Introduction to 3d graphs | Multivariable calculus | Khan Academy

Witam wszystkich.

Chciałbym tutaj przedstawić

w jaki sposób rozumiemy trójwymiarowe wykresy.

Trójwymiarowe wykresy są sposobem w jaki przedstawiamy

pewne rodzaje funkcji wielu zmiennych,

które mają dwa "wejścia"

albo raczej dwuwymiarowe wejście

i jednowymiarowe wyjście.

To, które tutaj zobrazowałem

to funkcja f zmiennych x i y równa się x do kwadratu plus y do kwadratu.

A zanim zajmiemy się tym wykresem,

myślę, że będzie dla nas bardzo pomocne jeśli

rzucimy okiem na wykresy dwuwymiarowe i

przypomnimy sobie o co w nich chodzi,

ponieważ praktycznie to samo

robimy w trzech wymiarach

wymaga to tylko lepszej wizualizacji.

Więc, dwuwymiarowe wykresy

przedstawiają pewną funkcję

niech to będzie na przykład f od x równe x do kwadratu,

a za każdym razem kiedy przedstawiasz funkcję, próbujesz

zrozumieć związek pomiędzy

jej danymi wejściowymi a wyjściowymi.

A są one tylko liczbami,

więc, wstaw dwa

i dostajesz cztery

wstaw minus jeden i dostajesz jeden.

Starasz się zrozumieć wszystkie możliwe

pary danych wejściowych i wyjściowych.

I fakt, że możemy to zrobić

że możemy intuicyjnie zrozumieć

każdą możliwą parę wejście-wyjście jest naprawdę niesamowite,

sposób w jaki przedstawiamy to na wykresie

jest nanoszenie tych par.

Więc nanosisz punkt, powiedzmy, że chcesz

przedstawić punkt (2,4), więc zaznaczasz na wykresie punkt

dwa tutaj, jeden, dwa, trzy, cztery,

więc chcesz zaznaczyć gdzieś tutaj (2,4),

i to przedstawia parę wejście-wyjście.

I jeśli zrobisz to, wiesz, z minus jeden, jeden

minus jeden, jeden

i jeśli zrobisz to dla każdej możliwej pary wejście-wyjście

dostaniesz, mogę narysować to niezbyt dobrze,

pewną regularną krzywą.

Jest tak, ponieważ zwykle myślimy o

liczbach na osi x jako o zmiennych wejściowych

wiesz, myślimy o jeden jako argumencie funkcji

a tu zmienna dwa i tak dalej,

a następnie bierzemy wartości funkcji jako wysokość

wykresu nad każdym punktem.

Lecz to jest konsekwencja tego

gdzie umieściliśmy wszystkie pary.

Teraz, gdy przejdziemy do świata funkcji wielu zmiennych

wiesz, nie pokażę wykresu od razu,

przyjmijmy, że mamy do dyspozycji trójwymiarową przestrzeń,

z którą możemy zrobić co tylko chcemy.

Wciąż chcemy zrozumieć związek pomiędzy

wejściem i wyjściem tego typka, lecz w tym przypadku

wejście jest czymś o czym myślimy jako o parze punktów,

na przykład para (1,2),

a wyście będzie równe

jeden do kwadratu plus dwa do kwadratu, a to równa się pięć.

Więc jak to przedstawimy?

Cóż, jeśli zestawimy to wszystko razem naturalne wydaje się

myślenie o tym jako o pewnej trójce danych.

W tym przypadku chcesz wstawić trójkę (1,2,5)

i by zrobić to w trzech wymiarach

spójrzmy, pójdziemy jeden

w kierunku osi x, tutaj jest oś x

więc przesuwamy się o jeden

i chcemy pójść o dwa w kierunku y

więc przesuwamy się o dwa w tym kierunku

a następnie pięć w górę,

i to daje nam pewien punkt, prawda?

Więc to jest pewien punkt w przestrzeni,

a to jest dana para wejście- wyjście.

Moglibyśmy to zrobić dla wielu

różnych punktów, które dostalibyśmy

jeśli zacząłbyś nanosić inne punkty

wyglądałoby to mniej więcej tak, oczywiście

istnieje nieskończenie wiele takich punktów i zajęłoby to wieczność

jeśli chciałbyś narysować je wszystkie w trójwymiarze,

lecz co jest naprawdę fajne, to to, że możemy pozbyć się

tych linii, jeśli wyobrazisz to sobie

dla wszystkich nieskończonych par zmiennych wejściowych,

które mógłbyś potencjalnie uzyskać, ostatecznie dostaniesz powierzchnię.

W tym przypadku powierzchnia wygląda jak

trójwymiarowa parabola, to nie przypadek

mamy do czynienia z faktem, że używamy

funkcji x kwadrat plus y kwadrat.

Teraz zmienne wejściowe (1,2) traktujemy jako leżące

na płaszczyźnie xy, prawda?

Więc zmienne wejściowe leżą tutaj,

a to co odpowiada wartościom funkcji jest

wysokość danego punktu nad tą płaszczyzną, tak?

Więc jest to bardzo podobne do 2D,

traktujemy zmienne wejściowe jako leżące na jednej osi

a wysokość to wartość funkcji.

Aby dać przykład

jakie są tego konsekwencje, chciałbym abyś zastanowił się

co stanie się jeśli zmienimy naszą funkcję wielu zmiennych

troszeczkę, i pomnożymy wszystko przez 0,5.

Więc rysuję tutaj na czerwono, powiedzmy, że mamy funkcję

ale zmieniam ją i mnożę 0,5

razy x do kwadratu plus y do kwadratu.

Jaki będzie kształt wykresu tej funkcji?

A to znaczy, że wysokość każdego punktu

nad płaszczyzną xy zmniejszy się o połowę.

To tylko modyfikacja

tego co mieliśmy do tej pory, ale wszystko

zjechało w dół i stało się połową tego czym było.

Więc tutaj, wysokość z pięć

zmieni się na 2,5.

Możesz sobie wyobrazić, powiedzmy, że zrobimy to,

nawet bardziej drastyczną modyfikację, zamiast przez 0,5

pomnożymy przez 1/12

użyję tego samego koloru, przez 1/12,

to oznacza, że wszystko

bardzo się spłaszczy i zbliży do płaszczyzny xy.

Tak więc wykres będący bardzo blisko płaszczyzny xy

odpowiada bardzo małym wartościom wyjściowym funkcji.

Bardzo chciałbym Cię przestrzec przed

bardzo kuszącą rzeczą, jaką jest

myślenie o każdej funkcji wielu zmiennych jako wykresie,

ponieważ przywykliśmy do rysowania w 2D

i przywykliśmy do szukania analogii

pomiędzy 2D i 3D bezpośrednio,

ale jedyny powód dla którego to działa

to taki, że jeśli weźmiesz dwa wymiary na wejściu funkcji

i jeden na wyjściu

to rozsądne

zrobić z nich trzy , co zrobiliśmy.

Lecz wyobraź sobie, że masz funkcję wielu zmiennych

z, powiedzmy, trójwymiarowym wejściem,

i dwuwymiarowe wyjście, które wymagać będzie

pięciowymiarowego układu współrzędnych, a nie jesteśmy zbyt dobrzy

na wizualizacji takich rzeczy.

Dlatego jest wiele innych metod, i uważam

że to bardzo ważne abyś otworzył na nie

swój umysł.

W szczególności, jedna którą mam zamiar niedługo przedstawić

pozwoli nam spojrzeć na wykresy trójwymiarowe, lecz

na dwuwymiarowym planie, i spojrzymy na

przestrzeń zmiennych wejściowych zwanych mapą konturową.

W innych, jak na przykład funkcje parametryczne,

spojrzysz na przestrzeń wartości wyjściowych:

w przestrzeni wektorowej

widzisz zmienne wejściowe ale uzyskujesz wszystkie wartości wyjściowe.

Istnieje mnóstwo innych sposobów, pokażę je

w kolejnych filmach.

I to są właśnie trójwymiarowe wykresy.