1
00:00:01,230 --> 00:00:04,850
На прошлом уроке мы решали задачу, в которой,

2
00:00:04,850 --> 00:00:07,130
по сути, нам нужно было найти стороны треугольника,

3
00:00:07,130 --> 00:00:08,650


4
00:00:08,650 --> 00:00:11,540
т.к. это был не прямоугольный

5
00:00:11,540 --> 00:00:13,220
а обычный треугольник.

6
00:00:13,220 --> 00:00:14,610


7
00:00:17,460 --> 00:00:20,360
и элементарные тригонометрические функции

8
00:00:20,360 --> 00:00:21,480
тогда мы и получили правильный ответ.

9
00:00:21,480 --> 00:00:23,300
Сейчас я хочу ознакомить вас с теоремой косинусов,

10
00:00:23,300 --> 00:00:26,850
которую мы, по сути, проверили на прошлом уроке,

11
00:00:26,850 --> 00:00:29,100
но я хочу ее доказать,

12
00:00:31,360 --> 00:00:33,600
а также хочу показать, что раз вы знаете теорему косинусов,

13
00:00:37,480 --> 00:00:41,480
У меня неоднозначное мнение по этому поводу -

14
00:00:41,480 --> 00:00:43,010
я не сторонник запоминания.

15
00:00:55,090 --> 00:00:56,560
вы все еще занимаетесь тригонометрией, но кто знает…

16
00:00:56,560 --> 00:00:58,980
Итак, начнем. И посмотрим, о чем говорит нам

17
00:00:58,980 --> 00:01:00,300
теорема косинусов.

18
00:01:00,300 --> 00:01:03,700
Предположим, я знаю этот угол θ.

19
00:01:21,640 --> 00:01:28,030
Назовем эту сторону b, эту – с,

20
00:01:28,030 --> 00:01:31,150
а эту сторону назовем а.

21
00:01:31,150 --> 00:01:33,080
Был бы это прямоугольный треугольник, мы могли бы использовать

22
00:01:33,080 --> 00:01:37,630
теорему Пифагора, но сейчас не можем.

23
00:01:37,630 --> 00:01:38,310
Тогда что мы делаем?

24
00:01:38,310 --> 00:01:42,490
Итак, мы знаем… предположим, что знаем сторону b,

25
00:01:42,490 --> 00:01:45,120
знаем сторону с, знаем угол θ, и хотим найти сторону а.

26
00:01:45,120 --> 00:01:49,130
Вообще, если вы знаете три значения из этих четырех и теорему косинусов,

27
00:01:49,130 --> 00:01:51,560
то при помощи несложных расчетов сможете найти 4-е.

28
00:01:51,560 --> 00:01:52,610
Как мы можем это сделать?

29
00:02:02,210 --> 00:02:04,420
Я думал, что использую инструмент линии.

30
00:02:04,420 --> 00:02:05,165
Редактировать, отменить.

31
00:02:08,380 --> 00:02:11,320
Итак, я могу провести вот такую линию.

32
00:02:11,320 --> 00:02:14,150
Теперь у меня 2 прямых угла.

33
00:02:14,150 --> 00:02:16,220
И если есть прямые углы, то теперь можно начать

34
00:02:29,750 --> 00:02:30,770
Выберу другой цвет.

35
00:02:44,700 --> 00:02:46,605


36
00:02:56,700 --> 00:03:03,910
(или лиловая) сторона b является гипотенузой этого прямоугольного треугольника.

37
00:03:03,910 --> 00:03:06,140
Итак, мы знаем, что… Выберу для себя один цвет,

38
00:03:06,140 --> 00:03:08,760
потому что так буду менять цвета до бесконечности.

39
00:03:13,790 --> 00:03:16,660
назовем эту сторону, типа под-стороны, ну, не знаю –

40
00:03:16,660 --> 00:03:21,200
давайте назовем ее d.

41
00:03:21,200 --> 00:03:27,850
Мы знаем, что cos θ = d / b, так?

42
00:03:48,810 --> 00:03:52,340
Чему равно е?

43
00:03:52,340 --> 00:03:56,780
е равно – вся сторона с минус эта сторона d, так?

44
00:03:56,780 --> 00:04:02,630
Т.е. е = с - d.

45
00:04:02,630 --> 00:04:09,320
Поэтому e = c – b cosθ

46
00:04:14,800 --> 00:04:15,590
Это сторона е.

47
00:04:15,590 --> 00:04:18,900
Мы нашли сторону е.

48
00:04:18,900 --> 00:04:21,340
А чему будет равна вот эта сторона?

49
00:04:21,340 --> 00:04:23,690
Давайте назовем ее m.

50
00:04:45,110 --> 00:04:49,670
Итак, мы знаем, что sin θ = m / b.

51
00:04:49,670 --> 00:04:52,520
Напишу здесь.

52
00:04:52,520 --> 00:04:57,180
m / b, правильно, т.к. это гипотенуза, равно

53
00:05:08,550 --> 00:05:10,500
Правильно?

54
00:05:16,070 --> 00:05:17,960
Мы знаем две стороны прямоугольного треугольника.

55
00:05:17,960 --> 00:05:19,750
И хотим найти гипотенузу.

56
00:05:22,410 --> 00:05:28,490
По теореме Пифагора, а² = m² + e²

57
00:05:28,490 --> 00:05:31,510


58
00:05:31,510 --> 00:05:33,660
Всего лишь сумма квадратов двух других сторон.

59
00:05:33,660 --> 00:05:35,920
Чему равно m² + e²?

60
00:05:35,920 --> 00:05:38,970
Для разнообразия выберу другой цвет.

61
00:05:38,970 --> 00:05:42,360
а² = m² …

62
00:05:44,030 --> 00:05:53,590
Поэтому а² = (b sin θ)² + e²

63
00:05:53,590 --> 00:05:55,790
Сторону е мы вычислили – вот она.

64
00:05:55,790 --> 00:06:02,820
Поэтому + (с – b cos θ)2

65
00:06:04,940 --> 00:06:13,090
Итак, это равно b sin… b² sin²θ…

66
00:06:13,090 --> 00:06:13,970
sin²θ – то же,

67
00:06:13,970 --> 00:06:15,480
что и (sin θ)², правильно?

68
00:06:15,480 --> 00:06:17,700
Плюс… а это мы уже расписали подробно, хотя

69
00:06:18,420 --> 00:06:20,620
Просто перемножу эти значения.

70
00:06:20,620 --> 00:06:33,810
с² – 2cb cos θ + b² cos θ

71
00:06:33,810 --> 00:06:35,420
Верно?

72
00:06:35,420 --> 00:06:38,490
Я раскрыла скобки, перемножив значения.

73
00:06:38,490 --> 00:06:40,310
Теперь посмотрим, можем ли мы сделать что-то интересное.

74
00:06:46,780 --> 00:06:54,360
равны b² sin²θ + b² cos…

75
00:06:54,360 --> 00:06:57,110
здесь, конечно, должен быть в квадрате,

76
00:06:57,110 --> 00:06:58,350
т.к. мы его возвели в квадрат.

77
00:06:58,350 --> 00:07:03,780
b² cos²θ и плюс еще

78
00:07:03,780 --> 00:07:10,350
с² - 2bc cos θ.

79
00:07:12,470 --> 00:07:17,735
Это то же, что и b²(sin²θ + cos²θ).

80
00:07:17,735 --> 00:07:22,470


81
00:07:22,470 --> 00:07:27,420
Это что-то вам должно напомнить…

82
00:07:27,420 --> 00:07:33,330
+ с² - 2bc cos θ

83
00:07:33,330 --> 00:07:36,170
Вот это, sin² + cos²

84
00:07:37,910 --> 00:07:40,010
Это одно из первых тождеств.

85
00:07:40,010 --> 00:07:41,930
Тождество Пифагора.

86
00:07:48,970 --> 00:07:56,230
a² равно…

87
00:07:56,230 --> 00:07:58,020
Это становится 1, и остается b²

88
00:07:58,020 --> 00:08:07,160
+ c²

89
00:08:07,160 --> 00:08:16,330
– 2bc cos θ.

90
00:08:16,330 --> 00:08:20,940
Выглядит отлично, и называется это теоремой косинусов.

91
00:08:28,460 --> 00:08:31,930
найти третью его сторону.

92
00:08:39,780 --> 00:08:42,150
Единственная причина, по которой я провел этот урок:

93
00:08:42,150 --> 00:08:46,050
если вы занимаетесь тригонометрией и, возможно,

94
00:08:46,050 --> 00:08:48,590
вам придется сдавать тест, то не мешало бы вам это выучить

95
00:08:48,590 --> 00:08:50,490
это упростит вам задачу,

96
00:08:50,490 --> 00:08:51,650
и вы быстрее получите ответ.

97
00:08:51,650 --> 00:08:55,310
Я не сторонник того, чтобы это заучивать, не зная,

98
00:08:58,600 --> 00:09:01,530
когда вы поступите в университет и пройдет 4 года с тех пор,

99
00:09:05,040 --> 00:09:06,990
А если вдруг вам попадется задача по тригонометрии,

100
00:09:06,990 --> 00:09:09,030
хорошо, если вы ее решите «с нуля».

101
00:09:09,030 --> 00:09:11,820
Итак, это теорема косинусов, и если бы вы ее использовали,

102
00:09:14,450 --> 00:09:17,070


103
00:09:17,070 --> 00:09:19,620
чтобы подставить их в эту формулу;

104
00:09:19,620 --> 00:09:23,600
тогда бы вы и нашли а в той «задаче отклонения корабля от курса».