0:00:00.000,0:00:00.640
Låt oss anta att vi har generaliserad integral 1

0:00:00.640,0:00:05.290
Låt oss anta att vi har generaliserad integral 1

0:00:05.290,0:00:15.300
över 36 plus x squared d x.

0:00:15.300,0:00:17.910
Nu, som ni kan föreställa er, detta är inte en enkel integrerad till

0:00:17.910,0:00:19.830
lösa utan trigonometri.

0:00:19.830,0:00:22.130
Jag kan inte göra u substitution, jag har inte derivat av

0:00:22.130,0:00:23.480
denna sak som sitter någonstans.

0:00:23.480,0:00:25.340
Detta skulle vara lätt om jag hade en 2 x sitter där.

0:00:25.340,0:00:27.910
Än vad jag skulle säga, är oh derivat av detta 2 x,

0:00:27.910,0:00:30.470
Jag kunde göra u substitution och jag skulle ställas in.

0:00:30.470,0:00:32.880
Men det finns inte 2 x där, så hur gör jag det?

0:00:32.880,0:00:35.640
Tja, tillgripa I våra trigonometriska identiteter.

0:00:35.640,0:00:38.100
Låt oss se vad trig identitet som vi kan få här.

0:00:38.100,0:00:40.840
Första som jag gör alltid, det är precis som min hjärna

0:00:40.840,0:00:43.920
verk, alltid jag it--kan jag se detta är ett konstant plus

0:00:43.920,0:00:46.350
något squared, som säger att jag bör använda en

0:00:46.350,0:00:47.300
trigonometriska identitet.

0:00:47.300,0:00:50.600
Men jag gillar det alltid i 1 plus något kvadrat.

0:00:50.600,0:00:54.210
Jag kommer bara skriva om min integral som är lika med,

0:00:54.210,0:00:55.720
Låt mig skriva dx i täljaren.

0:00:55.720,0:00:57.870
Detta är bara gånger dx.

0:00:57.870,0:00:59.430
Låt mig skriva en trevligare integrerad än.

0:00:59.430,0:01:07.370
Detta är lika med integrerad d x över 36 gånger 1

0:01:07.370,0:01:11.800
plus x squared över 36.

0:01:11.800,0:01:14.130
1 plus x squared över 36, det är ett annat sätt att

0:01:14.130,0:01:15.420
skriva min integrerad.

0:01:15.420,0:01:19.110
Låt oss se om någon av våra trig identiteter på något sätt kan vara

0:01:19.110,0:01:22.400
här i stället för att det skulle på något sätt

0:01:22.400,0:01:24.560
förenkla problemet.

0:01:24.560,0:01:28.190
Så det som kommer att tänka, och om du inte vet

0:01:28.190,0:01:30.430
detta redan, jag ska skriva rätt här, är 1 plus

0:01:30.430,0:01:31.630
tangens squared av theta.

0:01:31.630,0:01:35.390
Låt oss bevisa detta.

0:01:35.390,0:01:36.900
Låt oss bevisa detta.

0:01:36.900,0:01:39.790
Tangens squared av theta, detta är lika med 1 plus bara den

0:01:39.790,0:01:45.210
definition av tangerande sinus squared av theta över

0:01:45.210,0:01:47.160
cosinus kvadrat av theta.

0:01:47.160,0:01:50.160
1 Är nu bara cosinus kvadrat över cosinus kvadrat.

0:01:50.160,0:01:57.250
Så jag kan skriva om detta som motsvarar cosinus kvadrat av theta över

0:01:57.250,0:02:02.990
cosinus kvadrat av theta, som är 1, plus sinus squared theta över

0:02:02.990,0:02:04.860
cosinus kvadrat av theta, nu när vi har en

0:02:04.860,0:02:06.320
gemensam nämnare.

0:02:06.320,0:02:08.490
Vad är nu cosinus kvadrat plus sinus kvadrat?

0:02:08.490,0:02:09.970
Definition av enheten.

0:02:09.970,0:02:14.210
Som är lika med 1 över cosinus kvadrat av theta.

0:02:14.210,0:02:17.600
Eller man kan säga att det är lika med 1 över cosinus kvadrat.

0:02:17.600,0:02:19.540
En över cosinus är Sekant.

0:02:19.540,0:02:24.090
Det är alltså lika med den Sekant squared av theta.

0:02:24.090,0:02:28.270
Om vi gör att ersätta, om vi säger att vi ska göra denna sak

0:02:28.270,0:02:32.340
rätt här lika med tangens för theta, eller tangens

0:02:32.340,0:02:33.590
kvadrat av theta.

0:02:33.590,0:02:37.310
Sedan detta uttryck kommer att vara 1 plus tangens squared av theta.

0:02:37.310,0:02:38.700
Som är lika med Sekant kvadrat.

0:02:38.700,0:02:42.860
Kanske som ska förenkla denna ekvation en bit.

0:02:42.860,0:02:50.080
Vi kommer att säga att x-squared över 36 är lika med

0:02:50.080,0:02:52.710
tangens squared av theta.

0:02:52.710,0:02:55.440
Låt oss ta kvadratroten av båda sidor av denna ekvation och

0:02:55.440,0:03:04.090
du get x över 6 är lika med tangens för theta, eller att x

0:03:04.090,0:03:08.540
är lika med 6 tangens för theta.

0:03:08.540,0:03:10.950
Om vi tar derivat av båda sidor av detta med respekt

0:03:10.950,0:03:16.140
theta vi d x d theta är lika med--vad har den

0:03:16.140,0:03:18.610
derivat av tangens för theta?

0:03:18.610,0:03:21.120
Jag kan visa det för dig genom att gå från dessa grundläggande

0:03:21.120,0:03:23.070
principer rätt här.

0:03:23.070,0:03:26.670
Faktiskt Låt mig göra det du just in case.

0:03:26.670,0:03:29.000
Så derivat av tangerande theta--aldrig gör ont för att göra det.

0:03:29.000,0:03:31.140
Låt mig göra det här på sidan.

0:03:31.140,0:03:34.470
Det kommer att vara 6 gånger derivata med avseende på

0:03:34.470,0:03:36.490
theta för tangens för theta.

0:03:36.490,0:03:39.050
Som vi behöver till bild, så låt oss räkna ut.

0:03:39.050,0:03:43.040
Derivat av tangens för theta, som är samma sak

0:03:43.040,0:03:48.030
som d d theta av sinus för theta över cosinus för theta.

0:03:48.030,0:03:50.270
Det är bara derivat av tangens.

0:03:50.270,0:03:54.380
Eller det är precis samma sak som derivat med respekt

0:03:54.380,0:03:57.520
att theta, låt mig rulla åt höger lite.

0:03:57.520,0:03:59.650
Eftersom jag kommer aldrig ihåg regeln kvoten, har jag sagt er i

0:03:59.650,0:04:04.090
tidigare att det är lite lame, av sinus theta gånger

0:04:04.090,0:04:09.560
cosinus för theta minus 1 makt.

0:04:09.560,0:04:10.860
Vad är detta lika med?

0:04:10.860,0:04:14.090
Vi kan säga det är lika väl derivat av den

0:04:14.090,0:04:17.520
första uttryck eller den första funktionen skulle vi kunna säga, som

0:04:17.520,0:04:19.050
är bara cosinus för theta.

0:04:19.050,0:04:21.760
Detta är lika med cosinus för theta, som bara den

0:04:21.760,0:04:25.050
derivat av sinus för theta alltid våra andra uttryck.

0:04:25.050,0:04:29.660
Gånger cosinus för theta till minus 1.

0:04:29.660,0:04:32.810
Jag har lagt dessa parenteser och sätta det minus 1 ute

0:04:32.810,0:04:34.610
eftersom jag inte vill sätta det minus 1 här och att du

0:04:34.610,0:04:37.590
tror att jag talar om en inverterad cosinus eller en cosinus.

0:04:37.590,0:04:41.680
Detta är alltså derivatan av sinus gånger cosinus och nu

0:04:41.680,0:04:45.690
vill ta plus derivat av cosinus.

0:04:45.690,0:04:48.720
vill ta plus derivat av cosinus.

0:04:48.720,0:04:50.770
Inte bara cosinus, derivat om cosinus till minus 1.

0:04:50.770,0:04:57.710
Så det är minus 1 gånger cosinus theta minus 2 makt.

0:04:57.710,0:05:01.466
Som är derivat av de utanför gånger den

0:05:01.466,0:05:03.110
derivat av insidan.

0:05:03.110,0:05:05.060
Låt mig gå över mer.

0:05:05.060,0:05:06.620
Så som är derivat av utsidan.

0:05:06.620,0:05:09.160
Om cosinus theta var bara ett x, skulle du säga x till ett minustecken

0:05:09.160,0:05:12.360
1 derivata är minus 1 x minus 2.

0:05:12.360,0:05:14.560
Nu gånger derivat på insidan.

0:05:14.560,0:05:16.230
Av cosinus för theta om theta.

0:05:16.230,0:05:21.180
Så det är gånger minus sinus för theta.

0:05:21.180,0:05:26.350
Jag kommer att multiplicera allt detta gånger sinus för theta.

0:05:26.350,0:05:28.690
Derivatan av denna sak, som är grejer i grönt,

0:05:28.690,0:05:30.550
gånger det första uttrycket.

0:05:30.550,0:05:32.520
Så vad detta uppgår?

0:05:32.520,0:05:34.890
Dessa cosinus för theta dividerat med cosinus för

0:05:34.890,0:05:36.960
theta, som är lika med 1.

0:05:36.960,0:05:40.400
Och sedan har jag ett minus 1 och jag har ett minus sinus för theta.

0:05:40.400,0:05:42.670
Det är plus plus.

0:05:42.670,0:05:43.190
Vad har jag?

0:05:43.190,0:05:45.910
Jag har sine squared, sinus för theta tid sinus för theta

0:05:45.910,0:05:47.980
över cosinus kvadrat.

0:05:47.980,0:05:54.430
Så plus sinus kvadraterna av theta över cosinus kvadrat av theta.

0:05:54.430,0:05:58.570
Som är lika med 1 plus tangens squared av theta.

0:05:58.570,0:06:00.290
Vad är 1 plus tangens squared av theta?

0:06:00.290,0:06:00.980
Jag visat har dig som.

0:06:00.980,0:06:04.720
Som är lika med Sekant squared av theta.

0:06:04.720,0:06:07.100
Derivat av tangens för theta är alltså lika med

0:06:07.100,0:06:09.410
Sekant squared av theta.

0:06:09.410,0:06:11.940
Alla som arbetar för att få oss ganska något--det är trevligt

0:06:11.940,0:06:13.490
När det gäller ut enkelt.

0:06:13.490,0:06:17.440
Så d x d theta, detta är precis lika Sekant

0:06:17.440,0:06:19.780
kvadrat av theta.

0:06:19.780,0:06:23.440
Om vi vill räkna ut vad d x är lika med, är d x lika med

0:06:23.440,0:06:25.510
bara båda sidor gånger d theta.

0:06:25.510,0:06:32.680
Så det är 6 gånger Sekant squared theta d theta.

0:06:32.680,0:06:34.290
Det är vår d x.

0:06:34.290,0:06:37.330
Naturligtvis vi i framtiden kommer att behöva tillbaka

0:06:37.330,0:06:39.780
ersätta, så vi vill lösa för theta.

0:06:39.780,0:06:41.000
Det är ganska enkelt.

0:06:41.000,0:06:43.600
Ta bara arcus tangens för båda sidor av denna ekvation.

0:06:43.600,0:06:50.270
Du får att arcus tangens för x över 6 är lika med theta.

0:06:50.270,0:06:52.600
Det sparar vi till senare.

0:06:52.600,0:06:54.640
Så vad är vår integrerad reduceras till?

0:06:54.640,0:06:58.020
Våra integralen blir nu integrerad i d x?

0:06:58.020,0:06:59.210
Vad är d x?

0:06:59.210,0:07:06.430
Det är 6 Sekant squared theta d theta.

0:07:06.430,0:07:11.860
Allt detta över denna nämnaren, som är 36

0:07:11.860,0:07:19.380
gånger 1 plus squared tangens av theta.

0:07:19.380,0:07:23.600
Vi vet att detta rätt det är Sekant squared av theta.

0:07:23.600,0:07:25.420
Jag har visat att flera gånger.

0:07:25.420,0:07:27.470
Det är alltså Sekant squared av theta i nämnaren.

0:07:27.470,0:07:31.370
Vi har en Sekant squared om täljaren, de rätta.

0:07:31.370,0:07:32.990
Så dem ut.

0:07:32.990,0:07:37.400
Så är integrerad minskar, tur för oss 6/36 som

0:07:37.400,0:07:40.910
är bara 1/6 d theta.

0:07:40.910,0:07:45.760
Vilket är lika med 1/6 theta plus c.

0:07:45.760,0:07:48.650
Vi ersätter nu tillbaka med hjälp av detta resultat.

0:07:48.650,0:07:52.240
Theta är lika med tangens x över 6.

0:07:52.240,0:07:55.710
Anti-derivative 1 över 36 plus x är squared

0:07:55.710,0:07:58.220
lika med 1/6 gånger theta.

0:07:58.220,0:08:06.210
Theta är precis lika med arcus tangens x över 6 plus c.

0:08:06.210,0:08:07.000
Och vi är klar.

0:08:07.000,0:08:09.770
Så att en inte alltför dåligt.

0:08:09.770,0:08:10.144
Så att en inte alltför dåligt.