Hasonlósági alapesetek | Geometria | Khan Academy

Két háromszög hasonlóságának alapeseteit mutatjuk be ebben a videóban.
Matematika a Khan Academyn: https://hu.khanacademy.org/math

Mi a Khan Academy? A Khan Academy gyakorló feladatokat, oktatóvideókat és személyre szabott tanulási összesítő táblát kínál, ami lehetővé teszi, hogy a tanulók a saját tempójukban tanuljanak az iskolában és az iskolán kívül is. Matematikát, természettudományokat, programozást, történelmet, művészettörténetet, közgazdaságtant és még más tárgyakat is tanulhatsz nálunk. Matematikai mesterszint rendszerünk végigvezeti a diákokat az általános iskola első osztályától egészen a differenciál- és integrálszámításig modern, adaptív technológia segítségével, mely felméri az erősségeket és a hiányosságokat.

Küldetésünk, hogy bárki, bárhol világszínvonalú oktatásban részesülhessen.

A magyar fordítás az Akadémia Határok Nélkül Alapítvány (akademiahataroknelkul.hu) csapatának munkája.

Iratkozz fel a Khan Academy magyar csatornájára:

https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademymagyar

Kövess minket a Facebook-on: https://www.facebook.com/khanacademymagyar/

Tegyük fel, hogy van egy ABC háromszögünk,

amelyik valahogy így néz ki,
három csúcsa az A, B és C.

A lehető legkevesebb
információt akarom megadni,

vagyis szeretnék megfogalmazni néhány
követelményt,

amelyeket arra használhatnánk,
hogy egy másik háromszögről

megállapítsuk, hasonló-e az ABC-hez.

Azt már tudjuk,

hogy ha mindhárom megfelelő szög

ugyanakkora, mint az ABC háromszögben,

akkor hasonló háromszögekkel
van dolgunk.

Legyen például ez itt 30 fok,

ez a szög 90 fok, és ez a szög itt

60 fok.

És legyen ez egy másik háromszög,

ami így néz ki, és nyilvánvalóan
egy kisebb háromszög,

de a megfelelő szögei ugyanakkorák.

Ez itt 30 fok,

ez 90 fok és ez 60 fok,

és tudjuk, hogy ez az XYZ háromszög
hasonló lesz az ABC háromszöghöz.

Abból tudjuk ezt, hogy
a megfelelő szögek

ugyanakkorák, és emiatt

az ABC háromszög és az
XYZ háromszög hasonlóak.

Ehhez persze helyes sorrendben kell

a megfelelő szögeket leírni.

Y felel meg a 90 fokos szögnek,

X felel meg a 30 fokos szögnek,

A felel meg a 30 fokos szögnek,

tehát A és X az első helyen áll,

B és Y a 90 fokos szögek,
ezek a második helyen,

és aztán Z az utolsó.

Ez az, amit már ismerünk,
ha megvan a három szög,

de valóban szükség van-e
a három szögre?

Vajon ha csak két szöget ismernénk,
az elég lenne-e?

Nyilván, hiszen ha ismerjük
egy háromszög két szögét,

akkor ismerjük a harmadikat is,

tehát ha például van itt
egy másik háromszögünk,

ami így néz ki,

és azt mondanám neked, hogy
csak két megfelelő szögük

azonos nagyságú.

Mondjuk ez a szög megegyezik
ezzel a szöggel,

és ez a szög itt
ugyanakkora, mint ez a szög.

Elegendő-e ez ahhoz, hogy azt mondhassuk,
hogy a két háromszög hasonló?

Hát persze.

Hiszen ha egy háromszögnek
ismerjük két szögét,

akkor tudjuk, hogy mekkorának
kell lennie a harmadik szögnek,

ha tudjuk, hogy ez a szög 30 fok,
és ez a szög 90 fok,

akkor már tudjuk, hogy
ennek a szögnek 60 fokosnak kell lennie.

Akármekkora ez a két szög,
kivonod őket a 180-ból,

és akkora lesz ez a szög.

Általánosságban, a hasonlóság
bizonyításához

nincs szükség mindhárom szög
egyenlőségének megmutatására,

elegendő két szög egyenlőségét megmutatni.

Ez lesz tehát az első alapesetünk,

két-két szög páronként egyenlő,
röviden ez a szög-szög feltétel.

Ha be tudod bizonyítani, hogy
két-két szög páronként egyenlő,

akkor a háromszögek hasonlóak.

Például, ha számokkal akarjuk
megnézni,

és ez itt 30 fok volt,
és tudjuk, hogy ebben a háromszögben

ez a szög 90 fokos,

akkor már tudjuk, hogy
ez a háromszög

hasonló ehhez.

És akkor már kijelentheted
a harmadik szögről,

magától értetődően,

hogy ez a harmadik szög 60 fokos,

és így mindhárom szög
páronként megegyezik.

Ez tehát a hasonlóság első alapesete.

A másik dolog, amit tudunk a hasonlóságról,

hogy a megfelelő oldalak hosszának

aránya páronként megegyezik.

Így például, ha van
egy másik derékszögű háromszögünk,

rajzolok ide egy másik háromszöget,

legyen ez az X-Y-Z háromszög.

Tegyük fel, hogy ismerjük
az AB és az XY aránypárt,

tehát ismerjük AB/XY értékét
– ennek és ennek az oldalnak az arányát –

és itt egyáltalán nem azt mondjuk,
hogy ezek hossza megegyezik,

csak az arányukat vizsgáljuk most.

Azt mondjuk, hogy AB/XY

az AB/XY = BC/YZ,

azaz megegyezik BC/YZ-vel.

Ez pedig megegyezik AC/XZ-vel.

Tehát még egyszer, ez is egy módja

a hasonlóság meghatározásának.

Tehát ha mindhárom
megfelelő oldal,

a három megfelelő oldal hosszának aránya

páronként megegyezik, akkor tudjuk,

hogy hasonlók a háromszögeink.

És ezt oldal-oldal-oldal hasonlóságnak hívjuk.

De ne keverjük ezt össze

az oldal-oldal-oldal egybevágósági alapesettel.

Ezek tehát a hasonlósági alapeseteink,

vagy axiómáink,

és később majd ezekre építjük

feladatok megoldását
és más dolgok bizonyítását.

Az egybevágóságnál az oldal-oldal-oldal
elnevezés

azt jelenti, hogy ott
a megfelelő oldalak hossza megegyezik.

A hasonlóság esetén pedig az
oldal-oldal-oldal elnevezés

a megfelelő oldalak páronkénti
arányának egyenlőségére utal.

Tehát ha pl. ez itt 10,

na nem, legyen ez egy nagyobb szám,

mondjuk 60, ez itt 30,

ez pedig 30-szor gyök 3.

Csak azért választottam ezeket a számokat,
mert nemsokára látni fogjuk,

hogy a 30-60-90 fokos háromszögben
milyen jellegzetes arányok szerepelnek.

Itt pedig legyen

6, 3 és négyzetgyök 3.

Figyeld meg, AB/XY az 30-szor gyök 3

osztva 3-szor gyök 3, az 10.

Mekkora lesz BC/XZ?

30 osztva 3-mal, az 10.

És mennyi 60 osztva 6-tal, vagy AC/XZ?

Nos, az is 10 lesz.

Tehát általánosságban, ha innen
az egyik oldaltól

megyünk ide, a megfelelő oldalhoz,

akkor minden oldal esetében 10-zel szorzunk.

De erre nem azt mondjuk, hogy egybevágóak,

vagy hogy az oldalak ugyanakkorák lennének

az oldal-oldal-oldal hasonlósági
feltétel alapján.

Annyit állítunk, hogy ugyanazzal a
mennyiséggel szorozva

felnagyítjuk őket, vagy
másképp fogalmazva

a megfelelő oldalak aránya

ugyanaz lesz.

Na és mi van akkor, ha

– rajzoljunk ide egy másik háromszöget,

ezeket itt akarom hagyni,
hogy aztán egyszerre láthassuk őket, –

tehát rajzoljuk meg az ABC háromszöget,

ez itt az A, a B és a C.

És tudjuk, hogy
ha nézzük ezt a másik háromszöget,

akkor ez az XY az AB oldalnak
valamilyen többszöröse.

Le is írom ide,

XY az AB-nek egy konstanssal való szorzata.

Talán egy kicsit nagyobbra
rajzolom az XY-t,

de nem feltétlenül kellene.

A konstans 1-nél kisebb is lehetne,

ekkor egy kisebb értéket eredményezne.

De csináljuk inkább így,

vagyis legyen az XY
egy kicsit nagyobb.

Tehát mondjuk ez az X és ez az Y.

Tegyük fel tehát, hogy az XY/AB

valamilyen konstans érték.

Ha mindkét oldalt megszorozzuk AB-vel,

akkor azt kapjuk, hogy
XY az AB-nek valahányszoros nagyítása.

Lehet pl. AB=5, XY=10, és ekkor
a konstansunk 2 lesz.

Egy kettes tényezővel nagyítottunk.

Ezenkívül – mondjuk – azt is tudjuk,

hogy az ABC szög megegyezik
az XYZ szöggel.

Felveszek itt egy új pontot,

és rajzolok egy új oldalt.

Ez itt Z. És még

azt is tudjuk, hogy az ABC szög
megegyezik az XYZ szöggel,

valamint azt is, hogy a BC/YZ arány

ugyanez az állandó érték.

A BC és YZ aránya is

megegyezik ezzel az állandóval.

Így például, ahol ez 5 és 10 volt,
ez mondjuk 3 és 6.

A konstanssal megduplázzuk

az oldal hosszát.

Vajon ez az XYZ háromszög hasonló-e?

Gondoljuk meg, ha XY ugyanannyiszorosa AB-nek,

mint YZ a BC-nek, és az
általuk közbezárt szögek

megegyeznek, akkor
csupán egyetlen háromszöget

tudunk itt felrajzolni.

Egyetlen háromszögre
vagyunk itt korlátozva,

vagyis teljesen meghatározott

ennek az oldalnak a hossza,
és az oldal hosszát

pontosan ugyanezzel a konstanssal
való szorzás fogja kiadni.

Ezt a feltételt oldal-szög-oldal
hasonlóságnak hívjuk.

Tehát még egyszer, láttuk a 3 oldal
és a 2 oldal és szög

egybevágósági alapeseteket.

De itt most egész más
a helyzet.

Itt ugyanis azt mondjuk, hogy
ha a két háromszögben

két-két oldalhossz aránya egyenlő,

azaz AB/XY, mint az egyik
összetartozó oldalpár,

és a másik összetartozó oldalpár,

BC és YZ aránya megegyezik,
valamint az ezek által bezárt szögek

egyenlők, akkor kimondhatjuk
a hasonlóságot.

Az egybevágóságnál az oldalaknak
ténylegesen

meg kellett egyezniük.

Itt viszont azt mondjuk ki, hogy csupán
a megfelelő oldalak arányainak

kell egyenlőnek lennie.

Tehát itt az oldal-szög-oldal feltételt
alkalmazva,

hadd rajzoljak fel néhány példát.

Legyen mondjuk itt ez a 3-2-4 háromszög,

és legyen ez a másik háromszög,

9 és 6 hosszú oldalakkal,

és azt is tudjuk, hogy a közbezárt szögek
megegyeznek,

vagyis ez a szög meg ez szög ugyanakkora.

Na mármost az oldal-szög-oldal
hasonlóság azt mondja ki,

hogy ez a két háromszög

egyértelműen hasonló,
le vagyunk korlátozva,

hiszen egyetlen ilyen
háromszöget

tudunk csak ide berajzolni.

Mégpedig egy olyan háromszöget,

amelynek minden oldala
ugyanazzal az értékkel van megszorozva.

Itt tehát csak egyetlen oldalhosszt

rajzolhatunk be,

amelyet ugyanúgy 3-szoros szorzóval
kellett kiszámolni.

Ez az egyetlen lehetséges háromszög.

Amikor meghatározod ezt az oldalt,
abból indulsz ki,

hogy ez 3-szorosa ennek az oldalnak,
ez 3-szorosa ennek az oldalnak,

a bezárt szögek megegyeznek,

és így csak egyetlen háromszöget
tudunk felrajzolni.

És tudjuk, hogy létezik itt
egy hasonló háromszög,

amelynek minden oldala
3-szor nagyobb,

így az egyetlen megrajzolható
háromszög

pont ez a hasonló háromszög.

Ez a helyzet
az oldal-szög-oldal hasonlóság esetén.

Egyáltalán nem állítjuk, hogy ez az oldal
megegyezne ezzel az oldallal,

vagy ez az oldal emezzel,

csupán azt, hogy ugyanazzal a
konstanssal vannak megszorozva.

Ha lenne egy másik háromszögünk,
ami mondjuk így nézne ki:

ez itt 9, ez 4, és

a közbezárt szög ugyanakkora,
akkor nem mondhatnánk,

hogy ezek hasonlóak,
mert ez az oldal háromszorosa ennek,

ez pedig csak kétszerese ennek.

Tehát erről nem jelenthetjük ki,

hogy feltétlenül hasonló.

Hasonlóképpen, ha egy olyan
háromszögünk lenne,

amelynek egyik oldala 9, a másik 6,

de nem tudnánk, hogy
ez a két szög azonos-e,

vagyis nem ismernénk az összes
kényszerítő feltételt,

tehát nem tudhatnánk,
hogy ez a két háromszög

mindenképpen hasonló,

hiszen nem ismerjük a közbezárt szögeket.

Most persze mondhatnád azt,

hogy még további feltételeink is voltak.

Volt az egybevágóságnál a szög-szög-oldal
feltétel,

de ha belegondolsz, azt már megmutattuk,

hogy két szög már önmagában
is elég a hasonlóság biztosítására,

tehát minek foglalkozni egy szöggel,
egy másik szöggel

és még egy oldalpár arányával is?

Minek ezzel bajlódni?

Aztán volt a szög-oldal-szög
egybevágósági feltétel,

de mégegyszer, itt is
tudjuk, hogy a két szög elegendő,

nem kell pluszban foglalkoznunk az oldallal,

egyáltalán nincs rá szükségünk.

Ezek lesznek tehát
a hasonlósági alapeseteink.

És emlékeztetni szeretnélek arra,
hogy itt az oldal-oldal-oldal

alapeset tényleg különbözik
az egybevágósági oldal-oldal-oldal alapesetétől.

Itt a megfelelő oldalak arányáról beszélünk,

nem állítjuk, hogy ezek az oldalak
megegyeznek,

Itt pedig, az oldal-szög-oldal alapeset is

különbözik az egybevágósági
oldal-szög-oldal alapesettől.

Van hozzá köze, de itt az oldalak

arányáról beszélünk, nem pedig

a tényleges hosszukról.