Proof: d/dx(sqrt(x))

Poproszono mnie o przeprowadzenie dowodu tego, jak wygląda

pochodna pierwiastka kwadratowego z x, więc pomyślałem, że

zrobię krótki film o pochodnej

pierwiastka kwadratowego z x.

Z definicji pochodnej wiemy, że

pochodna pierwiastka z x jest równa,

pozwólcie że zmienię kolor, tak dla urozmaicenia, jest równa

granicy przy delta x dążącym do 0.

Wiecie, niektórzy mówią, że przy h dążącym do 0,

niektórzy, że przy d dążącym do 0.

Ja używam delta x.

Czyli zmiany x bliskiej 0.

Potem piszemy f od x plus delta x, czyli w

tym wypadku to jest nasze f od x.

To będzie pierwiastek kwadratowy z x plus delta x minus f od x,

czyli w tym wypadku pierwiastek kwadratowy z x.

I to wszystko przez zmianę x, przez delta x.

Teraz kiedy na to patrzę, nie można za wiele uprościć

tak, aby otrzymać coś znaczącego.

Pomnożę licznik i mianownik przez

sprzężenie licznika, taki

mam plan.

Pozwólcie, że to przepiszę.

Granica przy delta x dążącym do 0, na razie

tylko przepisuję to, co mam.

Powiedziałem pierwiastek z x plus delta x minus

pierwiastek z x.

I to wszystko przez delta x.

I pomnożę to, po zamianie kolorów,

razy pierwiastek z x plus delta x plus pierwiastek z x

przez pierwiastek z x plus delta x plus

pierwiastek z x.

To jest po prostu 1, tak więc mogłem przez to pomnożyć,

jeśli założymy, że x i delta x są różne od zera, to jest to

ustalona liczba, a konkretnie 1.

I tak zrobić możemy.

To jest 1 przez 1, po prostu mnożymy to przez to

równanie i dostajemy granicę przy delta x dążącym do 0.

To jest a minus b razy a plus b.

Zrobię to tutaj na boku.

Powiemy, że a plus b razy a minus b jest równe

a kwadrat minus b kwadrat.

I to jest właśnie a plus b razy a minus b.

Także to będzie równe a kwadrat.

Ta wielkość do kwadratu, albo ta wielkość to kwadratu,

obojętnie która, to są moje a.

To będzie x plus delta x.

Dostajemy x plus delta x.

A czym jest b do kwadratu?

Minus pierwiastek kwadratowy z x jest w tym przypadku b.

Pierwiastek z x do kwadratu, to po prostu x.

I to wszystko przez delta x razy pierwiastek z x plus

delta x plus pierwiastek z x.

Zobaczmy, co da się tutaj uprościć.

Mamy tutaj x oraz minus x, więc te

dwie rzeczy się skrócą, x minus x.

W liczniku i mianowniku została nam

delta x, skróćmy więc

i licznik i mianownik przez delta x.

To będzie 1, to też będzie 1.

I to będzie równe, będę pisał mniejszymi literami, bo

kończy mi się miejsce, granicy przy delta x dążącym do 0 z 1 przez

I oczywiście mogliśmy tak zrobić jedynie zakładając, że

cóż, dzielimy przez delta x, wiemy więc, że

to nie jest równe 0, tylko do niego dąży.

Dostajemy pierwiastek z x plus delta x plus

pierwiastek z x.

I teraz możemy najzwyczajniej wziąć granicę

w 0.

Możemy po prostu ustalić, że delta x jest równa 0.

I oto, do czego to dąży.

To się wtedy równa 1 przez pierwiastek z x.

Tak, delta x to 0, więc możemy to pominąć.

Mogliśmy wziąć granicę bezpośrednio w 0.

I wtedy to jest oczywiście pierwiastek kwadratowy z x tutaj plus

pierwiastek kwadratowy z x, i to wynosi 1 przez

2 pierwiastki z x.

I to jest równe 1/2 razyx do potęgi minus 1/2.

Właśnie dowiedliśmy, że pochodna z x do potęgi 1/2

to 1/2 razy x do potęgi minus 1/2, także to jest zgodne

z ogólną własnością, że pochodna, no nie wiem,

że pochodna z x do potęgi n jest równa n razy x

do potęgi n-1, nawet w tym wypadku, kiedy n wynosiło 1/2.

To dość satysfakcjonujące mam nadzieję.

Nie udowodniłem tego dla wszystkich ułamków, ale to już jakiś początek.

To dość pospolity przypadek, pierwiastek kwadratowy z x,

i mam nadzieję, że dowód tego nie był zbyt skomplikowany.

Do zobaczenia w kolejnych filmach.