Die Magie der Fibonacci-Folge

Mathe ist logisch, funktional und einfach … fantastisch. Mathemagier Arthur Benjamin erkundet die verborgenen Eigenschaften dieser bizarren und wunderschönen Zahlenfolge, der Fibonacci-Folge. (Und es erinnert einen daran, dass auch Mathematik inspirierend sein kann!)

Warum lernen wir eigentlich Mathematik?

Eigentlich aus drei Gründen:

Berechnungen,

Anwendung

und zuletzt, und leider am wenigsten

– hinsichtlich der von uns investierten Zeit –

Inspiration.

Mathematik ist die Wissenschaft
von Mustern,

und wir erlernen sie, um zu lernen, logisch,

kritisch und kreativ zu denken,

aber ein Großteil der Mathematik,
die wir in der Schule lernen,

ist nicht effektiv motiviert,

und wenn unsere Schüler fragen:

"Warum lernen wir das?",

dann bekommen sie oft zu hören,
dass sie es

in einer weiterführenden Klasse
oder einem Test brauchen werden.

Aber wäre es nicht großartig,

wenn wir Mathematik hin und wieder
einfach machen würden,

weil es Spaß macht oder schön ist

oder weil es den Verstand stimuliert?

Ich weiß, dass viele Menschen

nicht die Gelegenheit hatten,
das selbst zu erleben,

also lassen Sie mich Ihnen
ein kurzes Beispiel geben

mit meiner bevorzugten Zahlenfolge,

den Fibonacci-Zahlen. (Applaus)

Ja! Es gibt schon Fibonacci-Fans hier.

Das ist großartig.

Nun diese Zahlen können
auf ganz unterschiedliche Weise

gewürdigt werden.

Vom Standpunkt der Berechnung

sind sie so einfach zu verstehen

wie eins und eins, gibt zwei.

Dann macht 1 und 2 drei

2 plus 3 ist 5, 3 plus 5 ist 8,

usw.

Die Person, die wir Fibonacci nennen,

hieß tatsächlich Leonardo von Pisa

und diese Zahlen tauchen
in seinem Buch "Liber Abaci" auf,

das der westlichen Welt

die arithmetischen Methoden beibrachte,
die wir heutzutage nutzen.

Hinsichtlich der Anwendungen

finden wir Fibonacci-Zahlen in der Natur

erstaunlich oft.

Die Anzahl der Blütenblätter

ist eine typische Fibonacci-Zahl,

oder die Anzahl von Spiralen
auf einer Sonnenblume,

oder einer Ananas

sind häufig ebenfalls Fibonacci-Zahlen.

Tatsächlich gibt es viel mehr
Anwendungsbereiche der Fibonacci-Folge,

aber am meisten inspirieren mich an ihnen

die schönen Zahlenmuster,
die sie aufweisen.

Lassen Sie mich Ihnen
einen meiner Favoriten zeigen.

Angenommen Sie mögen Quadratzahlen,

und ehrlich, wer mag sie nicht? (Lachen)

Betrachten wir die Quadratzahlen

der ersten paar Fibonacci-Zahlen.

Eins zum Quadrat ist also eins,

2 zum Quadrat ist 4,
3 zum Quadrat ist 9,

5 zum Quadrat ist 25, und so weiter.

Es ist also keine Überraschung,

dass wenn man aufeinanderfolgende
Fibonacci-Zahlen addiert,

die nächste Fibonacci-Zahl erhält.
Stimmt's?

So entstehen sie.

Aber man erwartet nicht,
dass etwas Besonderes passiert,

wenn man die Quadratzahlen addiert.

Aber schauen Sie sich das an.

1 und 1 gibt 2,

und 1 plus 4 gibt 5.

Und 4 plus 9 macht 13,

9 plus 25 gibt 34,

und das Muster setzt sich fort.

Es gibt auch noch ein weiteres.

Angenommen man würde gerne

die Quadratzahlen der ersten
paar Fibonacci-Zahlen addieren.

Schauen wir uns an, was wir erhalten.

Also ergibt 1 plus 1 plus 4 ist 6,

und plus 9 ergibt 15.

Addieren wir 25, erhalten wir 40.

Addieren wir 64, erhalten wir 104.

Schauen Sie nun diese Zahlen an.

Das sind keine Fibonacci-Zahlen,

aber wenn man sie genau betrachtet,

sehen sie die Fibonacci-Zahlen

in ihnen enthalten.

Sehen sie es? Ich zeige es Ihnen.

6 ist zweimal 3, 15 ist dreimal 5,

40 ist fünfmal 8,

2, 3, 5, 8, wem verdanken wir das?

(Gelächter)

Fibonacci! Natürlich.

So viel Spaß es auch macht,
diese Muster zu entdecken,

ist es sogar noch befriedigender
zu verstehen,

warum sie wahr sind.

Schauen wir uns die letzte Gleichung an.

Warum sollten die Potenzen
von 1, 1, 2, 3, 5 und 8

sich zu 8 mal 13 addieren?

Ich zeige Ihnen das
mit einem einfachen Bild.

Wir beginnen mit einem 1x1-Quadrat

und dann stellen wir ein
weiteres 1x1-Quadrat daneben.

Zusammen bilden sie ein 1x2-Rechteck.

Darunter setzen wir ein 2x2-Quadrat,

und daneben ein 3x3-Quadrat,

darunter ein 5x5-Quadrat,

und dann ein 8x8-Quadrat,

erschaffen ein riesiges Rechteck.
Stimmt's?

Lassen Sie mich Ihnen
eine einfache Frage stellen:

Was ist die Fläche des Rechtecks?

Einerseits

ist sie die Summe der Flächen

der Quadrate im Inneren. Stimmt's?

So wie wir sie gebildet haben.

Das ist 1² plus 1²

plus 2² plus 3²

plus 5² plus 8². Stimmt's?

Das ist die Fläche.

Da es ein Quadrat ist,
ist die Fläche einerseits

gleich Länge mal Breite,

und die Breite ist eindeutig 8,

und die Länge ist 5 plus 8,

welches die nächste Fibonacci-Zahl 13 ist.
Stimmt's?

Die Fläche ist also auch 8 mal 13.

Da wir die Fläche
auf zwei verschiedene Arten

korrekt berechnet haben,

müssen sie die gleiche Größe haben,

und daher addieren sich die Quadrate
von 1, 2, 3, 5 und 8

zu 8 mal 13.

Wenn man diesen Prozess fortsetzt,

erhält man Rechtecke von 13 mal 21,

21 mal 34, und so weiter.

Schauen Sie sich das an.

Wenn man 13 durch 8 teilt,

erhält man 1,625.

Wenn man die größere Zahl
durch die kleinere teilt,

nähert sich das Verhältnis

an ungefähr 1,618 an,

vielen Menschen
als Goldener Schnitt bekannt,

eine Zahl, die viele Mathematiker,

Wissenschaftler und Künstler
jahrhundertelang faszinierte.

Ich zeige Ihnen das alles,

denn wie bei vielem in der Mathematik

gibt es eine wunderschöne Seite,

die in unseren Schulen

nicht genug beachtet wird.

Wir verwenden viel Zeit damit,
etwas über Berechnungen zu lernen,

aber lassen Sie uns die Anwendung
nicht vergessen,

einschließlich der wichtigsten
Anwendungen von allen:

Zu lernen wie man denkt.

Könnte ich das in einem Satz
zusammenfassen,

wäre es dieser:

Mathematik bedeutet nicht nur
nach X aufzulösen,

es geht auch darum,
herauszufinden warum.

Vielen Dank.

(Applaus)