Há alguns vídeos, eu afirmei que o posto de uma matriz A é igual ao posto da sua transposta. E usei um argumento meio impreciso. Foi no final do vídeo, e eu estava cansado. Foi na verdade no fim do dia. E eu pensei que valeria a pena passar isso a limpo, Pois é um resultado importante. Nos ajudará a entender um pouco melhor tudo que aprendemos. Então, vamos entender - vou começar com o posto da transposta de A. O posto da transposta de A é dimensão do espaço das colunas da transposta de A. Essa é a definição de posto. A dimensão do espaço das colunas da transposta de A é o número de vetores da base para o espaço das colunas da transposta de A. Isso é sua dimensão. Para qualquer subespaço, você calcula quantos vetores da base você precisa naquele subespaço, você os conta, e essa é a dimensão. Então, é o número de vetores da base para o espaço coluna da transposta de A, que é, claro, a mesma coisa. Isso que vimos várias vezes é o mesmo que o espaço linha de A. Certo? As colunas da transposta de A são as linhas de A. Porque você trocou as linhas pelas colunas. Agora, como podemos obter o número de vetores da base que precisamos para o espaço coluna da transposta de A, ou o espaço linha de A? Vamos ver o que nos diz o espaço coluna da transposta de A. Então, isso é equivalente a, digamos - deixe-me desenhar A assim... Essa é a matriz A. Digamos que seja uma matriz m por n. Deixe-me escrever isso como vetores linha. Poderia escrevê-la como vetores coluna, mas por hora vamos ficar com vetores linha. Então temos a linha um. A transposta de vetores coluna. Essa é a linha um, e teremos a linha dois, e vamos até a linha m. Certo? É uma matriz m por n. E cada um desses vetores são membros do rn, porque eles terão n elementos, pois temos n colunas. É assim que será a matriz A. A será assim. E então para transposta de A, todas essas linhas se transformarão em colunas. A transposta de A será assim: r1, r2, até rm. E essa será, claro, uma matriz n por m. Você troca estes. Então todas essas linhas serão colunas. Certo? E, obviamente, o espaço coluna - talvez não seja tão óbvio - o espaço coluna da transposta de A é igual ao espaço vetorial de r1, r2, até rm. Certo? É igual ao espaço vetorial disto. Ou, você poderia, de forma equivalente, dizer que é o espaço vetorial das linhas. Por isso que se chama espaço linha. Isto é igual ao espaço vetorial das linhas de A. As duas coisas são equivalentes. Agora, esses são espaços vetoriais. Significa que há algum subespaço, que é a combinação linear destas colunas ou todas as combinações lineares destas linhas. Se quisermos a base disso, queremos achar um conjunto mínimo de vetores linearmente independentes que poderíamos usar para construir qualquer dessas colunas. Ou que pudéssemos usar para construir qualquer dessas linhas. Agora, o que acontece quando nós colocamos A na forma escalonada reduzida por linha? Fazemos várias operações de linha para colocá-la na forma escalonada reduzida por linha. Certo? Faça várias operações de linha e no final terá algo parecido com isso. Você terá a forma escalonada reduzida de A. A forma escalonada reduzida por linhas de A se parecerá com algo assim. Você terá algumas linhas pivô, algumas linhas com elementos pivô. Digamos que essa é uma delas. Esta terá zeros até o final. Esta terá zeros. Seu elemento pivô tem que ser o único não nulo na coluna. E todo o resto à esquerda dele deve ser zero. Digamos que essa não seja. Há alguns valores diferentes de zero. Esses são zero. Temos uma outro elemento pivô aqui. Todo o resto é zero. Digamos que todo o resto não são elementos pivô. Você chega aqui e tem um certo número de linhas pivô, ou um certo número de elementos pivô, certo? E você chegou lá realizando operações lineares de linha nesses caras. Então aquelas operações lineares- sabe, faço três vezes a linha dois, e a somo à linha um, e essa será minha nova linha dois. Você vai fazendo isso até obter essas coisas aqui. Então, elas são combinações lineares desses caras aqui. Outra maneira de fazer isso, é reverter essas operações. Eu poderia começar com esses aqui. E poderia facilmente realizar as operações de linha reversa. Qualquer operação linear pode ter sua reversa efetuada. Vimos isso muitas vezes. Você pode realizar operações de linha aqui para obter esse outro aqui. Uma outra maneira de ver, é que esses vetores aqui, esses vetores linha aqui, abrangem todos estes-- ou todos estes vetores linha podem ser representados como combinação linear de suas linhas pivô aqui. Obviamente, as linhas não pivô serão zeros. E esses são inúteis. Mas suas linhas pivô, se fizer combinações lineares delas, você pode claramente fazer a forma escalonada reversa e recuperar sua matriz. Portanto, tudo isso aqui pode ser representado como combinação linear deles. E todas esses elementos pivôs são por definição - bom, quase que por definição - elas são linearmente independentes, certo? Porque eu tenho um aqui. E em nenhum outro lugar tem um. Então esse aqui não pode ser representado como uma combinação linear de algum outro. Então por que estou fazendo todo esse exercício? Bom, começamos dizendo que queríamos uma base para o espaço linha. Queremos um conjunto mínimo de vetores linearmente independentes que contém tudo o que esses aqui contém. Bem, se posso representar esses vetores como combinações lineares desses vetores linha na forma escalonada reduzida - ou essas linhas pivô na forma escalonada reduzida- e todos esses vetores forem linearmente independentes, então eles são uma base real. Então essas linhas pivô aqui, essa é uma delas, essa é uma segunda, essa é a terceira, talvez sejam somente essas três. Este é um exemplo em particular. Essa deve ser uma base apropriada para o espaço linha. Então deixe-me escrever isso. As linhas pivô na forma escalonada reduzida de A são uma base para o espaço linha de A. E o espaço linha de A é o mesmo que o espaço coluna da transposta de A. O espaço linha de A é o mesmo que o espaço coluna da transposta. Vimos isso várias vezes. Agora, se quisermos saber a dimensão do espaço coluna, temos que contar quantas linhas pivô temos. Apenas conte as linhas pivô. Então a dimensão do espaço linha, que é a mesma do espaço coluna da transposta de A, será o número de linhas pivô da forma escalonada reduzida por linha. Ou melhor ainda, o número de elementos pivô pois cada elemento pivô tem uma linha pivô. Então podemos escrever que o posto da transposta de A é igual ao número de elementos pivô de A em sua forma escalonada reduzida por linha. Certo? Pois cada elemento pivô corresponde a uma linha pivô. Aquelas linhas pivô são uma base adequada para todo o espaço linha, porque cada linha pode ser escrita com uma combinação linear desses vetores. E como todos estes podem ser, tudo que eles podem representar estes podem representar também. Justo. Agora, o que é o posto de A? Este é o posto da transposta de A com o qual estamos lidando até agora. O posto de A é igual à dimensão do espaço coluna de A. Ou podemos dizer que é o número de vetores na base para o espaço coluna de A. Então se pegarmos a mesma matriz A que usamos acima, e escrevê-la como um monte de vetores coluna: c1, c2 até cn. Temos n colunas aqui. O espaço coluna é essencialmente o subespaço gerado por esses caracteres aqui, certo? Gerado por cada um desses vetores coluna. Então o espaço coluna de A é igual a c1, c2, até cn. Essa a definição disso. Mas queremos saber o número de vetores da base. E como vimos antes - fizemos isso várias vezes - os vetores da base apropriados poderiam ser... Se você colocar isto na forma escalonada reduzida, e tiver alguns elementos pivô e suas correspondentes colunas pivô, então, alguns elementos pivô e suas colunas correspondentes assim. Talvez seja assim, e talvez este não seja um, e então esse é. Então você tem um certo número de colunas pivô. Deixe-me usar outra cor aqui. Quando você põe A na forma escalonada reduzida, aprendemos que os vetores base, ou as colunas base que formam uma base para o espaço coluna, são as colunas que correspondem às colunas pivô. Então, a primeira coluna aqui é uma coluna pivô, este cara poderia ser um vetor base. A segunda coluna, então este pode ser um vetor pivô. Ou talvez o quarto aqui, este cara poderia ser um vetor pivô. Em geral, você diz: ei, se quiser contar o número de vetores base-- você nem precisamos saber quais são para saber o posto. Precisamos saber só quantos eles são. Você diz, bem, para cada pivô coluna aqui, temos um vetor base ali. Podemos então apenas contar o número de colunas pivô. Mas o número de colunas pivô é equivalente ao número de elementos pivô que temos. Pois cada elemento pivô tem sua própria coluna. Então poderíamos dizer que o posto de A é igual ao número de elementos pivô na forma escalonada reduzida de A. E como você pode ver claramente, essa coisa que deduzimos é exatamente equivalente ao posto da transposta de A-- a dimensão do espaço coluna da transposta de A. Ou a dimensão do espaço linha de A. Então agora podemos escrever nossa conclusão. O posto de A é, definitivamente a mesma coisa que o posto da transposta de A. [legendado por: Laércio Junior] [revisado por: José Irigon ]