Law of cosines

Introduction to the law of cosines to solve for a side of a triangle when 2 sides and an angle are known.

На прошлом уроке мы решали задачу, в которой,

по сути, нам нужно было найти стороны треугольника,

т.к. это был не прямоугольный

а обычный треугольник.

и элементарные тригонометрические функции

тогда мы и получили правильный ответ.

Сейчас я хочу ознакомить вас с теоремой косинусов,

которую мы, по сути, проверили на прошлом уроке,

но я хочу ее доказать,

а также хочу показать, что раз вы знаете теорему косинусов,

У меня неоднозначное мнение по этому поводу -

я не сторонник запоминания.

вы все еще занимаетесь тригонометрией, но кто знает…

Итак, начнем. И посмотрим, о чем говорит нам

теорема косинусов.

Предположим, я знаю этот угол θ.

Назовем эту сторону b, эту – с,

а эту сторону назовем а.

Был бы это прямоугольный треугольник, мы могли бы использовать

теорему Пифагора, но сейчас не можем.

Тогда что мы делаем?

Итак, мы знаем… предположим, что знаем сторону b,

знаем сторону с, знаем угол θ, и хотим найти сторону а.

Вообще, если вы знаете три значения из этих четырех и теорему косинусов,

то при помощи несложных расчетов сможете найти 4-е.

Как мы можем это сделать?

Я думал, что использую инструмент линии.

Редактировать, отменить.

Итак, я могу провести вот такую линию.

Теперь у меня 2 прямых угла.

И если есть прямые углы, то теперь можно начать

Выберу другой цвет.

(или лиловая) сторона b является гипотенузой этого прямоугольного треугольника.

Итак, мы знаем, что… Выберу для себя один цвет,

потому что так буду менять цвета до бесконечности.

назовем эту сторону, типа под-стороны, ну, не знаю –

давайте назовем ее d.

Мы знаем, что cos θ = d / b, так?

Чему равно е?

е равно – вся сторона с минус эта сторона d, так?

Т.е. е = с - d.

Поэтому e = c – b cosθ

Это сторона е.

Мы нашли сторону е.

А чему будет равна вот эта сторона?

Давайте назовем ее m.

Итак, мы знаем, что sin θ = m / b.

Напишу здесь.

m / b, правильно, т.к. это гипотенуза, равно

Правильно?

Мы знаем две стороны прямоугольного треугольника.

И хотим найти гипотенузу.

По теореме Пифагора, а² = m² + e²

Всего лишь сумма квадратов двух других сторон.

Чему равно m² + e²?

Для разнообразия выберу другой цвет.

а² = m² …

Поэтому а² = (b sin θ)² + e²

Сторону е мы вычислили – вот она.

Поэтому + (с – b cos θ)2

Итак, это равно b sin… b² sin²θ…

sin²θ – то же,

что и (sin θ)², правильно?

Плюс… а это мы уже расписали подробно, хотя

Просто перемножу эти значения.

с² – 2cb cos θ + b² cos θ

Верно?

Я раскрыла скобки, перемножив значения.

Теперь посмотрим, можем ли мы сделать что-то интересное.

равны b² sin²θ + b² cos…

здесь, конечно, должен быть в квадрате,

т.к. мы его возвели в квадрат.

b² cos²θ и плюс еще

с² - 2bc cos θ.

Это то же, что и b²(sin²θ + cos²θ).

Это что-то вам должно напомнить…

+ с² - 2bc cos θ

Вот это, sin² + cos²

Это одно из первых тождеств.

Тождество Пифагора.

a² равно…

Это становится 1, и остается b²

+ c²

– 2bc cos θ.

Выглядит отлично, и называется это теоремой косинусов.

найти третью его сторону.

Единственная причина, по которой я провел этот урок:

если вы занимаетесь тригонометрией и, возможно,

вам придется сдавать тест, то не мешало бы вам это выучить

это упростит вам задачу,

и вы быстрее получите ответ.

Я не сторонник того, чтобы это заучивать, не зная,

когда вы поступите в университет и пройдет 4 года с тех пор,

А если вдруг вам попадется задача по тригонометрии,

хорошо, если вы ее решите «с нуля».

Итак, это теорема косинусов, и если бы вы ее использовали,

чтобы подставить их в эту формулу;

тогда бы вы и нашли а в той «задаче отклонения корабля от курса».