0:00:00.620,0:00:04.610
Tegyük fel, hogy van egy ABC háromszögünk,

0:00:04.610,0:00:10.108
amelyik valahogy így néz ki, [br]három csúcsa az A, B és C.

0:00:10.120,0:00:12.500
A lehető legkevesebb[br]információt akarom megadni,

0:00:12.500,0:00:14.375
vagyis szeretnék megfogalmazni néhány[br]követelményt,

0:00:14.375,0:00:17.330
amelyeket arra használhatnánk,[br]hogy egy másik háromszögről

0:00:17.330,0:00:20.140
megállapítsuk, hasonló-e az ABC-hez.

0:00:20.140,0:00:21.576
Azt már tudjuk,

0:00:21.576,0:00:24.850
hogy ha mindhárom megfelelő szög

0:00:24.850,0:00:27.604
ugyanakkora, mint az ABC háromszögben,

0:00:27.604,0:00:29.770
akkor hasonló háromszögekkel [br]van dolgunk.

0:00:29.770,0:00:32.600
Legyen például ez itt 30 fok,

0:00:32.600,0:00:35.365
ez a szög 90 fok, és ez a szög itt

0:00:35.365,0:00:36.730
60 fok.

0:00:36.730,0:00:38.130
És legyen ez egy másik háromszög,

0:00:38.130,0:00:42.210
ami így néz ki, és nyilvánvalóan[br]egy kisebb háromszög,

0:00:42.210,0:00:44.050
de a megfelelő szögei ugyanakkorák.

0:00:44.050,0:00:46.530
Ez itt 30 fok,

0:00:46.530,0:00:49.610
ez 90 fok és ez 60 fok,

0:00:49.610,0:00:56.710
és tudjuk, hogy ez az XYZ háromszög[br]hasonló lesz az ABC háromszöghöz.

0:00:56.710,0:01:00.840
Abból tudjuk ezt, hogy[br]a megfelelő szögek

0:01:00.840,0:01:03.040
ugyanakkorák, és emiatt

0:01:03.040,0:01:09.807
az ABC háromszög és az [br]XYZ háromszög hasonlóak.

0:01:09.807,0:01:11.490
Ehhez persze helyes sorrendben kell

0:01:11.490,0:01:12.914
a megfelelő szögeket leírni.

0:01:12.914,0:01:15.300
Y felel meg a 90 fokos szögnek,

0:01:15.300,0:01:16.900
X felel meg a 30 fokos szögnek,

0:01:16.900,0:01:18.480
A felel meg a 30 fokos szögnek,

0:01:18.480,0:01:20.520
tehát A és X az első helyen áll,

0:01:20.520,0:01:22.810
B és Y a 90 fokos szögek, [br]ezek a második helyen,

0:01:22.810,0:01:24.710
és aztán Z az utolsó.

0:01:24.710,0:01:27.210
Ez az, amit már ismerünk,[br]ha megvan a három szög,

0:01:27.210,0:01:28.650
de valóban szükség van-e[br]a három szögre?

0:01:28.650,0:01:31.990
Vajon ha csak két szöget ismernénk,[br]az elég lenne-e?

0:01:31.990,0:01:34.370
Nyilván, hiszen ha ismerjük[br]egy háromszög két szögét,

0:01:34.370,0:01:35.520
akkor ismerjük a harmadikat is,

0:01:35.520,0:01:40.500
tehát ha például van itt[br]egy másik háromszögünk,

0:01:40.500,0:01:44.000
ami így néz ki,

0:01:44.000,0:01:46.860
és azt mondanám neked, hogy[br]csak két megfelelő szögük

0:01:46.860,0:01:47.910
azonos nagyságú.

0:01:47.910,0:01:52.240
Mondjuk ez a szög megegyezik[br]ezzel a szöggel,

0:01:52.240,0:01:56.020
és ez a szög itt[br]ugyanakkora, mint ez a szög.

0:01:56.020,0:01:59.430
Elegendő-e ez ahhoz, hogy azt mondhassuk,[br]hogy a két háromszög hasonló?

0:01:59.430,0:02:00.090
Hát persze.

0:02:00.090,0:02:02.650
Hiszen ha egy háromszögnek[br]ismerjük két szögét,

0:02:02.650,0:02:05.400
akkor tudjuk, hogy mekkorának[br]kell lennie a harmadik szögnek,

0:02:05.400,0:02:08.250
ha tudjuk, hogy ez a szög 30 fok,[br]és ez a szög 90 fok,

0:02:08.250,0:02:11.000
akkor már tudjuk, hogy[br]ennek a szögnek 60 fokosnak kell lennie.

0:02:11.000,0:02:14.400
Akármekkora ez a két szög,[br]kivonod őket a 180-ból,

0:02:14.400,0:02:16.950
és akkora lesz ez a szög.

0:02:16.950,0:02:19.380
Általánosságban, a hasonlóság[br]bizonyításához

0:02:19.380,0:02:24.010
nincs szükség mindhárom szög[br]egyenlőségének megmutatására,

0:02:24.010,0:02:26.820
elegendő két szög egyenlőségét megmutatni.

0:02:26.820,0:02:30.720
Ez lesz tehát az első alapesetünk,

0:02:30.720,0:02:32.910
két-két szög páronként egyenlő, [br]röviden ez a szög-szög feltétel.

0:02:32.910,0:02:36.259
Ha be tudod bizonyítani, hogy [br]két-két szög páronként egyenlő,

0:02:36.259,0:02:38.620
akkor a háromszögek hasonlóak.

0:02:38.620,0:02:41.760
Például, ha számokkal akarjuk[br]megnézni,

0:02:41.760,0:02:46.920
és ez itt 30 fok volt,[br]és tudjuk, hogy ebben a háromszögben

0:02:46.920,0:02:48.890
ez a szög 90 fokos,

0:02:48.890,0:02:50.820
akkor már tudjuk, hogy [br]ez a háromszög

0:02:50.820,0:02:52.670
hasonló ehhez.

0:02:52.670,0:02:55.560
És akkor már kijelentheted[br]a harmadik szögről,

0:02:55.560,0:02:57.130
magától értetődően,

0:02:57.130,0:02:58.840
hogy ez a harmadik szög 60 fokos,

0:02:58.840,0:03:00.780
és így mindhárom szög [br]páronként megegyezik.

0:03:00.780,0:03:03.870
Ez tehát a hasonlóság első alapesete.

0:03:03.870,0:03:06.320
A másik dolog, amit tudunk a hasonlóságról,

0:03:06.320,0:03:08.910
hogy a megfelelő oldalak hosszának

0:03:08.910,0:03:11.140
aránya páronként megegyezik.

0:03:11.140,0:03:15.060
Így például, ha van[br]egy másik derékszögű háromszögünk,

0:03:15.060,0:03:18.720
rajzolok ide egy másik háromszöget,

0:03:18.720,0:03:26.410
legyen ez az X-Y-Z háromszög.

0:03:26.410,0:03:30.910
Tegyük fel, hogy ismerjük[br]az AB és az XY aránypárt,

0:03:30.910,0:03:37.730
tehát ismerjük AB/XY értékét [br]– ennek és ennek az oldalnak az arányát –

0:03:37.730,0:03:40.410
és itt egyáltalán nem azt mondjuk,[br]hogy ezek hossza megegyezik,

0:03:40.410,0:03:41.810
csak az arányukat vizsgáljuk most.

0:03:41.810,0:03:44.263
Azt mondjuk, hogy AB/XY

0:03:44.263,0:03:50.240
az AB/XY = BC/YZ,

0:03:50.240,0:03:53.950
azaz megegyezik BC/YZ-vel.

0:03:53.950,0:04:04.370
Ez pedig megegyezik AC/XZ-vel.

0:04:04.370,0:04:06.730
Tehát még egyszer, ez is egy módja

0:04:06.730,0:04:08.700
a hasonlóság meghatározásának.

0:04:08.700,0:04:11.210
Tehát ha mindhárom[br]megfelelő oldal,

0:04:11.210,0:04:13.600
a három megfelelő oldal hosszának aránya

0:04:13.600,0:04:15.250
páronként megegyezik, akkor tudjuk,

0:04:15.250,0:04:17.690
hogy hasonlók a háromszögeink.

0:04:17.690,0:04:21.019
És ezt oldal-oldal-oldal hasonlóságnak hívjuk.

0:04:21.019,0:04:22.940
De ne keverjük ezt össze

0:04:22.940,0:04:24.910
az oldal-oldal-oldal egybevágósági alapesettel.

0:04:24.910,0:04:29.644
Ezek tehát a hasonlósági alapeseteink,

0:04:29.644,0:04:30.840
vagy axiómáink,

0:04:30.840,0:04:32.934
és később majd ezekre építjük

0:04:32.934,0:04:35.440
feladatok megoldását[br]és más dolgok bizonyítását.

0:04:35.440,0:04:37.640
Az egybevágóságnál az oldal-oldal-oldal[br]elnevezés

0:04:37.640,0:04:40.200
azt jelenti, hogy ott[br]a megfelelő oldalak hossza megegyezik.

0:04:40.200,0:04:42.900
A hasonlóság esetén pedig az [br]oldal-oldal-oldal elnevezés

0:04:42.900,0:04:48.020
a megfelelő oldalak páronkénti[br]arányának egyenlőségére utal.

0:04:48.020,0:04:56.510
Tehát ha pl. ez itt 10,

0:04:56.510,0:04:58.170
na nem, legyen ez egy nagyobb szám,

0:04:58.170,0:05:01.660
mondjuk 60, ez itt 30,

0:05:01.660,0:05:05.280
ez pedig 30-szor gyök 3.

0:05:05.280,0:05:08.560
Csak azért választottam ezeket a számokat,[br]mert nemsokára látni fogjuk,

0:05:08.560,0:05:12.393
hogy a 30-60-90 fokos háromszögben[br]milyen jellegzetes arányok szerepelnek.

0:05:12.530,0:05:14.490
Itt pedig legyen

0:05:14.490,0:05:18.740
6, 3 és négyzetgyök 3.

0:05:18.740,0:05:23.450
Figyeld meg, AB/XY az 30-szor gyök 3

0:05:23.450,0:05:27.260
osztva 3-szor gyök 3, az 10.

0:05:27.260,0:05:28.620
Mekkora lesz BC/XZ?

0:05:28.620,0:05:31.700
30 osztva 3-mal, az 10.

0:05:31.700,0:05:37.170
És mennyi 60 osztva 6-tal, vagy AC/XZ?

0:05:37.170,0:05:39.020
Nos, az is 10 lesz.

0:05:39.020,0:05:41.200
Tehát általánosságban, ha innen [br]az egyik oldaltól

0:05:41.200,0:05:42.741
megyünk ide, a megfelelő oldalhoz,

0:05:42.741,0:05:45.559
akkor minden oldal esetében 10-zel szorzunk.

0:05:45.559,0:05:47.100
De erre nem azt mondjuk, hogy egybevágóak,

0:05:47.100,0:05:48.474
vagy hogy az oldalak ugyanakkorák lennének

0:05:48.474,0:05:50.725
az oldal-oldal-oldal hasonlósági[br]feltétel alapján.

0:05:50.725,0:05:52.850
Annyit állítunk, hogy ugyanazzal a[br]mennyiséggel szorozva

0:05:52.850,0:05:54.870
felnagyítjuk őket, vagy[br]másképp fogalmazva

0:05:54.870,0:05:58.250
a megfelelő oldalak aránya

0:05:58.250,0:06:00.060
ugyanaz lesz.

0:06:00.060,0:06:04.940
Na és mi van akkor, ha

0:06:04.940,0:06:09.720
– rajzoljunk ide egy másik háromszöget,

0:06:09.750,0:06:12.300
ezeket itt akarom hagyni,[br]hogy aztán egyszerre láthassuk őket, –

0:06:12.300,0:06:17.580
tehát rajzoljuk meg az ABC háromszöget,

0:06:17.580,0:06:22.860
ez itt az A, a B és a C.

0:06:22.860,0:06:29.860
És tudjuk, hogy [br]ha nézzük ezt a másik háromszöget,

0:06:29.860,0:06:39.410
akkor ez az XY az AB oldalnak[br]valamilyen többszöröse.

0:06:39.410,0:06:41.300
Le is írom ide,

0:06:41.300,0:06:45.860
XY az AB-nek egy konstanssal való szorzata.

0:06:45.860,0:06:48.050
Talán egy kicsit nagyobbra[br]rajzolom az XY-t,

0:06:48.050,0:06:49.180
de nem feltétlenül kellene.

0:06:49.180,0:06:50.605
A konstans 1-nél kisebb is lehetne,

0:06:50.605,0:06:52.370
ekkor egy kisebb értéket eredményezne.

0:06:52.370,0:06:53.680
De csináljuk inkább így,

0:06:53.680,0:06:56.920
vagyis legyen az XY [br]egy kicsit nagyobb.

0:06:56.920,0:06:59.850
Tehát mondjuk ez az X és ez az Y.

0:06:59.850,0:07:07.430
Tegyük fel tehát, hogy az XY/AB

0:07:07.430,0:07:08.820
valamilyen konstans érték.

0:07:08.820,0:07:11.390
Ha mindkét oldalt megszorozzuk AB-vel,

0:07:11.390,0:07:14.470
akkor azt kapjuk, hogy[br]XY az AB-nek valahányszoros nagyítása.

0:07:14.470,0:07:20.300
Lehet pl. AB=5, XY=10, és ekkor[br]a konstansunk 2 lesz.

0:07:20.300,0:07:23.020
Egy kettes tényezővel nagyítottunk.

0:07:23.020,0:07:27.250
Ezenkívül – mondjuk – azt is tudjuk,

0:07:27.250,0:07:31.730
hogy az ABC szög megegyezik [br]az XYZ szöggel.

0:07:31.730,0:07:33.940
Felveszek itt egy új pontot,

0:07:33.940,0:07:36.850
és rajzolok egy új oldalt.

0:07:36.850,0:07:39.690
Ez itt Z. És még

0:07:39.690,0:07:45.010
azt is tudjuk, hogy az ABC szög[br]megegyezik az XYZ szöggel,

0:07:45.010,0:07:48.610
valamint azt is, hogy a BC/YZ arány

0:07:48.610,0:07:50.720
ugyanez az állandó érték.

0:07:50.720,0:07:55.360
A BC és YZ aránya is

0:07:55.360,0:07:57.360
megegyezik ezzel az állandóval.

0:07:57.360,0:08:00.750
Így például, ahol ez 5 és 10 volt,[br]ez mondjuk 3 és 6.

0:08:00.750,0:08:02.440
A konstanssal megduplázzuk

0:08:02.440,0:08:03.980
az oldal hosszát.

0:08:03.980,0:08:09.490
Vajon ez az XYZ háromszög hasonló-e?

0:08:09.490,0:08:16.590
Gondoljuk meg, ha XY ugyanannyiszorosa AB-nek,

0:08:16.590,0:08:21.200
mint YZ a BC-nek, és az[br]általuk közbezárt szögek

0:08:21.200,0:08:23.640
megegyeznek, akkor[br]csupán egyetlen háromszöget

0:08:23.640,0:08:25.210
tudunk itt felrajzolni.

0:08:25.210,0:08:28.640
Egyetlen háromszögre[br]vagyunk itt korlátozva,

0:08:28.640,0:08:30.140
vagyis teljesen meghatározott

0:08:30.140,0:08:32.306
ennek az oldalnak a hossza,[br]és az oldal hosszát

0:08:32.306,0:08:35.270
pontosan ugyanezzel a konstanssal[br]való szorzás fogja kiadni.

0:08:35.270,0:08:41.105
Ezt a feltételt oldal-szög-oldal [br]hasonlóságnak hívjuk.

0:08:41.179,0:08:44.110
Tehát még egyszer, láttuk a 3 oldal[br]és a 2 oldal és szög

0:08:44.110,0:08:45.740
egybevágósági alapeseteket.

0:08:45.740,0:08:47.550
De itt most egész más[br]a helyzet.

0:08:47.550,0:08:55.240
Itt ugyanis azt mondjuk, hogy[br]ha a két háromszögben

0:08:55.240,0:08:57.240
két-két oldalhossz aránya egyenlő,

0:08:57.240,0:09:01.820
azaz AB/XY, mint az egyik[br]összetartozó oldalpár,

0:09:01.820,0:09:04.660
és a másik összetartozó oldalpár,

0:09:04.660,0:09:08.390
BC és YZ aránya megegyezik,[br]valamint az ezek által bezárt szögek

0:09:08.390,0:09:11.640
egyenlők, akkor kimondhatjuk[br]a hasonlóságot.

0:09:11.640,0:09:14.180
Az egybevágóságnál az oldalaknak[br]ténylegesen

0:09:14.180,0:09:15.060
meg kellett egyezniük.

0:09:15.060,0:09:18.570
Itt viszont azt mondjuk ki, hogy csupán[br]a megfelelő oldalak arányainak

0:09:18.570,0:09:20.630
kell egyenlőnek lennie.

0:09:20.630,0:09:24.830
Tehát itt az oldal-szög-oldal feltételt[br]alkalmazva,

0:09:24.830,0:09:26.950
hadd rajzoljak fel néhány példát.

0:09:26.950,0:09:33.100
Legyen mondjuk itt ez a 3-2-4 háromszög,

0:09:33.100,0:09:38.450
és legyen ez a másik háromszög,

0:09:38.450,0:09:42.410
9 és 6 hosszú oldalakkal,

0:09:42.410,0:09:45.460
és azt is tudjuk, hogy a közbezárt szögek[br]megegyeznek,

0:09:45.460,0:09:47.480
vagyis ez a szög meg ez szög ugyanakkora.

0:09:47.480,0:09:50.470
Na mármost az oldal-szög-oldal[br]hasonlóság azt mondja ki,

0:09:50.470,0:09:51.790
hogy ez a két háromszög

0:09:51.790,0:09:56.403
egyértelműen hasonló, [br]le vagyunk korlátozva,

0:09:56.403,0:09:58.260
hiszen egyetlen ilyen[br]háromszöget

0:09:58.260,0:09:59.750
tudunk csak ide berajzolni.

0:09:59.750,0:10:01.310
Mégpedig egy olyan háromszöget,

0:10:01.310,0:10:03.930
amelynek minden oldala[br]ugyanazzal az értékkel van megszorozva.

0:10:03.930,0:10:06.169
Itt tehát csak egyetlen oldalhosszt

0:10:06.169,0:10:07.710
rajzolhatunk be,

0:10:07.710,0:10:10.840
amelyet ugyanúgy 3-szoros szorzóval[br]kellett kiszámolni.

0:10:10.840,0:10:12.590
Ez az egyetlen lehetséges háromszög.

0:10:12.590,0:10:14.548
Amikor meghatározod ezt az oldalt, [br]abból indulsz ki,

0:10:14.548,0:10:17.614
hogy ez 3-szorosa ennek az oldalnak,[br]ez 3-szorosa ennek az oldalnak,

0:10:17.614,0:10:19.280
a bezárt szögek megegyeznek,

0:10:19.280,0:10:21.810
és így csak egyetlen háromszöget [br]tudunk felrajzolni.

0:10:21.810,0:10:23.920
És tudjuk, hogy létezik itt[br]egy hasonló háromszög,

0:10:23.920,0:10:26.264
amelynek minden oldala[br]3-szor nagyobb,

0:10:26.264,0:10:27.680
így az egyetlen megrajzolható[br]háromszög

0:10:27.680,0:10:30.334
pont ez a hasonló háromszög.

0:10:30.334,0:10:32.000
Ez a helyzet[br]az oldal-szög-oldal hasonlóság esetén.

0:10:32.000,0:10:34.374
Egyáltalán nem állítjuk, hogy ez az oldal[br]megegyezne ezzel az oldallal,

0:10:34.374,0:10:36.100
vagy ez az oldal emezzel,

0:10:36.100,0:10:39.825
csupán azt, hogy ugyanazzal a[br]konstanssal vannak megszorozva.

0:10:39.825,0:10:44.450
Ha lenne egy másik háromszögünk,[br]ami mondjuk így nézne ki:

0:10:44.450,0:10:48.360
ez itt 9, ez 4, és

0:10:48.360,0:10:51.520
a közbezárt szög ugyanakkora,[br]akkor nem mondhatnánk,

0:10:51.520,0:10:55.960
hogy ezek hasonlóak,[br]mert ez az oldal háromszorosa ennek,

0:10:55.960,0:10:58.100
ez pedig csak kétszerese ennek.

0:10:58.100,0:11:00.460
Tehát erről nem jelenthetjük ki,

0:11:00.460,0:11:03.240
hogy feltétlenül hasonló.

0:11:03.240,0:11:06.550
Hasonlóképpen, ha egy olyan[br]háromszögünk lenne,

0:11:06.550,0:11:10.040
amelynek egyik oldala 9, a másik 6,

0:11:10.040,0:11:13.920
de nem tudnánk, hogy[br]ez a két szög azonos-e,

0:11:13.920,0:11:16.110
vagyis nem ismernénk az összes[br]kényszerítő feltételt,

0:11:16.110,0:11:18.910
tehát nem tudhatnánk,[br]hogy ez a két háromszög

0:11:18.910,0:11:21.060
mindenképpen hasonló,

0:11:21.060,0:11:23.360
hiszen nem ismerjük a közbezárt szögeket.

0:11:23.360,0:11:24.660
Most persze mondhatnád azt,

0:11:24.660,0:11:26.646
hogy még további feltételeink is voltak.

0:11:26.646,0:11:31.784
Volt az egybevágóságnál a szög-szög-oldal[br]feltétel,

0:11:31.784,0:11:33.510
de ha belegondolsz, azt már megmutattuk,

0:11:33.510,0:11:36.490
hogy két szög már önmagában[br]is elég a hasonlóság biztosítására,

0:11:36.490,0:11:38.650
tehát minek foglalkozni egy szöggel,[br]egy másik szöggel

0:11:38.650,0:11:40.080
és még egy oldalpár arányával is?

0:11:40.080,0:11:41.700
Minek ezzel bajlódni?

0:11:41.700,0:11:44.390
Aztán volt a szög-oldal-szög [br]egybevágósági feltétel,

0:11:44.390,0:11:46.940
de mégegyszer, itt is[br]tudjuk, hogy a két szög elegendő,

0:11:46.940,0:11:48.890
nem kell pluszban foglalkoznunk az oldallal,

0:11:48.890,0:11:51.060
egyáltalán nincs rá szükségünk.

0:11:51.060,0:11:53.580
Ezek lesznek tehát[br]a hasonlósági alapeseteink.

0:11:53.580,0:11:55.760
És emlékeztetni szeretnélek arra,[br]hogy itt az oldal-oldal-oldal

0:11:55.760,0:11:58.694
alapeset tényleg különbözik [br]az egybevágósági oldal-oldal-oldal alapesetétől.

0:11:58.694,0:12:01.110
Itt a megfelelő oldalak arányáról beszélünk,

0:12:01.110,0:12:03.190
nem állítjuk, hogy ezek az oldalak[br]megegyeznek,

0:12:03.190,0:12:06.274
Itt pedig, az oldal-szög-oldal alapeset is

0:12:06.274,0:12:07.940
különbözik az egybevágósági[br]oldal-szög-oldal alapesettől.

0:12:07.940,0:12:09.390
Van hozzá köze, de itt az oldalak

0:12:09.390,0:12:11.400
arányáról beszélünk, nem pedig

0:12:11.400,0:12:13.272
a tényleges hosszukról.