Kouzlo Fibonacciho posloupnosti

Matematika je logická, funkční a jednoduše...úchvatná. Matemág Arthur Benjamin zkoumá skryté vlastnosti této podivné a úžasné skupiny čísel, tzv. Fibonacciho posloupnosti. (A připomíná, že i matematika může být inspirující!)

Takže, proč se učíme matematiku?

V podstatě ze tří důvodů:

počítání,

použití,

a nakonec, bohužel nejméně používané

z hlediska toho, kolik času jí věnujeme,

inspirace.

Matematika je věda vzorců,

a studujeme ji, abychom se naučili myslet logicky,

kriticky a tvořivě,

ale příliš mnoho matematiky, kterou se ve škole učíme,

není účinně motivováno,

a když se naši studenti zeptají,

"Proč se to učíme?",

pak často slyší, že to budou potřebovat

v nadcházející hodině matematiky nebo na příštím testu.

Ale nebylo by to skvělé,

pokud bychom vždy jednou za čas dělali matematiku

jednoduše proto, že by to bylo zábavné nebo krásné

nebo proto, že by to probudilo mysl?

Vím, že mnoho lidí nemělo

příležitost vidět, jak k tomu může dojít,

dovolte mi tedy, abych vám dal rychlou ukázku

s mou oblíbenou sbírkou čísel,

Fibonacciho posloupností. (Potlesk)

Ano! Už tu mám Fibonacciho fanoušky.

To je super.

Tato čísla lze ocenit

mnoha různými způsoby.

Z hlediska výpočtu,

je tak snadné je pochopit,

jako že jedna plus jedna jsou dvě.

Pak jedna plus dvě jsou tři,

dva plus tři je pět, tři plus pět je osm,

a tak dále.

Ve skutečnosti se osoba, kterou nazýváme Fibonacci

jmenovala Leonardo z Pisy,

a tato čísla se objevují v jeho knize "Liber Abaci",

která naučila západní svět

metody aritmetiky, které dnes používáme.

Co se týče použití,

Fibonacciho posloupnost se vyskytuje v přírodě

překvapivě často.

Počet okvětních plátků květu

je obvykle Fibonacciho číslo,

nebo počet spirál na slunečnici

nebo na ananasu

bývá také Fibonacciho číslo.

Ve skutečnosti existuje mnohem více aplikací Fibonacciho posloupnosti,

ale co na nich shledávám nejvíce inspirující,

jsou krásné číselné vzory, které zobrazují.

Dovolte mi vám ukázat jeden z mých oblíbených.

Předpokládejme, že rádi umocňujete čísla,

a upřímně, kdo ne? (Smích)

Pojďme se podívat na mocniny

prvních několika Fibonacciho čísel.

Takže jedna na druhou je jedna,

dvě na druhou jsou čtyři, tři na druhou je devět,

pět na druhou je 25 a tak dále.

Nyní, není žádným překvapením,

že když sečtete po sobě jdoucí Fibonacciho čísla,

dostanete další Fibonacciho číslo. Že ano?

Takto jsou tvořena.

Ale nečekali byste, že se stane něco zvláštního,

když dáte mocniny dohromady.

Ale podívejte se na toto.

Jedna plus jedna nám dává dvě,

a jedna plus čtyři nám dává pět.

A čtyři plus devět je 13,

devět plus 25 je 34,

a ano, vzorec pokračuje.

Ve skutečnosti je tu další.

Předpokládejme, že jste se chtěli podívat na

přidání mocnin prvních několika Fibonacciho čísel.

Podívejme se, co tam dostaneme.

Takže jedna plus jedna plus čtyři je šest.

Přidejte k tomu devět, získáme 15.

Přidejte 25, dostaneme 40.

Přidejte 64, dostaneme 104.

Teď se na ta čísla podívejte.

Toto nejsou Fibonacciho čísla,

ale pokud se na ně podíváte pozorně,

uvidíte Fibonacciho čísla

pohřbena uvnitř.

Vidíte to? Ukážu vám to.

Šest je dva krát tři, 15 je třikrát pět,

40 je pětkrát osm,

dva, tři, pět, osm, komu děkujeme?

(Smích)

Fibonaccimu! Samozřejmě.

Stejně jako je zábavné objevovat tyto vzorce,

ještě více potěšující pochopit,

proč jsou pravdivé.

Pojďme se podívat na poslední rovnici.

Proč by mocniny jedné, jedné, dvou, tří, pěti a osmi

měly dávat součet osmkrát 13?

Ukážu vám to nakreslením jednoduchého obrázku.

Začneme se čtvercem jedenkrát jedna

a vedle něj dáme další čtverec jedenkrát jedna.

Dohromady tvoří jedenkrát dva obdélník.

Pod něj dám čtverec dvakrát dva

a vedle něj čtverec tři krát tři,

pod něj čtverec pět krát pět

a pak čtverec osm krát osm,

tím vytvořím jeden obří obdélník, je to tak?

Nyní mi dovolte položit vám jednoduchou otázku:

Jaká je plocha obdélníku?

No, na jedné straně

je to součet ploch

čtverců uvnitř to, že ano?

Právě tak, jak jsme je vytvořili.

Je to jedna na druhou plus jedna na druhou

plus dva na druhou plus tři na druhou

plus pět na druhou plus osm na druhou. Je to tak?

To je ta plocha.

Na druhou stranu, protože je to obdélník,

plocha se rovná jeho výšce krát základna,

a výška je jednoznačně osm,

a základna je pět plus osm,

což je další Fibonacciho číslo, 13. Že ano?

Takže plocha je také osm krát 13.

Jelikož jsme správně vypočetli plochu

dvěma různými způsoby,

musí být stejné číslo,

a právě proto mocniny jedné, jedné, dvou, tří, pěti a osmi

dávají součet osmkrát 13.

Nyní, pokud budeme v tomto procesu pokračovat,

vytvoříme obdélníky ve tvaru 13 krát 21,

21 krát 34 a tak dále.

Teď sledujte.

Pokud vydělíte 13 osmi,

dostanete 1.625.

A pokud vydělíte větší číslo menším číslem,

pak se tyto podíly dostávají blíž a blíž

ke zhruba 1.618,

známé mnoha lidem jako Zlatý řez,

číslo, které fascinuje mnoho matematiků,

vědců a umělců již po staletí.

Toto všechno vám ukazuji proto,

že stejně jako u velké části matematiky,

má i toto krásnou stránku,

u které se obávám, že se jí nedostává dostatečné pozornosti

v našich školách.

Trávíme spoustu času učením se počítat,

ale nezapomínejme na aplikaci,

včetně snad nejdůležitější aplikace ze všech,

naučit se, jak myslet.

Kdybych to měl shrnout v jedné větě,

zněla by takto:

Matematika není jen řešením pro x,

je také zjišťováním proč.

Mockrát vám děkuji.

(Potlesk)