0:00:01.230,0:00:04.850
На прошлом уроке мы решали задачу, в которой,

0:00:04.850,0:00:07.130
по сути, нам нужно было найти стороны треугольника,

0:00:07.130,0:00:08.650


0:00:08.650,0:00:11.540
т.к. это был не прямоугольный

0:00:11.540,0:00:13.220
а обычный треугольник.

0:00:13.220,0:00:14.610


0:00:17.460,0:00:20.360
и элементарные тригонометрические функции

0:00:20.360,0:00:21.480
тогда мы и получили правильный ответ.

0:00:21.480,0:00:23.300
Сейчас я хочу ознакомить вас с теоремой косинусов,

0:00:23.300,0:00:26.850
которую мы, по сути, проверили на прошлом уроке,

0:00:26.850,0:00:29.100
но я хочу ее доказать,

0:00:31.360,0:00:33.600
а также хочу показать, что раз вы знаете теорему косинусов,

0:00:37.480,0:00:41.480
У меня неоднозначное мнение по этому поводу -

0:00:41.480,0:00:43.010
я не сторонник запоминания.

0:00:55.090,0:00:56.560
вы все еще занимаетесь тригонометрией, но кто знает…

0:00:56.560,0:00:58.980
Итак, начнем. И посмотрим, о чем говорит нам

0:00:58.980,0:01:00.300
теорема косинусов.

0:01:00.300,0:01:03.700
Предположим, я знаю этот угол θ.

0:01:21.640,0:01:28.030
Назовем эту сторону b, эту – с,

0:01:28.030,0:01:31.150
а эту сторону назовем а.

0:01:31.150,0:01:33.080
Был бы это прямоугольный треугольник, мы могли бы использовать

0:01:33.080,0:01:37.630
теорему Пифагора, но сейчас не можем.

0:01:37.630,0:01:38.310
Тогда что мы делаем?

0:01:38.310,0:01:42.490
Итак, мы знаем… предположим, что знаем сторону b,

0:01:42.490,0:01:45.120
знаем сторону с, знаем угол θ, и хотим найти сторону а.

0:01:45.120,0:01:49.130
Вообще, если вы знаете три значения из этих четырех и теорему косинусов,

0:01:49.130,0:01:51.560
то при помощи несложных расчетов сможете найти 4-е.

0:01:51.560,0:01:52.610
Как мы можем это сделать?

0:02:02.210,0:02:04.420
Я думал, что использую инструмент линии.

0:02:04.420,0:02:05.165
Редактировать, отменить.

0:02:08.380,0:02:11.320
Итак, я могу провести вот такую линию.

0:02:11.320,0:02:14.150
Теперь у меня 2 прямых угла.

0:02:14.150,0:02:16.220
И если есть прямые углы, то теперь можно начать

0:02:29.750,0:02:30.770
Выберу другой цвет.

0:02:44.700,0:02:46.605


0:02:56.700,0:03:03.910
(или лиловая) сторона b является гипотенузой этого прямоугольного треугольника.

0:03:03.910,0:03:06.140
Итак, мы знаем, что… Выберу для себя один цвет,

0:03:06.140,0:03:08.760
потому что так буду менять цвета до бесконечности.

0:03:13.790,0:03:16.660
назовем эту сторону, типа под-стороны, ну, не знаю –

0:03:16.660,0:03:21.200
давайте назовем ее d.

0:03:21.200,0:03:27.850
Мы знаем, что cos θ = d / b, так?

0:03:48.810,0:03:52.340
Чему равно е?

0:03:52.340,0:03:56.780
е равно – вся сторона с минус эта сторона d, так?

0:03:56.780,0:04:02.630
Т.е. е = с - d.

0:04:02.630,0:04:09.320
Поэтому e = c – b cosθ

0:04:14.800,0:04:15.590
Это сторона е.

0:04:15.590,0:04:18.900
Мы нашли сторону е.

0:04:18.900,0:04:21.340
А чему будет равна вот эта сторона?

0:04:21.340,0:04:23.690
Давайте назовем ее m.

0:04:45.110,0:04:49.670
Итак, мы знаем, что sin θ = m / b.

0:04:49.670,0:04:52.520
Напишу здесь.

0:04:52.520,0:04:57.180
m / b, правильно, т.к. это гипотенуза, равно

0:05:08.550,0:05:10.500
Правильно?

0:05:16.070,0:05:17.960
Мы знаем две стороны прямоугольного треугольника.

0:05:17.960,0:05:19.750
И хотим найти гипотенузу.

0:05:22.410,0:05:28.490
По теореме Пифагора, а² = m² + e²

0:05:28.490,0:05:31.510


0:05:31.510,0:05:33.660
Всего лишь сумма квадратов двух других сторон.

0:05:33.660,0:05:35.920
Чему равно m² + e²?

0:05:35.920,0:05:38.970
Для разнообразия выберу другой цвет.

0:05:38.970,0:05:42.360
а² = m² …

0:05:44.030,0:05:53.590
Поэтому а² = (b sin θ)² + e²

0:05:53.590,0:05:55.790
Сторону е мы вычислили – вот она.

0:05:55.790,0:06:02.820
Поэтому + (с – b cos θ)2

0:06:04.940,0:06:13.090
Итак, это равно b sin… b² sin²θ…

0:06:13.090,0:06:13.970
sin²θ – то же,

0:06:13.970,0:06:15.480
что и (sin θ)², правильно?

0:06:15.480,0:06:17.700
Плюс… а это мы уже расписали подробно, хотя

0:06:18.420,0:06:20.620
Просто перемножу эти значения.

0:06:20.620,0:06:33.810
с² – 2cb cos θ + b² cos θ

0:06:33.810,0:06:35.420
Верно?

0:06:35.420,0:06:38.490
Я раскрыла скобки, перемножив значения.

0:06:38.490,0:06:40.310
Теперь посмотрим, можем ли мы сделать что-то интересное.

0:06:46.780,0:06:54.360
равны b² sin²θ + b² cos…

0:06:54.360,0:06:57.110
здесь, конечно, должен быть в квадрате,

0:06:57.110,0:06:58.350
т.к. мы его возвели в квадрат.

0:06:58.350,0:07:03.780
b² cos²θ и плюс еще

0:07:03.780,0:07:10.350
с² - 2bc cos θ.

0:07:12.470,0:07:17.735
Это то же, что и b²(sin²θ + cos²θ).

0:07:17.735,0:07:22.470


0:07:22.470,0:07:27.420
Это что-то вам должно напомнить…

0:07:27.420,0:07:33.330
+ с² - 2bc cos θ

0:07:33.330,0:07:36.170
Вот это, sin² + cos²

0:07:37.910,0:07:40.010
Это одно из первых тождеств.

0:07:40.010,0:07:41.930
Тождество Пифагора.

0:07:48.970,0:07:56.230
a² равно…

0:07:56.230,0:07:58.020
Это становится 1, и остается b²

0:07:58.020,0:08:07.160
+ c²

0:08:07.160,0:08:16.330
– 2bc cos θ.

0:08:16.330,0:08:20.940
Выглядит отлично, и называется это теоремой косинусов.

0:08:28.460,0:08:31.930
найти третью его сторону.

0:08:39.780,0:08:42.150
Единственная причина, по которой я провел этот урок:

0:08:42.150,0:08:46.050
если вы занимаетесь тригонометрией и, возможно,

0:08:46.050,0:08:48.590
вам придется сдавать тест, то не мешало бы вам это выучить

0:08:48.590,0:08:50.490
это упростит вам задачу,

0:08:50.490,0:08:51.650
и вы быстрее получите ответ.

0:08:51.650,0:08:55.310
Я не сторонник того, чтобы это заучивать, не зная,

0:08:58.600,0:09:01.530
когда вы поступите в университет и пройдет 4 года с тех пор,

0:09:05.040,0:09:06.990
А если вдруг вам попадется задача по тригонометрии,

0:09:06.990,0:09:09.030
хорошо, если вы ее решите «с нуля».

0:09:09.030,0:09:11.820
Итак, это теорема косинусов, и если бы вы ее использовали,

0:09:14.450,0:09:17.070


0:09:17.070,0:09:19.620
чтобы подставить их в эту формулу;

0:09:19.620,0:09:23.600
тогда бы вы и нашли а в той «задаче отклонения корабля от курса».