:39

M(x-a)보다
작거나 같습니다
10:39 - 10:43

다시 한번 말씀드리지만
모든 조건은 참입니다
10:43 - 10:46

x는 a와 b 사이의
10:46 - 10:49

닫힌구간 내에 있습니다
10:49 - 10:50

진전이 있어 보입니다
10:50 - 10:53

적어도
n+1에서 n이 되었습니다
10:53 - 10:55

계속 할 수 있는지
알아봅시다
10:55 - 10:58

같은 개념입니다
10:58 - 11:00

양변에 적분을 취합니다
11:00 - 11:01

양변에 적분을 취합니다
11:01 - 11:06

양변에 적분을 취합니다
11:06 - 11:08

부정적분을 취합니다
11:08 - 11:11

위에서 해결한 것이 있죠
11:11 - 11:15

이것보다 작은
무언가가 있습니다
11:15 - 11:20

그것은 바로 n번 미분한
오류함수의 적분에
절댓값을 취한 것입니다
11:20 - 11:21

실수하지 마세요
11:21 - 11:23

기댓값이 아니라
오류함수입니다
11:23 - 11:24

기댓값이 아니라
오류함수입니다
11:24 - 11:27

E^n(x)dx
11:27 - 11:30

E^n(x)dx
11:30 - 11:34

같은 논리로
이 식보다 작거나 같습니다
11:34 - 11:37

이것이 유용한 이유는
11:37 - 11:43

이 식은 E^(n-1)(x)가
되기 때문입니다
11:43 - 11:45

물론 바깥에
절댓값을 취해야 합니다
11:45 - 11:48

이 식은 작거나 같습니다
11:48 - 11:51

이 부등식이 성립하므로
11:51 - 11:53

이 부정적분의 결과는
11:53 - 11:58

M(x-a)²/2 입니다
11:58 - 12:01

치환을 이용하여
풀 수도 있습니다
12:01 - 12:04

여기 도함수가
1인 식이 있습니다
12:04 - 12:06

음함수이므로
u로 치환합니다
12:06 - 12:08

지수로 올린 다음
식을 그 지수로 나눕니다
12:08 - 12:11

하지만 부정적분을 하고 있습니다
12:11 - 12:14

여기에 c를 더합니다
12:14 - 12:17

같은 논리로
12:17 - 12:19

x=a 에서 양변을
계산해 봅시다
12:19 - 12:22

x=a 에서 양변을
계산해 봅시다
12:22 - 12:26

좌변에 x=a를 대입하면
0이 나옵니다
12:26 - 12:29

지난 시간에
다룬 내용이죠
12:29 - 12:32

따라서, 계산해보면
12:32 - 12:34

좌변에 x=a를 대입하면
0이 나오고
12:34 - 12:37

우변에 x=a를 대입하면
12:37 - 12:40

M(a-a)²/2 이므로
12:40 - 12:45

0 + c = c가 나옵니다
12:45 - 12:48

이번에도 상수항을
최소화합니다
12:48 - 12:50

상한선을 작게 만들고자 합니다
12:50 - 12:53

따라서 조건을 만족하는
가능한 작은 c를 구해야 합니다
12:53 - 12:57

조건을 만족하는
가능한 작은 c는 0입니다
12:57 - 13:00

그러므로 여기서
일반화할 수 있는 개념은
13:00 - 13:07

지금까지 한 방식과 똑같이
계속해서 하면
13:07 - 13:10

같은 방식으로
적분해 나가고
13:10 - 13:14

여기서도 동일한
성질을 이용하면
13:14 - 13:19

E(x)의 상한선은
13:19 - 13:22

이것은 0번 미분한
것으로 볼 수 있습니다
13:22 - 13:23

0번 미분한 것은
13:23 - 13:25

오류함수 그 자체입니다
13:25 - 13:28

E(x)의 상한선은
13:28 - 13:30

어떤 것보다 작거나 같을까요?
13:30 - 13:32

여기서 패턴을
확인했습니다
13:32 - 13:36

M(x-a)
13:36 - 13:41

이 지수와 n-1을 더하면
13:41 - 13:43

n+1이 됩니다
13:43 - 13:47

이 식은 0번 미분한 것이므로
n+1이 됩니다
13:47 - 13:50

지수가 무엇이든간에
13:50 - 13:54

분모는 (n+1)!입니다
13:54 - 13:57

(n+1)!은
어디서 나온 것일까요?
13:57 - 13:58

여기 2가 있고
13:58 - 14:01

이 식을 다시
적분한다고 상상해 봅시다
14:01 - 14:05

지수는 3이 되고
식을 3으로 나눕니다
14:05 - 14:07

분모는 2×3이 되겠죠
14:07 - 14:09

다시 적분하면
14:09 - 14:11

지수는 4가 되고
식을 4로 나눕니다
14:11 - 14:13

따라서 분모는
2×3×4가 됩니다
14:13 - 14:14

4!이죠
14:14 - 14:16

어떤 값이 지수가 되면
14:16 - 14:18

분모는 그 값의
팩토리얼이 될 것입니다
14:18 - 14:21

흥미로운 것은
14:21 - 14:24

함수의 최댓값을
구할 수 있다면
14:24 - 14:29

함수의 최댓값을
구할 수 있다면
14:29 - 14:32

a와 b 사이의 구간에서
14:32 - 14:36

오류함수의 상한선이
존재할 것입니다
14:36 - 14:40

예를 들면
b에서 오류함수는
14:40 - 14:42

M을 알고 있다면
상한선이 존재합니다
14:42 - 14:45

b에서 오류함수는
14:45 - 14:57

M(b-a)^(n+1) / (n+1)! 입니다
14:57 - 15:00

아주 강력한 식입니다
15:00 - 15:04

이를 수학이라고
부를 수 있습니다
15:04 - 15:07

이 식을 적용할 수 있는
예제를 풀어보겠습니다

Title:: Proof: Bounding the Error or Remainder of a Taylor Polynomial Approximation
Description:: more » « less
Video Language:: English
Team:: Khan Academy
Duration:: 15:08

	Daniel Hollas edited Korean subtitles for Proof: Bounding the Error or Remainder of a Taylor Polynomial Approximation
	Fran Ontanaya edited Korean subtitles for Proof: Bounding the Error or Remainder of a Taylor Polynomial Approximation

Korean subtitles

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Proof: Bounding the Error or Remainder of a Taylor Polynomial Approximation

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