Linear Algebra: Rank(A) = Rank(transpose of A)

Há alguns vídeos, eu afirmei que
o posto de uma matriz A

é igual ao posto da sua transposta.

E usei um argumento meio
impreciso.

Foi no final do vídeo, e eu
estava cansado.

Foi na verdade no fim do dia.

E eu pensei que valeria a pena
passar isso a limpo,

Pois é um resultado importante.

Nos ajudará a entender um pouco
melhor tudo que aprendemos.

Então, vamos entender -

vou começar com o posto da
transposta de A.

O posto da transposta de A é dimensão
do espaço

das colunas da transposta de A.

Essa é a definição de posto.

A dimensão do espaço das colunas
da transposta de A é

o número de vetores da base para o
espaço das colunas

da transposta de A.

Isso é sua dimensão.

Para qualquer subespaço, você calcula
quantos vetores da base você precisa

naquele subespaço, você os conta,

e essa é a dimensão.

Então, é o número de vetores da base
para o espaço coluna

da transposta de A, que é, claro,
a mesma coisa.

Isso que vimos várias vezes é o
mesmo que

o espaço linha de A.

Certo?

As colunas da transposta de A
são as linhas de A.

Porque você trocou as linhas
pelas colunas.

Agora, como podemos obter o número
de vetores da base que precisamos

para o espaço coluna da transposta de A,
ou o espaço linha de A?

Vamos ver o que nos diz o espaço
coluna da transposta de A.

Então, isso é equivalente a, digamos -
deixe-me desenhar A assim...

Essa é a matriz A.

Digamos que seja uma matriz m por n.

Deixe-me escrever isso como
vetores linha.

Poderia escrevê-la como
vetores coluna,

mas por hora vamos ficar com
vetores linha.

Então temos a linha um.

A transposta de vetores coluna.

Essa é a linha um, e teremos a linha dois,
e vamos até a linha m. Certo?

É uma matriz m por n.

E cada um desses vetores são membros
do rn, porque eles terão n elementos,

pois temos n colunas.

É assim que será a matriz A.

A será assim.

E então para transposta de A, todas
essas linhas

se transformarão em colunas.

A transposta de A será assim:
r1, r2, até rm.

E essa será, claro, uma matriz n por m.

Você troca estes.

Então todas essas linhas serão colunas.

Certo?

E, obviamente, o espaço coluna -
talvez não seja tão óbvio -

o espaço coluna da transposta de A é igual
ao espaço vetorial de r1, r2, até rm.

Certo?

É igual ao espaço vetorial disto.

Ou, você poderia, de forma equivalente,
dizer que é o

espaço vetorial das linhas.

Por isso que se chama espaço linha.

Isto é igual ao espaço vetorial
das linhas de A.

As duas coisas são equivalentes.

Agora, esses são espaços vetoriais.

Significa que há algum subespaço,
que é a combinação linear

destas colunas ou todas
as combinações lineares

destas linhas.

Se quisermos a base disso, queremos
achar um conjunto mínimo

de vetores linearmente independentes
que poderíamos usar para

construir qualquer dessas colunas.

Ou que pudéssemos usar para construir
qualquer dessas linhas.

Agora, o que acontece quando nós colocamos
A na forma

escalonada reduzida por linha?

Fazemos várias operações de
linha para colocá-la

na forma escalonada reduzida por linha.

Certo?

Faça várias operações de linha e no
final terá algo

parecido com isso.

Você terá a forma escalonada
reduzida de A.

A forma escalonada reduzida
por linhas de A

se parecerá com algo assim.

Você terá algumas linhas pivô, algumas
linhas com elementos pivô.

Digamos que essa é uma delas.

Esta terá zeros até o final.

Esta terá zeros.

Seu elemento pivô tem que ser o único
não nulo na coluna.

E todo o resto à esquerda dele
deve ser zero.

Digamos que essa não seja.

Há alguns valores diferentes de zero.

Esses são zero.

Temos uma outro elemento pivô aqui.

Todo o resto é zero.

Digamos que todo o resto não são
elementos pivô.

Você chega aqui e tem um certo
número de linhas pivô,

ou um certo número de elementos
pivô, certo?

E você chegou lá realizando operações
lineares

de linha nesses caras.

Então aquelas operações lineares- sabe,
faço três vezes a linha dois,

e a somo à linha um, e essa será

minha nova linha dois.

Você vai fazendo isso até
obter essas coisas aqui.

Então, elas são combinações
lineares

desses caras aqui.

Outra maneira de fazer isso, é reverter

essas operações.

Eu poderia começar com esses aqui.

E poderia facilmente realizar as operações
de linha reversa.

Qualquer operação linear pode ter
sua reversa efetuada.

Vimos isso muitas vezes.

Você pode realizar operações de linha
aqui para obter esse outro aqui.

Uma outra maneira de ver, é que esses
vetores aqui, esses vetores linha

aqui, abrangem todos estes-- ou todos
estes

vetores linha podem ser representados
como combinação linear

de suas linhas pivô aqui.

Obviamente, as linhas não pivô
serão zeros.

E esses são inúteis.

Mas suas linhas pivô, se fizer combinações
lineares delas, você pode

claramente fazer a forma escalonada
reversa e recuperar sua matriz.

Portanto, tudo isso aqui pode ser
representado como combinação

linear deles.

E todas esses elementos pivôs são por
definição - bom, quase que por

definição - elas são linearmente
independentes, certo?

Porque eu tenho um aqui.

E em nenhum outro lugar tem um.

Então esse aqui não pode ser representado
como uma

combinação linear de algum outro.

Então por que estou fazendo todo
esse exercício?

Bom, começamos dizendo que queríamos

uma base para o espaço linha.

Queremos um conjunto mínimo de vetores
linearmente independentes

que contém tudo o que esses
aqui contém.

Bem, se posso representar esses vetores
como

combinações lineares desses vetores
linha na forma escalonada reduzida

- ou essas linhas pivô na forma escalonada
reduzida- e todos

esses vetores forem linearmente
independentes, então eles são

uma base real.

Então essas linhas pivô aqui, essa
é uma delas, essa é uma segunda,

essa é a terceira, talvez sejam
somente essas três.

Este é um exemplo em particular.

Essa deve ser uma base apropriada
para o espaço linha.

Então deixe-me escrever isso.

As linhas pivô na forma escalonada
reduzida de A são uma

base para o espaço linha de A.

E o espaço linha de A é o mesmo que
o espaço coluna da transposta de A.

O espaço linha de A é o mesmo que

o espaço coluna da transposta.

Vimos isso várias vezes.

Agora, se quisermos saber a dimensão
do espaço coluna, temos que

contar quantas linhas pivô temos.

Apenas conte as linhas pivô.

Então a dimensão do espaço linha,
que é a mesma do espaço coluna

da transposta de A, será o número de
linhas pivô da forma escalonada

reduzida por linha.

Ou melhor ainda, o número de
elementos pivô

pois cada elemento pivô
tem uma linha pivô.

Então podemos escrever que o posto da
transposta de A é igual ao número de

elementos pivô de A em sua forma
escalonada reduzida por linha.

Certo?

Pois cada elemento pivô corresponde
a uma linha pivô.

Aquelas linhas pivô são uma base adequada
para todo o espaço linha, porque cada

linha pode ser escrita com uma

combinação linear desses vetores.

E como todos estes podem ser, tudo que
eles podem representar

estes podem representar também.

Justo.

Agora, o que é o posto de A?

Este é o posto da transposta de A com
o qual

estamos lidando até agora.

O posto de A é igual à dimensão
do espaço coluna de A.

Ou podemos dizer que é o número de vetores
na base para o espaço coluna de A.

Então se pegarmos a mesma matriz A
que usamos acima,

e escrevê-la como um monte de
vetores coluna: c1, c2 até cn.

Temos n colunas aqui.

O espaço coluna é essencialmente
o subespaço gerado por esses

caracteres aqui, certo?

Gerado por cada um desses vetores coluna.

Então o espaço coluna de A é igual
a c1, c2, até cn.

Essa a definição disso.

Mas queremos saber o número de
vetores da base.

E como vimos antes - fizemos isso
várias vezes - os vetores

da base apropriados poderiam ser...

Se você colocar isto na forma
escalonada reduzida, e tiver

alguns elementos pivô e suas
correspondentes colunas pivô,

então, alguns elementos pivô e suas

colunas correspondentes assim.

Talvez seja assim, e talvez este
não seja um,

e então esse é.

Então você tem um certo número de
colunas pivô.

Deixe-me usar outra cor aqui.

Quando você põe A na forma escalonada
reduzida, aprendemos

que os vetores base, ou as colunas base
que formam

uma base para o espaço coluna,
são as colunas que

correspondem às colunas
pivô.

Então, a primeira coluna aqui é uma
coluna pivô, este cara

poderia ser um vetor base.

A segunda coluna, então este
pode ser um vetor pivô.

Ou talvez o quarto aqui, este cara poderia

ser um vetor pivô.

Em geral, você diz: ei, se quiser contar

o número de vetores base-- você nem
precisamos saber

quais são para saber o posto.

Precisamos saber só quantos eles são.

Você diz, bem, para cada pivô coluna
aqui, temos

um vetor base ali.

Podemos então apenas contar o
número de colunas pivô.

Mas o número de colunas pivô é
equivalente

ao número de elementos pivô que temos.

Pois cada elemento pivô tem sua
própria coluna.

Então poderíamos dizer que o posto
de A é igual ao número

de elementos pivô na forma escalonada
reduzida de A.

E como você pode ver claramente,
essa coisa que deduzimos é

exatamente equivalente ao posto
da transposta de A--

a dimensão do espaço coluna

da transposta de A.

Ou a dimensão do espaço linha de A.

Então agora podemos escrever
nossa conclusão.

O posto de A é, definitivamente a mesma
coisa que o posto da transposta de A.

[legendado por: Laércio Junior]
[revisado por: José Irigon ]