WEBVTT

00:00:00.467 --> 00:00:01.982
如果你是我 并且你又坐在数学课上

00:00:01.982 --> 00:00:04.104
因为他们逼着你每天都这么干

00:00:04.104 --> 00:00:05.105
你在学 假设

00:00:05.105 --> 00:00:06.803
无穷数列求和

00:00:06.803 --> 00:00:08.008
这个在高中教学大纲里吧

00:00:08.008 --> 00:00:09.943
很奇怪的是 尽管这是个引人入胜的话题

00:00:09.943 --> 00:00:11.945
老师们总有办法把它教得跟催眠曲一般

00:00:11.945 --> 00:00:15.415
我猜这就是为什么他们把无穷数列放到教纲里的原因

00:00:15.415 --> 00:00:17.569
所以 我知道你需要开会儿小差

00:00:17.569 --> 00:00:18.882
你一边涂鸦一边想

00:00:18.882 --> 00:00:20.650
数列的复数形式应该是什么

00:00:20.650 --> 00:00:22.325
而不是数列究竟是个什么玩意

00:00:22.325 --> 00:00:24.743
数列列 数数列 数列数或数列数列

00:00:24.743 --> 00:00:27.144
抑或数列是个不规则复数？

00:00:27.144 --> 00:00:28.813
一个数 数序 或者数组？

00:00:28.813 --> 00:00:31.501
就像sheep(绵羊)的单数应该是shoop

00:00:31.501 --> 00:00:33.393
话虽如此

00:00:33.393 --> 00:00:36.573
但是1/2 +1/4 +1/8 +1/16 一直加结果趋近1这个概念

00:00:36.573 --> 00:00:38.941
在你想画一排大象时是很用得着的

00:00:38.941 --> 00:00:41.024
每头大象都咬着前一头大象的尾巴

00:00:41.024 --> 00:00:42.223
大象 小象

00:00:42.223 --> 00:00:44.621
宝宝象 狗狗象 迷你象

00:00:44.621 --> 00:00:46.556
一直到象牙先生 并且还能更小

00:00:46.556 --> 00:00:48.602
这还是"小"有成就感的

00:00:48.602 --> 00:00:50.204
因为你能在一条直线上画出无穷多头大象

00:00:50.204 --> 00:00:51.405
并且让它们横穿整个笔记本页面

00:00:51.405 --> 00:00:53.607
但是问题是

00:00:53.607 --> 00:00:55.175
如果你准备画骆驼

00:00:55.175 --> 00:00:56.308
因为它比大象小

00:00:56.308 --> 00:00:58.178
只能占据1/3的页面

00:00:58.178 --> 00:00:59.633
下一个骆驼应该画多大

00:00:59.633 --> 00:01:01.948
才能合理地占据一整页？

00:01:01.948 --> 00:01:03.502
你当然可以用算的

00:01:03.502 --> 00:01:05.003
这本身就是个奇迹

00:01:05.003 --> 00:01:06.805
但是我对于强算不感兴趣

00:01:06.805 --> 00:01:08.306
所以让我们重新审视一下我们的骆驼

00:01:08.306 --> 00:01:09.307
这是一个分形（fractal）

00:01:09.307 --> 00:01:10.542
你先画一个圆

00:01:10.542 --> 00:01:11.443
在一个圆里

00:01:11.443 --> 00:01:12.878
继续画剩下空间里能装下的

00:01:12.878 --> 00:01:14.212
最大的圆

00:01:14.212 --> 00:01:16.882
这被称为"阿波罗垫片"(Apollonian Gasket)

00:01:16.882 --> 00:01:18.774
当然你可以用一套不同的起始圆形

00:01:18.774 --> 00:01:20.002
奇迹依然发生

00:01:20.002 --> 00:01:21.537
对于某些圈内人来说 这并不让人惊讶

00:01:21.537 --> 00:01:22.805
因为圆的相对曲率

00:01:22.805 --> 00:01:24.776
有一些有趣的性质

00:01:24.776 --> 00:01:25.608
简洁

00:01:25.608 --> 00:01:26.876
酷

00:01:26.876 --> 00:01:28.863
并给我们创造了许多带劲的涂鸦游戏

00:01:28.863 --> 00:01:29.699
第一步

00:01:29.699 --> 00:01:31.114
画任意图形

00:01:31.114 --> 00:01:32.299
第二步

00:01:32.299 --> 00:01:33.968
在图形内部画最大的圆

00:01:33.968 --> 00:01:35.318
第三步

00:01:35.318 --> 00:01:36.637
在剩下的空间里

00:01:36.637 --> 00:01:37.638
画尽可能大的圆

00:01:37.638 --> 00:01:38.806
第四步

00:01:38.806 --> 00:01:39.962
参见第三步

00:01:39.962 --> 00:01:42.350
只要画圆后还有空剩下

00:01:42.350 --> 00:01:43.736
这意味着别从圆开始

00:01:43.736 --> 00:01:46.042
这种方法能把任何一种图形

00:01:46.042 --> 00:01:46.928
你可以用三角形

00:01:46.928 --> 00:01:49.077
你可以用星形

00:01:49.077 --> 00:01:51.193
你可以从大象开始或者蛇

00:01:51.193 --> 00:01:52.810
或者你的一个朋友

00:01:52.810 --> 00:01:54.272
我选择亚布拉罕·林肯

00:01:54.272 --> 00:01:55.473
酷！

00:01:55.473 --> 00:01:57.407
可以用其他图形

00:01:57.407 --> 00:01:59.274
比如，用等边三角形

00:01:59.274 --> 00:02:01.021
来填另一个三角形 这能行

00:02:01.021 --> 00:02:03.194
因为填充三角形 是和外面的三角形

00:02:03.194 --> 00:02:05.291
对头排的 （方向很重要）

00:02:05.291 --> 00:02:07.507
于是就完成了“谢尔宾斯基三角形”(Sierpinski's Tirangle)

00:02:07.507 --> 00:02:09.931
当然 你可以用一美分（印有亚布拉罕·林肯的头像）来做

00:02:09.931 --> 00:02:12.489
但是三角形似乎 在这个例子中也成

00:02:12.489 --> 00:02:13.605
但是这是个特殊例子

00:02:13.605 --> 00:02:14.614
三角形的问题是

00:02:14.614 --> 00:02:16.220
它们并不总是填地天衣无缝

00:02:16.220 --> 00:02:17.584
比如在这个不规则的水滴里

00:02:17.584 --> 00:02:20.374
最大的等边三角形有一个角悬空了

00:02:20.374 --> 00:02:21.302
当然 千万别因此

00:02:21.302 --> 00:02:22.788
扫了你涂鸦的雅兴

00:02:22.788 --> 00:02:25.277
但是我觉得这跟画圆的游戏相比 就美中不足了

00:02:25.277 --> 00:02:27.648
抑或 假设你可以改变

00:02:27.648 --> 00:02:29.214
以便得到（填满图形的）最大三角形？

00:02:29.214 --> 00:02:30.807
如果你不必拘泥于等边三角形又会如何？

00:02:30.807 --> 00:02:32.013
其实 对于任何多边形

00:02:32.013 --> 00:02:33.829
这个游戏是玩不长的 这糟透了

00:02:33.848 --> 00:02:35.000
而对于带弧度的复杂图形

00:02:35.000 --> 00:02:36.832
（填充）过程本身的难度大大增加

00:02:36.832 --> 00:02:38.569
你怎么才能找到最大的三角形？

00:02:38.569 --> 00:02:40.842
哪个三角形比较大

00:02:40.842 --> 00:02:43.273
特别是当你处理不规则图形时

00:02:43.273 --> 00:02:44.700
这就变成了一个有意思的问题

00:02:44.700 --> 00:02:45.830
因为唯一的正确答案是存在的

00:02:45.830 --> 00:02:47.414
但是如果你要为此编写一个电脑程序来用一个图形

00:02:47.414 --> 00:02:48.881
填满另一个给定图形

00:02:48.881 --> 00:02:51.497
按照一个更为简单的逻辑

00:02:51.497 --> 00:02:53.997
你可能依然需要学习一些计算几何学

00:02:53.997 --> 00:02:54.926
我确定你可以超越

00:02:54.926 --> 00:02:57.073
三角形 四边形 甚至大象形

00:02:57.073 --> 00:02:58.493
但是圆是最棒的

00:02:58.493 --> 00:03:01.064
因为它是如此圆满无缺

00:03:01.064 --> 00:03:03.183
哦 对了 扯开去做个小的涂鸦测试

00:03:03.183 --> 00:03:04.948
三点定圆

00:03:04.948 --> 00:03:06.588
因此随便画三个点

00:03:06.588 --> 00:03:08.474
然后去找到三点所定之圆

00:03:08.474 --> 00:03:10.601
回到正题 画圆游戏让我着迷的一点是

00:03:10.601 --> 00:03:12.793
一个像这样的“角落”时

00:03:12.793 --> 00:03:13.948
你知道总可以画出

00:03:13.948 --> 00:03:16.010
无穷多的圆向尖角延伸

00:03:16.010 --> 00:03:17.812
更有意思的是 这一列上的每个圆

00:03:17.812 --> 00:03:19.714
都会创造出一些新的“角落”需要

00:03:19.714 --> 00:03:21.900
需要一列新的无穷多圆去填充

00:03:21.900 --> 00:03:23.602
循环往复无绝期

00:03:23.602 --> 00:03:27.027
你刚刚已经创造了为数可观的圆 并且还在产生新的圆

00:03:27.027 --> 00:03:30.094
你大概已经发现无穷可以有多密集

00:03:30.094 --> 00:03:32.102
但是 真正让人吃惊的是 这种无限

00:03:32.102 --> 00:03:34.800
是最小可数的无限

00:03:34.800 --> 00:03:38.819
还有许多无限 大得匪夷所思

00:03:38.819 --> 00:03:40.770
等等 有意思的来了

00:03:40.770 --> 00:03:42.706
如果你把这段长称之为“任意单位长度”

00:03:42.706 --> 00:03:45.208
那么 这段 加上这段 等等

00:03:45.208 --> 00:03:48.092
是一个趋近于1的无穷数列

00:03:48.092 --> 00:03:51.555
这个序列虽然和上个不同 但是其和也趋近于1

00:03:51.555 --> 00:03:53.333
这个也是 还有这个

00:03:53.333 --> 00:03:55.974
只要外轮廓是规则的

00:03:55.974 --> 00:03:57.238
其序列和都接近于1

00:03:57.238 --> 00:03:58.740
不过如果你只想要个简单的序列

00:03:58.740 --> 00:04:00.141
其中每个圆的直径是

00:04:00.141 --> 00:04:02.411
之前一个圆直径的几分之一

00:04:02.411 --> 00:04:04.316
你将会得到一条直线

00:04:04.316 --> 00:04:06.552
如果你知道直线的斜率是如何定义的

00:04:06.552 --> 00:04:08.497
这很管用 因为它揭示了一个巧妙的

00:04:08.497 --> 00:04:11.449
数学的法子和涂鸦的方法来解决我们的骆驼问题

00:04:11.449 --> 00:04:13.005
而不需任何计算

00:04:13.005 --> 00:04:14.874
如果不画骆驼而是画圆

00:04:14.874 --> 00:04:17.419
我们可以作出正确的无穷序列 仅仅画一个

00:04:17.419 --> 00:04:20.073
和页面等长的锐角 并把它填满

00:04:20.073 --> 00:04:22.337
用骆驼替代圆 成功！

00:04:22.337 --> 00:04:23.666
一个无穷长的撒哈拉驼队

00:04:23.666 --> 00:04:25.346
消失在远方

00:04:25.346 --> 00:04:27.170
不用任何数字哦！

00:04:27.170 --> 00:04:28.905
最后 我有无穷多的信息

00:04:28.905 --> 00:04:31.330
想在最后一句话里和你们分享

00:04:31.330 --> 00:04:32.692
这也许能填满接下来的五秒钟

00:04:32.692 --> 00:04:33.844
如果我以两倍速说这句话

00:04:33.844 --> 00:04:34.678
再用两倍数说这句话

00:04:34.678 --> 00:04:35.955
再。。。