Kosinüs yasası

İki kenarı ve bir açısı bilinen üçgenin diğer kenarını kosinüs yasasıyla bulmak.

Bir önceki videoda elimizde bir

üçgenin kenarlarını bulmamızı isteyen bir soru vardı.

O üçgen bir dik üçgen olduğu için

Pisagor teoremini kullanarak

normal bir üçgeni çözermiş gibi çözdük.

O bir dik üçgen değildi.

Her neyse, SOHCAHTOA (sinüs, kosinüs ve tanjant fonksiyonları için bir kısaltma) ve

basit trigonometrik denklemler kullanarak işimizi hallettik

ve doğru cevabı bulduk.

Şimdi ise size kosinüs yasası

denen bir şeyi anlatacağım. İspatını

geçen videoda yapmıştık ama şimdi

işin içinde soru olmadan

size ispat etmek istiyorum. Bu yasayı bir kere

öğrenince geçmişte olduğu gibi her tür soruda

kullanabilir ve onu daha hızlı çözeblirsiniz.

Bu konu hakkındaki düşüncelerim biraz karmaşık çünkü

bir şeyleri ezberlemenin taraftarı değilim.

Yani 40 yaşındayken kosinüs

yasasını hatırlamayabilirsiniz ama

trigonometrik denklemlerle başlayıp

devam edebilirseniz her soru için hazır olacaksınızdır.

Ve 40 yaşınızda hala trigonometri sorusu

çözmenizden etkilenebilirim, kim bilir?

Şimdi bu kosinüs

yasasının ne işe yaradığını görelim.

Şimdi burada bildiğim bir teta açısı var.

Bu kenar a kenarı.

Hayır b kenarı olsun.

Bu kısım isteğime bağlı.

En iyisi kenarların renklerine göre yapayım.

Bu kenara b ve buna c diyelim,

bu da a olsun.

Bu bir dik üçgen olsaydı bir şekilde

Pisagor teoremini kullanabilirdik ama bu üçgen dik değil.

Peki şimdi ne yapmalıyız?

Diyelim ki b kenarını ve

c kenarını ve teta açısını biliyoruz, a'yı bulmak istiyoruz.

Kosinüs yasasını bilirseniz iki kenar ve bu kenarlar arasında

kalan açı verildiğinde üçüncü kenarı bulabilirsiniz.

Peki bunu nasıl yaparız?

Aynen önceki soruyu

yaptığımız gibi yapacağız.

Buraya bir çizgi çizebiliriz

- oo çok kötü oldu,

çizgi aracını kullandığımı düşünüyordum.

Düzenle, geri al.

İşte böyle bir çizgi çizebilirim.

Şimdi iki dik açım var.

Ve dik üçgenleri elde ettiğimde Pisagor teoremini

ve trigonometrik fonksiyonları kullanmaya başlayabilirim,

vesaire vesaire.

Bu bir dik açı, bu bir dik açı,

peki buradaki kenar ne?

Başka bir renk alayım.

Büyük ihtimalle işin içine çok fazla renk karıştı ama

bu sizin gelişmeniz için.

Şimdi, buradaki kenar ne?

Bu kenarın, mor kenarın uzunluğu ne?

Şimdi SOHCAHTOA'yı kullanıyoruz.

Buraya SOHCAHTOA yazacağım.

Bu mor kenar teta'ya komşu ve

bu mavi kenar b bu üçgenin hipotenüsü.

Biliyoruz ki - sadece 1 renk kullanacağım

çünkü öbür türlü renk değiştirene kadar çok zaman kaybederiz.

Teta'nın kosinüsü - bu kenara

bu kenara ne bileyim,

d diyelim, d kenarı.

cos(teta) = d/b, değil mi?

Ve b'yi biliyoruz.

Peki d ne?

d = b * cos(teta).

Bu kenara da e diyelim.

Peki e ne?

e eşittir c - bu ilgi çekici,

bütün c kenarı eksi d kenarı.

e = c - d.

d'yi çözmüştük, şimdi

e = c - b*cos(teta).

Yani bu e.

e'yi önümüzden çektik.

Peki bu pembe kenar ne olacak?

Bu kenara m kenarı diyelim.

m teta'nın karşısında.

Şimdi biliyoruz.

c'yi de çözmüştük ama b'yi de biliyoruz ve b daha kolay.

Peki hangi bağıntı bize m/b'yi verir?

Başka bir deyişle karşı kenar ve hipotenüs arasındaki bağıntıyı hangi fonksiyon verir.

Bu sinüs: karşı bölü hipotenüs.

Yani sin(teta) = m/b.

Biliyoruz ki - buraya geçeyim -

m/b, doğru, çünkü burası hipotenüs,

eşittir sin(teta), yani m = b*sin(teta).

Değil mi?

Şimdi m'yi ve e'yi bulmuş olduk.

a kenarını bulmak istiyoruz.

Bunu hemen farketmiş olmalısınız.

Elimizde bir dik üçgenin iki kenarı var.

Hipotenüsü bulmak istiyoruz.

Pisagor teoremini kullanabiliriz.

Pisagor teoremi bize diyor ki

a kare = m kare + e kare.

Diğer iki kenarın karesi.

Peki m kare + e kare nedir?

Bir başka renge geçeyim.

a kare = m kare, burada

m = b*sin(teta) olduğuna göre

(b*sin(teta)) kare + e kare.

e'yi de biliyoruz.

(c - b*cos(teta)) kare.

Şimdi biraz cebir yapalım.

Bu eşittir b kare*sin kare (teta).

sin kare (teta) demek

sin(teta)'nın karesi demek.

Ayrıca bunu foil'e göre açtık (foil çarpmanın toplama üzerinde dağılmasının sırasını belirten bir kısaltmadır),

foil kullanmayı sevmiyorum.

Direk çarpıyorum.

c kare - 2cbcos(teta) + b karecos(teta).

Değil mi?

Çarparak bunu genişlettim.

Şimdi neler yapabiliriz bir bakalım.

Bu iki terimi alırsak,

b kare*(sin kare (teta) + cos kare (teta)),

burada bir kare olmalı

çünkü karesini aldık.

Bu ifade

+ c kare - 2bc*cos(teta).

Peki bu neye sadeleşir?

Bu b kare çarpı

sin kare (teta) + cos kare (teta) ile aynı şey.

Bir şeyi farketmiş olmalısınız: + c kare

- 2bc*cos(teta)

Buraya bakalım, herhangi bir açının

sin kare'siyle cos kare'sinin toplamı 1'dir.

Daha önce öğrendiğimiz bir özdeşlik.

Burada da Pisagor özdeşliği var.

Yani bu = 1, elimizde

- eski renge dönüyorum -

Neredeyse bitti, a kare =

- buradaki terim 1 ediyor, yani sadece b kare -

Elimizde b kare + c kare

- 2bc*cos(teta) kaldı.

Baya iyi oldu, işte bu kosinüs yasası.

Çok kullanışlı çünkü artık bir üçgenin

iki kenarını ve bir açısını bildiğinizde

öbür kenarı da bulabileceksiniz.

Ya da bir üçgenin üç

kenarını da biliyorsanız herhangi bir açısını da bulabilirsiniz,

bu da baya işe yarar.

Eğer okulda trigonometri konusundaysanız ve

yakında bu konudan bir testiniz veya sınavınız varsa

bu yasayı ezberleseniz iyi olur çünkü

sizi baya hızlandırır ve

çabucak cevabı buldurur.

Yine de nereden geldiğini bilmeden sadece

ezberleyerek bunu öğrenmenizi istemiyorum çünkü

1-2 yıl sonra liseye gittiğinizde ve trigonometri almanızın üstünden

4 yıl geçtikten sonra bunu hala hatırlıyor olmayacaksınız.

Bir anda bir trigonometri sorusuyla karşılaşınca

sıfırdan başlamayı bilmek iyi olacaktır.

Kosinüs yasasını baştan bilseydiniz

a'yı çok daha hızlı bulurduk çünkü

tek yapmanız gereken üçgeni kurmak

ve gereken şeyleri formülde yerin

koymaktı ve soruyu böylece anında çözebilirdiniz.

Bir sonraki videoda görüşmek üzere.