WEBVTT 00:00:01.230 --> 00:00:04.850 На прошлом уроке мы решали задачу, в которой, 00:00:04.850 --> 00:00:07.130 по сути, нам нужно было найти стороны треугольника, 00:00:07.130 --> 00:00:08.650 00:00:08.650 --> 00:00:11.540 т.к. это был не прямоугольный 00:00:11.540 --> 00:00:13.220 а обычный треугольник. 00:00:13.220 --> 00:00:14.610 00:00:17.460 --> 00:00:20.360 и элементарные тригонометрические функции 00:00:20.360 --> 00:00:21.480 тогда мы и получили правильный ответ. 00:00:21.480 --> 00:00:23.300 Сейчас я хочу ознакомить вас с теоремой косинусов, 00:00:23.300 --> 00:00:26.850 которую мы, по сути, проверили на прошлом уроке, 00:00:26.850 --> 00:00:29.100 но я хочу ее доказать, 00:00:31.360 --> 00:00:33.600 а также хочу показать, что раз вы знаете теорему косинусов, 00:00:37.480 --> 00:00:41.480 У меня неоднозначное мнение по этому поводу - 00:00:41.480 --> 00:00:43.010 я не сторонник запоминания. 00:00:55.090 --> 00:00:56.560 вы все еще занимаетесь тригонометрией, но кто знает… 00:00:56.560 --> 00:00:58.980 Итак, начнем. И посмотрим, о чем говорит нам 00:00:58.980 --> 00:01:00.300 теорема косинусов. 00:01:00.300 --> 00:01:03.700 Предположим, я знаю этот угол θ. 00:01:21.640 --> 00:01:28.030 Назовем эту сторону b, эту – с, 00:01:28.030 --> 00:01:31.150 а эту сторону назовем а. 00:01:31.150 --> 00:01:33.080 Был бы это прямоугольный треугольник, мы могли бы использовать 00:01:33.080 --> 00:01:37.630 теорему Пифагора, но сейчас не можем. 00:01:37.630 --> 00:01:38.310 Тогда что мы делаем? 00:01:38.310 --> 00:01:42.490 Итак, мы знаем… предположим, что знаем сторону b, 00:01:42.490 --> 00:01:45.120 знаем сторону с, знаем угол θ, и хотим найти сторону а. 00:01:45.120 --> 00:01:49.130 Вообще, если вы знаете три значения из этих четырех и теорему косинусов, 00:01:49.130 --> 00:01:51.560 то при помощи несложных расчетов сможете найти 4-е. 00:01:51.560 --> 00:01:52.610 Как мы можем это сделать? 00:02:02.210 --> 00:02:04.420 Я думал, что использую инструмент линии. 00:02:04.420 --> 00:02:05.165 Редактировать, отменить. 00:02:08.380 --> 00:02:11.320 Итак, я могу провести вот такую линию. 00:02:11.320 --> 00:02:14.150 Теперь у меня 2 прямых угла. 00:02:14.150 --> 00:02:16.220 И если есть прямые углы, то теперь можно начать 00:02:29.750 --> 00:02:30.770 Выберу другой цвет. 00:02:44.700 --> 00:02:46.605 00:02:56.700 --> 00:03:03.910 (или лиловая) сторона b является гипотенузой этого прямоугольного треугольника. 00:03:03.910 --> 00:03:06.140 Итак, мы знаем, что… Выберу для себя один цвет, 00:03:06.140 --> 00:03:08.760 потому что так буду менять цвета до бесконечности. 00:03:13.790 --> 00:03:16.660 назовем эту сторону, типа под-стороны, ну, не знаю – 00:03:16.660 --> 00:03:21.200 давайте назовем ее d. 00:03:21.200 --> 00:03:27.850 Мы знаем, что cos θ = d / b, так? 00:03:48.810 --> 00:03:52.340 Чему равно е? 00:03:52.340 --> 00:03:56.780 е равно – вся сторона с минус эта сторона d, так? 00:03:56.780 --> 00:04:02.630 Т.е. е = с - d. 00:04:02.630 --> 00:04:09.320 Поэтому e = c – b cosθ 00:04:14.800 --> 00:04:15.590 Это сторона е. 00:04:15.590 --> 00:04:18.900 Мы нашли сторону е. 00:04:18.900 --> 00:04:21.340 А чему будет равна вот эта сторона? 00:04:21.340 --> 00:04:23.690 Давайте назовем ее m. 00:04:45.110 --> 00:04:49.670 Итак, мы знаем, что sin θ = m / b. 00:04:49.670 --> 00:04:52.520 Напишу здесь. 00:04:52.520 --> 00:04:57.180 m / b, правильно, т.к. это гипотенуза, равно 00:05:08.550 --> 00:05:10.500 Правильно? 00:05:16.070 --> 00:05:17.960 Мы знаем две стороны прямоугольного треугольника. 00:05:17.960 --> 00:05:19.750 И хотим найти гипотенузу. 00:05:22.410 --> 00:05:28.490 По теореме Пифагора, а² = m² + e² 00:05:28.490 --> 00:05:31.510 00:05:31.510 --> 00:05:33.660 Всего лишь сумма квадратов двух других сторон. 00:05:33.660 --> 00:05:35.920 Чему равно m² + e²? 00:05:35.920 --> 00:05:38.970 Для разнообразия выберу другой цвет. 00:05:38.970 --> 00:05:42.360 а² = m² … 00:05:44.030 --> 00:05:53.590 Поэтому а² = (b sin θ)² + e² 00:05:53.590 --> 00:05:55.790 Сторону е мы вычислили – вот она. 00:05:55.790 --> 00:06:02.820 Поэтому + (с – b cos θ)2 00:06:04.940 --> 00:06:13.090 Итак, это равно b sin… b² sin²θ… 00:06:13.090 --> 00:06:13.970 sin²θ – то же, 00:06:13.970 --> 00:06:15.480 что и (sin θ)², правильно? 00:06:15.480 --> 00:06:17.700 Плюс… а это мы уже расписали подробно, хотя 00:06:18.420 --> 00:06:20.620 Просто перемножу эти значения. 00:06:20.620 --> 00:06:33.810 с² – 2cb cos θ + b² cos θ 00:06:33.810 --> 00:06:35.420 Верно? 00:06:35.420 --> 00:06:38.490 Я раскрыла скобки, перемножив значения. 00:06:38.490 --> 00:06:40.310 Теперь посмотрим, можем ли мы сделать что-то интересное. 00:06:46.780 --> 00:06:54.360 равны b² sin²θ + b² cos… 00:06:54.360 --> 00:06:57.110 здесь, конечно, должен быть в квадрате, 00:06:57.110 --> 00:06:58.350 т.к. мы его возвели в квадрат. 00:06:58.350 --> 00:07:03.780 b² cos²θ и плюс еще 00:07:03.780 --> 00:07:10.350 с² - 2bc cos θ. 00:07:12.470 --> 00:07:17.735 Это то же, что и b²(sin²θ + cos²θ). 00:07:17.735 --> 00:07:22.470 00:07:22.470 --> 00:07:27.420 Это что-то вам должно напомнить… 00:07:27.420 --> 00:07:33.330 + с² - 2bc cos θ 00:07:33.330 --> 00:07:36.170 Вот это, sin² + cos² 00:07:37.910 --> 00:07:40.010 Это одно из первых тождеств. 00:07:40.010 --> 00:07:41.930 Тождество Пифагора. 00:07:48.970 --> 00:07:56.230 a² равно… 00:07:56.230 --> 00:07:58.020 Это становится 1, и остается b² 00:07:58.020 --> 00:08:07.160 + c² 00:08:07.160 --> 00:08:16.330 – 2bc cos θ. 00:08:16.330 --> 00:08:20.940 Выглядит отлично, и называется это теоремой косинусов. 00:08:28.460 --> 00:08:31.930 найти третью его сторону. 00:08:39.780 --> 00:08:42.150 Единственная причина, по которой я провел этот урок: 00:08:42.150 --> 00:08:46.050 если вы занимаетесь тригонометрией и, возможно, 00:08:46.050 --> 00:08:48.590 вам придется сдавать тест, то не мешало бы вам это выучить 00:08:48.590 --> 00:08:50.490 это упростит вам задачу, 00:08:50.490 --> 00:08:51.650 и вы быстрее получите ответ. 00:08:51.650 --> 00:08:55.310 Я не сторонник того, чтобы это заучивать, не зная, 00:08:58.600 --> 00:09:01.530 когда вы поступите в университет и пройдет 4 года с тех пор, 00:09:05.040 --> 00:09:06.990 А если вдруг вам попадется задача по тригонометрии, 00:09:06.990 --> 00:09:09.030 хорошо, если вы ее решите «с нуля». 00:09:09.030 --> 00:09:11.820 Итак, это теорема косинусов, и если бы вы ее использовали, 00:09:14.450 --> 00:09:17.070 00:09:17.070 --> 00:09:19.620 чтобы подставить их в эту формулу; 00:09:19.620 --> 00:09:23.600 тогда бы вы и нашли а в той «задаче отклонения корабля от курса».