Integraler: Trig Ersättning 2

Ett annat exempel på att hitta en anti-derivat med trigonometriska substitution

Låt oss anta att vi har generaliserad integral 1

Låt oss anta att vi har generaliserad integral 1

över 36 plus x squared d x.

Nu, som ni kan föreställa er, detta är inte en enkel integrerad till

lösa utan trigonometri.

Jag kan inte göra u substitution, jag har inte derivat av

denna sak som sitter någonstans.

Detta skulle vara lätt om jag hade en 2 x sitter där.

Än vad jag skulle säga, är oh derivat av detta 2 x,

Jag kunde göra u substitution och jag skulle ställas in.

Men det finns inte 2 x där, så hur gör jag det?

Tja, tillgripa I våra trigonometriska identiteter.

Låt oss se vad trig identitet som vi kan få här.

Första som jag gör alltid, det är precis som min hjärna

verk, alltid jag it--kan jag se detta är ett konstant plus

något squared, som säger att jag bör använda en

trigonometriska identitet.

Men jag gillar det alltid i 1 plus något kvadrat.

Jag kommer bara skriva om min integral som är lika med,

Låt mig skriva dx i täljaren.

Detta är bara gånger dx.

Låt mig skriva en trevligare integrerad än.

Detta är lika med integrerad d x över 36 gånger 1

plus x squared över 36.

1 plus x squared över 36, det är ett annat sätt att

skriva min integrerad.

Låt oss se om någon av våra trig identiteter på något sätt kan vara

här i stället för att det skulle på något sätt

förenkla problemet.

Så det som kommer att tänka, och om du inte vet

detta redan, jag ska skriva rätt här, är 1 plus

tangens squared av theta.

Låt oss bevisa detta.

Låt oss bevisa detta.

Tangens squared av theta, detta är lika med 1 plus bara den

definition av tangerande sinus squared av theta över

cosinus kvadrat av theta.

1 Är nu bara cosinus kvadrat över cosinus kvadrat.

Så jag kan skriva om detta som motsvarar cosinus kvadrat av theta över

cosinus kvadrat av theta, som är 1, plus sinus squared theta över

cosinus kvadrat av theta, nu när vi har en

gemensam nämnare.

Vad är nu cosinus kvadrat plus sinus kvadrat?

Definition av enheten.

Som är lika med 1 över cosinus kvadrat av theta.

Eller man kan säga att det är lika med 1 över cosinus kvadrat.

En över cosinus är Sekant.

Det är alltså lika med den Sekant squared av theta.

Om vi gör att ersätta, om vi säger att vi ska göra denna sak

rätt här lika med tangens för theta, eller tangens

kvadrat av theta.

Sedan detta uttryck kommer att vara 1 plus tangens squared av theta.

Som är lika med Sekant kvadrat.

Kanske som ska förenkla denna ekvation en bit.

Vi kommer att säga att x-squared över 36 är lika med

tangens squared av theta.

Låt oss ta kvadratroten av båda sidor av denna ekvation och

du get x över 6 är lika med tangens för theta, eller att x

är lika med 6 tangens för theta.

Om vi tar derivat av båda sidor av detta med respekt

theta vi d x d theta är lika med--vad har den

derivat av tangens för theta?

Jag kan visa det för dig genom att gå från dessa grundläggande

principer rätt här.

Faktiskt Låt mig göra det du just in case.

Så derivat av tangerande theta--aldrig gör ont för att göra det.

Låt mig göra det här på sidan.

Det kommer att vara 6 gånger derivata med avseende på

theta för tangens för theta.

Som vi behöver till bild, så låt oss räkna ut.

Derivat av tangens för theta, som är samma sak

som d d theta av sinus för theta över cosinus för theta.

Det är bara derivat av tangens.

Eller det är precis samma sak som derivat med respekt

att theta, låt mig rulla åt höger lite.

Eftersom jag kommer aldrig ihåg regeln kvoten, har jag sagt er i

tidigare att det är lite lame, av sinus theta gånger

cosinus för theta minus 1 makt.

Vad är detta lika med?

Vi kan säga det är lika väl derivat av den

första uttryck eller den första funktionen skulle vi kunna säga, som

är bara cosinus för theta.

Detta är lika med cosinus för theta, som bara den

derivat av sinus för theta alltid våra andra uttryck.

Gånger cosinus för theta till minus 1.

Jag har lagt dessa parenteser och sätta det minus 1 ute

eftersom jag inte vill sätta det minus 1 här och att du

tror att jag talar om en inverterad cosinus eller en cosinus.

Detta är alltså derivatan av sinus gånger cosinus och nu

vill ta plus derivat av cosinus.

vill ta plus derivat av cosinus.

Inte bara cosinus, derivat om cosinus till minus 1.

Så det är minus 1 gånger cosinus theta minus 2 makt.

Som är derivat av de utanför gånger den

derivat av insidan.

Låt mig gå över mer.

Så som är derivat av utsidan.

Om cosinus theta var bara ett x, skulle du säga x till ett minustecken

1 derivata är minus 1 x minus 2.

Nu gånger derivat på insidan.

Av cosinus för theta om theta.

Så det är gånger minus sinus för theta.

Jag kommer att multiplicera allt detta gånger sinus för theta.

Derivatan av denna sak, som är grejer i grönt,

gånger det första uttrycket.

Så vad detta uppgår?

Dessa cosinus för theta dividerat med cosinus för

theta, som är lika med 1.

Och sedan har jag ett minus 1 och jag har ett minus sinus för theta.

Det är plus plus.

Vad har jag?

Jag har sine squared, sinus för theta tid sinus för theta

över cosinus kvadrat.

Så plus sinus kvadraterna av theta över cosinus kvadrat av theta.

Som är lika med 1 plus tangens squared av theta.

Vad är 1 plus tangens squared av theta?

Jag visat har dig som.

Som är lika med Sekant squared av theta.

Derivat av tangens för theta är alltså lika med

Sekant squared av theta.

Alla som arbetar för att få oss ganska något--det är trevligt

När det gäller ut enkelt.

Så d x d theta, detta är precis lika Sekant

kvadrat av theta.

Om vi vill räkna ut vad d x är lika med, är d x lika med

bara båda sidor gånger d theta.

Så det är 6 gånger Sekant squared theta d theta.

Det är vår d x.

Naturligtvis vi i framtiden kommer att behöva tillbaka

ersätta, så vi vill lösa för theta.

Det är ganska enkelt.

Ta bara arcus tangens för båda sidor av denna ekvation.

Du får att arcus tangens för x över 6 är lika med theta.

Det sparar vi till senare.

Så vad är vår integrerad reduceras till?

Våra integralen blir nu integrerad i d x?

Vad är d x?

Det är 6 Sekant squared theta d theta.

Allt detta över denna nämnaren, som är 36

gånger 1 plus squared tangens av theta.

Vi vet att detta rätt det är Sekant squared av theta.

Jag har visat att flera gånger.

Det är alltså Sekant squared av theta i nämnaren.

Vi har en Sekant squared om täljaren, de rätta.

Så dem ut.

Så är integrerad minskar, tur för oss 6/36 som

är bara 1/6 d theta.

Vilket är lika med 1/6 theta plus c.

Vi ersätter nu tillbaka med hjälp av detta resultat.

Theta är lika med tangens x över 6.

Anti-derivative 1 över 36 plus x är squared

lika med 1/6 gånger theta.

Theta är precis lika med arcus tangens x över 6 plus c.

Och vi är klar.

Så att en inte alltför dåligt.

Så att en inte alltför dåligt.