有人要求讲一下
证明√x的导数
所以这集快速证明一下
√x的导数
由导数的定义可知
函数√x的导数
换颜色 更多样一些
它等于Δx趋于0时的极限
有人也说h趋于0
或d趋于0 这里用Δx
Δx趋于0时
然后f(x+Δx)
此处这是f(x)
所以它是√(x+Δx)-f(x)
此处即√x
整体/x的变化量Δx
现在看这个式子
还不能化简
使它变得适于分析
那么分子和分母同乘以
分子的共轭根式 什么意思呢？
把它写下来
Δx趋于0时的极限
把这再写下来
即√(x+Δx)
-√x
整体/Δx
换颜色 将它乘以
√(x+Δx)
+√x 除以
√(x+Δx)+√x
这只是1 显然可以相乘
假设x和Δx都不为0
这是一个定值 为1
可以相乘
这是1/1 将它乘以这个式子
得到当Δx趋于0时
这是(a-b)(a+b)
在这旁边列出来
(a+b)(a-b)
=a^2-b^2
这是(a+b)(a-b)
所以它等于a^2
那么这个量的平方是什么
两个都可以 都代表a
是x+Δx
那么得到x+Δx
然后b^2呢？
-√x类比为b
那么(√x)^2=x
整体/(Δx・
(√(x+Δx)+√x))
看看怎么化简
这里有x和-x
两者抵消了 x-x
然后分子和分母上剩下的
都有Δx
分子和分母同除以Δx
都变为1
所以它= 写的小点
因为没地方了
=Δx趋于0时的极限 1/
显然只有假设Δx--
一开始除以Δx
所以它不为0 只是趋于0
那么得到√(x+Δx)
+√x
现在直接求Δx趋于0时
它的极限
只需设Δx=0
即趋于0的含义
那么等于1/√x
对吗？Δx=0 可以忽略
取其极限一直到0
然后这显然还是√x
+√x
=1/(2√x)
=(1/2)x^(-1/2)
刚才证明了x^(1/2)
的导数为(1/2)x^(-1/2)
它跟一般情况一致
即求导
x^n的导数为
n・x^(n-1) 即使此处n=1/2
也是合乎情况的
未就所有的分数都给出证明 但这是开始
这是常见的一个 √x
好在证明起来不很复杂
下一集再见