Bir önceki videoda elimizde bir
üçgenin kenarlarını bulmamızı isteyen bir soru vardı.
O üçgen bir dik üçgen olduğu için
Pisagor teoremini kullanarak
normal bir üçgeni çözermiş gibi çözdük.
O bir dik üçgen değildi.
Her neyse, SOHCAHTOA (sinüs, kosinüs ve tanjant fonksiyonları için bir kısaltma) ve
basit trigonometrik denklemler kullanarak işimizi hallettik
ve doğru cevabı bulduk.
Şimdi ise size kosinüs yasası
denen bir şeyi anlatacağım. İspatını
geçen videoda yapmıştık ama şimdi
işin içinde soru olmadan
size ispat etmek istiyorum. Bu yasayı bir kere
öğrenince geçmişte olduğu gibi her tür soruda
kullanabilir ve onu daha hızlı çözeblirsiniz.
Bu konu hakkındaki düşüncelerim biraz karmaşık çünkü
bir şeyleri ezberlemenin taraftarı değilim.
Yani 40 yaşındayken kosinüs
yasasını hatırlamayabilirsiniz ama
trigonometrik denklemlerle başlayıp
devam edebilirseniz her soru için hazır olacaksınızdır.
Ve 40 yaşınızda hala trigonometri sorusu
çözmenizden etkilenebilirim, kim bilir?
Şimdi bu kosinüs
yasasının ne işe yaradığını görelim.
Şimdi burada bildiğim bir teta açısı var.
Bu kenar a kenarı.
Hayır b kenarı olsun.
Bu kısım isteğime bağlı.
En iyisi kenarların renklerine göre yapayım.
Bu kenara b ve buna c diyelim,
bu da a olsun.
Bu bir dik üçgen olsaydı bir şekilde
Pisagor teoremini kullanabilirdik ama bu üçgen dik değil.
Peki şimdi ne yapmalıyız?
Diyelim ki b kenarını ve
c kenarını ve teta açısını biliyoruz, a'yı bulmak istiyoruz.
Kosinüs yasasını bilirseniz iki kenar ve bu kenarlar arasında
kalan açı verildiğinde üçüncü kenarı bulabilirsiniz.
Peki bunu nasıl yaparız?
Aynen önceki soruyu
yaptığımız gibi yapacağız.
Buraya bir çizgi çizebiliriz
- oo çok kötü oldu,
çizgi aracını kullandığımı düşünüyordum.
Düzenle, geri al.
İşte böyle bir çizgi çizebilirim.
Şimdi iki dik açım var.
Ve dik üçgenleri elde ettiğimde Pisagor teoremini
ve trigonometrik fonksiyonları kullanmaya başlayabilirim,
vesaire vesaire.
Bu bir dik açı, bu bir dik açı,
peki buradaki kenar ne?
Başka bir renk alayım.
Büyük ihtimalle işin içine çok fazla renk karıştı ama
bu sizin gelişmeniz için.
Şimdi, buradaki kenar ne?
Bu kenarın, mor kenarın uzunluğu ne?
Şimdi SOHCAHTOA'yı kullanıyoruz.
Buraya SOHCAHTOA yazacağım.
Bu mor kenar teta'ya komşu ve
bu mavi kenar b bu üçgenin hipotenüsü.
Biliyoruz ki - sadece 1 renk kullanacağım
çünkü öbür türlü renk değiştirene kadar çok zaman kaybederiz.
Teta'nın kosinüsü - bu kenara
bu kenara ne bileyim,
d diyelim, d kenarı.
cos(teta) = d/b, değil mi?
Ve b'yi biliyoruz.
Peki d ne?
d = b * cos(teta).
Bu kenara da e diyelim.
Peki e ne?
e eşittir c - bu ilgi çekici,
bütün c kenarı eksi d kenarı.
e = c - d.
d'yi çözmüştük, şimdi
e = c - b*cos(teta).
Yani bu e.
e'yi önümüzden çektik.
Peki bu pembe kenar ne olacak?
Bu kenara m kenarı diyelim.
m teta'nın karşısında.
Şimdi biliyoruz.
c'yi de çözmüştük ama b'yi de biliyoruz ve b daha kolay.
Peki hangi bağıntı bize m/b'yi verir?
Başka bir deyişle karşı kenar ve hipotenüs arasındaki bağıntıyı hangi fonksiyon verir.
Bu sinüs: karşı bölü hipotenüs.
Yani sin(teta) = m/b.
Biliyoruz ki - buraya geçeyim -
m/b, doğru, çünkü burası hipotenüs,
eşittir sin(teta), yani m = b*sin(teta).
Değil mi?
Şimdi m'yi ve e'yi bulmuş olduk.
a kenarını bulmak istiyoruz.
Bunu hemen farketmiş olmalısınız.
Elimizde bir dik üçgenin iki kenarı var.
Hipotenüsü bulmak istiyoruz.
Pisagor teoremini kullanabiliriz.
Pisagor teoremi bize diyor ki
a kare = m kare + e kare.
Diğer iki kenarın karesi.
Peki m kare + e kare nedir?
Bir başka renge geçeyim.
a kare = m kare, burada
m = b*sin(teta) olduğuna göre
(b*sin(teta)) kare + e kare.
e'yi de biliyoruz.
(c - b*cos(teta)) kare.
Şimdi biraz cebir yapalım.
Bu eşittir b kare*sin kare (teta).
sin kare (teta) demek
sin(teta)'nın karesi demek.
Ayrıca bunu foil'e göre açtık (foil çarpmanın toplama üzerinde dağılmasının sırasını belirten bir kısaltmadır),
foil kullanmayı sevmiyorum.
Direk çarpıyorum.
c kare - 2cbcos(teta) + b karecos(teta).
Değil mi?
Çarparak bunu genişlettim.
Şimdi neler yapabiliriz bir bakalım.
Bu iki terimi alırsak,
b kare*(sin kare (teta) + cos kare (teta)),
burada bir kare olmalı
çünkü karesini aldık.
Bu ifade
+ c kare - 2bc*cos(teta).
Peki bu neye sadeleşir?
Bu b kare çarpı
sin kare (teta) + cos kare (teta) ile aynı şey.
Bir şeyi farketmiş olmalısınız: + c kare
- 2bc*cos(teta)
Buraya bakalım, herhangi bir açının
sin kare'siyle cos kare'sinin toplamı 1'dir.
Daha önce öğrendiğimiz bir özdeşlik.
Burada da Pisagor özdeşliği var.
Yani bu = 1, elimizde
- eski renge dönüyorum -
Neredeyse bitti, a kare =
- buradaki terim 1 ediyor, yani sadece b kare -
Elimizde b kare + c kare
- 2bc*cos(teta) kaldı.
Baya iyi oldu, işte bu kosinüs yasası.
Çok kullanışlı çünkü artık bir üçgenin
iki kenarını ve bir açısını bildiğinizde
öbür kenarı da bulabileceksiniz.
Ya da bir üçgenin üç
kenarını da biliyorsanız herhangi bir açısını da bulabilirsiniz,
bu da baya işe yarar.
Eğer okulda trigonometri konusundaysanız ve
yakında bu konudan bir testiniz veya sınavınız varsa
bu yasayı ezberleseniz iyi olur çünkü
sizi baya hızlandırır ve
çabucak cevabı buldurur.
Yine de nereden geldiğini bilmeden sadece
ezberleyerek bunu öğrenmenizi istemiyorum çünkü
1-2 yıl sonra liseye gittiğinizde ve trigonometri almanızın üstünden
4 yıl geçtikten sonra bunu hala hatırlıyor olmayacaksınız.
Bir anda bir trigonometri sorusuyla karşılaşınca
sıfırdan başlamayı bilmek iyi olacaktır.
Kosinüs yasasını baştan bilseydiniz
a'yı çok daha hızlı bulurduk çünkü
tek yapmanız gereken üçgeni kurmak
ve gereken şeyleri formülde yerin
koymaktı ve soruyu böylece anında çözebilirdiniz.
Bir sonraki videoda görüşmek üzere.