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数学课涂鸦：大象无极限

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    如果你是我 并且你又坐在数学课上
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    因为他们逼着你每天都这么干
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    你在学 假设
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    无穷数列求和
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    这个在高中教学大纲里吧
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    很奇怪的是 尽管这是个引人入胜的话题
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    老师们总有办法把它教得跟催眠曲一般
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    我猜这就是为什么他们把无穷数列放到教纲里的原因
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    所以 我知道你需要开会儿小差
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    你一边涂鸦一边想
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    数列的复数形式应该是什么
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    而不是数列究竟是个什么玩意
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    数列列 数数列 数列数或数列数列
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    抑或数列是个不规则复数？
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    一个数 数序 或者数组？
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    就像sheep(绵羊)的单数应该是shoop
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    话虽如此
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    但是1/2 +1/4 +1/8 +1/16 一直加结果趋近1这个概念
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    在你想画一排大象时是很用得着的
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    每头大象都咬着前一头大象的尾巴
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    大象 小象
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    宝宝象 狗狗象 迷你象
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    一直到象牙先生 并且还能更小
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    这还是"小"有成就感的
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    因为你能在一条直线上画出无穷多头大象
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    并且让它们横穿整个笔记本页面
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    但是问题是
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    如果你准备画骆驼
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    因为它比大象小
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    只能占据1/3的页面
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    下一个骆驼应该画多大
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    才能合理地占据一整页？
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    你当然可以用算的
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    这本身就是个奇迹
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    但是我对于强算不感兴趣
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    所以让我们重新审视一下我们的骆驼
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    这是一个分形（fractal）
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    你先画一个圆
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    在一个圆里
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    继续画剩下空间里能装下的
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    最大的圆
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    这被称为"阿波罗垫片"(Apollonian Gasket)
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    当然你可以用一套不同的起始圆形
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    奇迹依然发生
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    对于某些圈内人来说 这并不让人惊讶
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    因为圆的相对曲率
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    有一些有趣的性质
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    简洁
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    酷
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    并给我们创造了许多带劲的涂鸦游戏
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    第一步
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    画任意图形
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    第二步
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    在图形内部画最大的圆
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    第三步
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    在剩下的空间里
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    画尽可能大的圆
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    第四步
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    参见第三步
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    只要画圆后还有空剩下
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    这意味着别从圆开始
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    这种方法能把任何一种图形
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    你可以用三角形
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    你可以用星形
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    你可以从大象开始或者蛇
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    或者你的一个朋友
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    我选择亚布拉罕·林肯
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    酷！
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    可以用其他图形
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    比如，用等边三角形
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    来填另一个三角形 这能行
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    因为填充三角形 是和外面的三角形
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    对头排的 （方向很重要）
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    于是就完成了“谢尔宾斯基三角形”(Sierpinski's Tirangle)
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    当然 你可以用一美分（印有亚布拉罕·林肯的头像）来做
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    但是三角形似乎 在这个例子中也成
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    但是这是个特殊例子
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    三角形的问题是
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    它们并不总是填地天衣无缝
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    比如在这个不规则的水滴里
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    最大的等边三角形有一个角悬空了
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    当然 千万别因此
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    扫了你涂鸦的雅兴
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    但是我觉得这跟画圆的游戏相比 就美中不足了
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    抑或 假设你可以改变
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    以便得到（填满图形的）最大三角形？
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    如果你不必拘泥于等边三角形又会如何？
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    其实 对于任何多边形
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    这个游戏是玩不长的 这糟透了
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    而对于带弧度的复杂图形
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    （填充）过程本身的难度大大增加
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    你怎么才能找到最大的三角形？
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    哪个三角形比较大
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    特别是当你处理不规则图形时
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    这就变成了一个有意思的问题
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    因为唯一的正确答案是存在的
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    但是如果你要为此编写一个电脑程序来用一个图形
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    填满另一个给定图形
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    按照一个更为简单的逻辑
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    你可能依然需要学习一些计算几何学
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    我确定你可以超越
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    三角形 四边形 甚至大象形
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    但是圆是最棒的
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    因为它是如此圆满无缺
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    哦 对了 扯开去做个小的涂鸦测试
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    三点定圆
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    因此随便画三个点
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    然后去找到三点所定之圆
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    回到正题 画圆游戏让我着迷的一点是
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    一个像这样的“角落”时
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    你知道总可以画出
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    无穷多的圆向尖角延伸
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    更有意思的是 这一列上的每个圆
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    都会创造出一些新的“角落”需要
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    需要一列新的无穷多圆去填充
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    循环往复无绝期
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    你刚刚已经创造了为数可观的圆 并且还在产生新的圆
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    你大概已经发现无穷可以有多密集
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    但是 真正让人吃惊的是 这种无限
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    是最小可数的无限
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    还有许多无限 大得匪夷所思
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    等等 有意思的来了
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    如果你把这段长称之为“任意单位长度”
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    那么 这段 加上这段 等等
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    是一个趋近于1的无穷数列
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    这个序列虽然和上个不同 但是其和也趋近于1
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    这个也是 还有这个
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    只要外轮廓是规则的
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    其序列和都接近于1
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    不过如果你只想要个简单的序列
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    其中每个圆的直径是
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    之前一个圆直径的几分之一
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    你将会得到一条直线
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    如果你知道直线的斜率是如何定义的
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    这很管用 因为它揭示了一个巧妙的
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    数学的法子和涂鸦的方法来解决我们的骆驼问题
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    而不需任何计算
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    如果不画骆驼而是画圆
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    我们可以作出正确的无穷序列 仅仅画一个
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    和页面等长的锐角 并把它填满
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    用骆驼替代圆 成功！
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    一个无穷长的撒哈拉驼队
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    消失在远方
  • 4:25 - 4:27
    不用任何数字哦！
  • 4:27 - 4:29
    最后 我有无穷多的信息
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    想在最后一句话里和你们分享
  • 4:31 - 4:33
    这也许能填满接下来的五秒钟
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    如果我以两倍速说这句话
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    再用两倍数说这句话
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    再。。。
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数学课涂鸦：大象无极限
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涂鸦之蛇和图形: http://www.youtube.com/watch?v=heKK95DAKms
涂鸦之星: http://www.youtube.com/watch?v=CfJzrmS9UfY
涂鸦之二叉树: http://www.youtube.com/watch?v=e4MSN6IImpI

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Video Language:
English
Duration:
04:36

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