Evaluating with function notation | Functions and their graphs | Algebra II | Khan Academy

이 강의에서는 함수와 관련된 예시들을 해보겠습니다.

많은 학생들이 함수를 어려워하는데, 사실 함수는 간단하답니다.

그리고 '그 호들갑은 다 뭐였나' 생각하게 되겠죠

함수는 두 변수 사이의 관계일 뿐입니다.

그러니까 y가 x의 함수값이라고 하면,

그것이 의미하는 것은; x를 보세요.

이 함수가 x를 잡아먹고 있다고 상상할 수 있죠.

x를 이 함수 안에 집어 넣습니다.

함수는 규칙의 한 세트라고 할 수 있어요. 곧, x로 y값이 결정이 되요.

그것이 한 종류의 박스라고 상상할 수 있죠.

그것이 함수입니다.

내가 x라는 값을 주면, 그것은 y라는 다른 값을 줄 거에요.

'이 x들이랑 y들은 대체 뭐지?'과 같이 추상적인 생각을 할 수도 있어요.

제가 이런 함수를 가지고 있다고 생각해봅시다.

어떠한 x가 0이면 결과는 1, 1이면 2, 그리고 그 외의 값은 3이다.

방금 우리는 박스 안에서 무슨 일이 일어나는지 정의했습니다.

이 주위에 상자를 그려봅시다. 이게 우리 '상자'입니다.

이건 임의로 정한 함수의 정의이지만, 함수에 대한 이해하기에는 쉬울거에요.

제가 x가 7에 해당하는 것을 고르면, x에 대한 f의 함수값은 무엇일까요?

7의 f에 대한 함수값은 무엇일까요?

7을 상자 안에 들고갑니다.

일종의 컴퓨터라고 볼 수도 있어요.

그 컴퓨터가 x를 보고, 규칙을 봅니다.

컴퓨터는, 'x가 7이네. 일단 x는 0도, 1도 아니네.' 라고 합니다.

그럼 '그 외' 의 경우로 가야겠다.

그래서 3이라는 결과를 내보내야지.

그래서 7의 f에대한 함숫값은 3에 해당됩니다. f(7)=3이죠.

f는 이 '함수' (규칙 시스템)의 이름입니다.

그것에 7을 넣으면, 그것(함수)이 3이라는 결과를 내보냅니다.

그럼 2의 f에대한 함숫값은 뭘까요?

이 상황에선 아까의 7 대신 2를 넣어야겠죠,

x가 2일때, 아직도 '그 외'의 경우에요. x는 0도아니고 1도 아니니까.

그래서 또다시 x에대한 f의 함숫값은 3이네요.

f(2)는 3입니다. 그럼, x가 1이면 어떻게 될까요?

1의 f에대한 함숫값. 일단, 여기 있는 규칙을 봅시다.

여길 보면, x가 1에 해당되네요. 여기 있는 규칙을 쓰면 되겠어요.

그래서 x가 1일때, 2라는 값을 내보내게 되요.

결국 1의 f에 대한 함숫값은 2에 해당되는거죠.

이게 함수에요.

자, 이걸 머릿속에 두고, 여기 있는 예시 문제들을 해봅시다.

각각 함수에 대해 값을 구해야 해요. 이 함수들은 각각의 상자라고 생각하죠.

파트 A를 먼저 해봅시다.

박스의 정의를 'x의 f에대한 함숫값은 -2x+3' 이라고 두고 있네요.

x가 -3일때 어떻게 되는지 알고싶데요.

x를 갖고 뭘 어떻게할까요? 뭘 내보낼까요?

일단 x가 있는 곳은 모두 -3을 대입해줍니다.

그럼 결국, [ -2 x -3 + 3 ] 이라는 식이 생기죠.

x가 있는 곳에 -3을 대신 넣은 것입니다.

이제 결과를 알 수 있죠. (-2)*(3)+3=9이므로, 함숫값은 9입니다.

f(-3)=9 라는 것입니다.

그럼 f(7)은 뭘까요?

똑같은 것을 한번 더해봅시다. f(7)은 [ -2 x 7 + 3] 이 되죠.

이것의 결과는 [-14+3], 결국 -11 이죠.

다시 강조하면, f라는 함수에다가 7을 넣어 -11이라는 결과가 나오는거죠.

이것이 규칙입니다.

이건 이때까지 한 것과 완전 똑같습니다. 이것이 함수의 규칙입니다.

다음 두개를 해봅시다. b는 하지 않겠습니다. b는 재미로 혼자 해보세요.

이제 c를 해봅시다.

f(0)을 구해야 하네요.

이해 되죠? f(0). 일단 x를 0으로 대체해 줍시다. 즉 [-2x0+3]

그러므로 f(0)=3이죠.

마지막껄 봅시다. f(z)를 구하라네요. 이건 숫자가 아니라 기호네요.

x가 있었던 모든 곳을 z로 대체해야 합니다.

그러면 [-2xz+3] 가 되네요. 이것이 답입니다. f(z) = -2z+3

함수f의 상자에 z를 넣고 z 값에 -2를 곱하고 3을 더한 값이 결과죠.

숫자보다는 추상적이지만, 같은 원리입니다. 이제 c를 해봅시다.

b는 건너뛰겠습니다. 혼자서 해보세요.

파트 c. 이것이 이 함수의 정의네요. f(x)는 5(2-x) / 11.

이제 각각의 x값을 함수에 넣어봅시다.

-3의 f값은, x대신 -3을 넣고, [5(2--3)/11] 에 해당합니다.

이건 2+3, 5이고, 5 x 5는 25이므로 결과는 25/11이 나옵니다.

이걸 해보죠. f(7). x에 7을 대입한 값은? [5(2-7)/11]에요.

2-7은 -5입니다. 5x-5 는 -25죠. 그래서 결과는 -25/11이죠.

두개 남았네요. f(0)은 [5(2-0)/11] 이니까 답은 10/11이죠.

하나 더 남았네요. f(z).

x에 z를 대입해요. [5(2-z)/11]이 되죠.답은 [5(2-z)/11]

5를 분배해줄 수도 있어요. [10-5z/11] 과 같다고 할 수 있죠.

이걸 직선의 방정식으로 나타내봐요. 그럼 [5/11z+10/11] 이 되요.

이것은 모두 같은 값입니다. f(z)에 해당하는 값이죠.

함수는, 어떠한 x값에 대해 결과를 내보냅니다.

함수f에 x를 넣으면 f(x)를 줍니다. 각 x는 하나의 f(x)가 있네요.

어떠한 x에 대해 두개의 함숫값을 가지는 함수는 없습니다.

예로 [x가 0일 때 f(x)가 3그리고 4이다]는 함수가 될 수 없습니다.

f(0)를 알 수가 없기 때문입니다. x가 0일때 3인지, 4인지 모르죠.

이건 함수처럼 보일지라도 함수가 아닌 것입니다.

결론적으로 하나의 x값에 대해 두개의 함숫값을 가질 수 없습니다.

그래프 중 함수를 찾아봅시다. x값을 고르고 해당값이 하나 있어야 함수에요.

세로로 선을 그려보면, 하나의 x값에 하나의 y값을 가지는지 알 수 있어요.

세로 선을 그리고, 그 선이 그래프와 한번만 만난다면 함수라는 것입니다.

그러므로 이거는 함수로 정의될 수 있죠.

그럼 여기 이거는 어떨까요?

이 점에 맞춰서 세로 선을 그린다고 합시다.

이 x값에 대해서는 두개의 f(x)값이 있네요.

f(x)는 이 값일수도, 저 값일수도 있습니다. 그렇죠?

그래프와 두번 만나고 있으니까, 이것은 함수가 아닙니다.

x에 대해 f(x)가 될 수 있는 y가 2개 있어요. 즉 함수가 아니죠.

여기도 똑같습니다.

세로선을 그리면 두번 만나요. 함수가 아니죠. x값에 y값이 2개 있잖아요.

이 함수를 봅시다. 좀 이상하게 생겼어요.

하지만 세로선을 그려봐도 한번 만나죠? 함수로 정의될 수 있다는 것입니다.

각각의 x에 대해 하나의 y값만 연관되있는 거에요.

도움이 됬길 바랍니다.