< Return to Video

Proof: d/dx(sqrt(x))

  • 0:00 - 0:01
    有人要求讲一下
  • 0:01 - 0:04
    证明√x的导数
  • 0:04 - 0:06
    所以这集快速证明一下
  • 0:06 - 0:08
    √x的导数
  • 0:08 - 0:10
    由导数的定义可知
  • 0:10 - 0:14
    函数√x的导数
  • 0:14 - 0:22
    换颜色 更多样一些
  • 0:22 - 0:27
    它等于Δx趋于0时的极限
  • 0:27 - 0:33
    有人也说h趋于0
  • 0:33 - 0:36
    或d趋于0 这里用Δx
  • 0:36 - 0:36
    Δx趋于0时
  • 0:36 - 0:37
    然后f(x+Δx)
  • 0:37 - 0:39
    此处这是f(x)
  • 0:39 - 0:42
    所以它是√(x+Δx)-f(x)
  • 0:42 - 0:43
    此处即√x
  • 0:43 - 0:52
    整体/x的变化量Δx
  • 0:52 - 0:55
    现在看这个式子
  • 0:55 - 0:57
    还不能化简
  • 0:57 - 1:00
    使它变得适于分析
  • 1:00 - 1:03
    那么分子和分母同乘以
  • 1:03 - 1:05
    分子的共轭根式 什么意思呢？
  • 1:05 - 1:10
    把它写下来
  • 1:10 - 1:13
    Δx趋于0时的极限
  • 1:13 - 1:14
    把这再写下来
  • 1:14 - 1:14
    即√(x+Δx)
  • 1:14 - 1:15
    -√x
  • 1:15 - 1:20
    整体/Δx
  • 1:20 - 1:21
    换颜色 将它乘以
  • 1:21 - 1:27
    √(x+Δx)
  • 1:27 - 1:29
    +√x 除以
  • 1:29 - 1:31
    √(x+Δx)+√x
  • 1:31 - 1:34
    这只是1 显然可以相乘
  • 1:34 - 1:42
    假设x和Δx都不为0
  • 1:42 - 1:48
    这是一个定值 为1
  • 1:48 - 1:49
    可以相乘
  • 1:49 - 1:53
    这是1/1 将它乘以这个式子
  • 1:53 - 1:57
    得到当Δx趋于0时
  • 1:57 - 1:59
    这是(a-b)(a+b)
  • 1:59 - 2:00
    在这旁边列出来
  • 2:00 - 2:02
    (a+b)(a-b)
  • 2:02 - 2:11
    =a^2-b^2
  • 2:11 - 2:14
    这是(a+b)(a-b)
  • 2:14 - 2:15
    所以它等于a^2
  • 2:15 - 2:21
    那么这个量的平方是什么
  • 2:21 - 2:23
    两个都可以 都代表a
  • 2:23 - 2:27
    是x+Δx
  • 2:27 - 2:29
    那么得到x+Δx
  • 2:29 - 2:32
    然后b^2呢？
  • 2:32 - 2:33
    -√x类比为b
  • 2:33 - 2:35
    那么(√x)^2=x
  • 2:35 - 2:39
    整体/(Δx・
  • 2:39 - 2:41
    (√(x+Δx)+√x))
  • 2:41 - 2:46
    看看怎么化简
  • 2:46 - 2:51
    这里有x和-x
  • 2:51 - 2:57
    两者抵消了 x-x
  • 2:57 - 3:04
    然后分子和分母上剩下的
  • 3:04 - 3:06
    都有Δx
  • 3:06 - 3:09
    分子和分母同除以Δx
  • 3:09 - 3:11
    都变为1
  • 3:11 - 3:13
    所以它= 写的小点
  • 3:13 - 3:16
    因为没地方了
  • 3:16 - 3:19
    =Δx趋于0时的极限 1/
  • 3:19 - 3:23
    显然只有假设Δx--
  • 3:23 - 3:26
    一开始除以Δx
  • 3:26 - 3:35
    所以它不为0 只是趋于0
  • 3:35 - 3:38
    那么得到√(x+Δx)
  • 3:38 - 3:40
    +√x
  • 3:40 - 3:42
    现在直接求Δx趋于0时
  • 3:42 - 3:50
    它的极限
  • 3:50 - 3:52
    只需设Δx=0
  • 3:52 - 3:54
    即趋于0的含义
  • 3:54 - 3:54
    那么等于1/√x
  • 3:54 - 3:56
    对吗？Δx=0 可以忽略
  • 3:56 - 3:58
    取其极限一直到0
  • 3:58 - 4:04
    然后这显然还是√x
  • 4:04 - 4:07
    +√x
  • 4:07 - 4:09
    =1/(2√x)
  • 4:09 - 4:13
    =(1/2)x^(-1/2)
  • 4:13 - 4:17
    刚才证明了x^(1/2)
  • 4:17 - 4:19
    的导数为(1/2)x^(-1/2)
  • 4:19 - 4:25
    它跟一般情况一致
  • 4:25 - 4:29
    即求导
  • 4:29 - 4:35
    x^n的导数为
  • 4:35 - 4:42
    n・x^(n-1) 即使此处n=1/2
  • 4:42 - 4:51
    也是合乎情况的
  • 4:51 - 4:55
    未就所有的分数都给出证明 但这是开始
  • 4:55 - 4:56
    这是常见的一个 √x
  • 4:56 - 4:59
    好在证明起来不很复杂
  • 4:59 - 5:01
    下一集再见
Title:
Proof: d/dx(sqrt(x))
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
05:08

Chinese (Simplified, China) subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.