1
00:00:00,840 --> 00:00:04,090
Poproszono mnie o przeprowadzenie dowodu tego, jak wygląda

2
00:00:04,090 --> 00:00:06,300
pochodna pierwiastka kwadratowego z x, więc pomyślałem, że

3
00:00:06,300 --> 00:00:08,300
zrobię krótki film o pochodnej

4
00:00:08,300 --> 00:00:10,370
pierwiastka kwadratowego z x.

5
00:00:10,370 --> 00:00:13,680
Z definicji pochodnej wiemy, że

6
00:00:13,680 --> 00:00:22,280
pochodna pierwiastka z x jest równa,

7
00:00:22,280 --> 00:00:26,520
pozwólcie że zmienię kolor, tak dla urozmaicenia, jest równa

8
00:00:26,520 --> 00:00:33,080
granicy przy delta x dążącym do 0.

9
00:00:33,080 --> 00:00:35,595
Wiecie, niektórzy mówią, że przy h dążącym do 0,

10
00:00:35,595 --> 00:00:36,360
niektórzy, że przy d dążącym do 0.

11
00:00:36,360 --> 00:00:37,450
Ja używam delta x.

12
00:00:37,450 --> 00:00:39,450
Czyli zmiany x bliskiej 0.

13
00:00:39,450 --> 00:00:41,830
Potem piszemy f od x plus delta x, czyli w

14
00:00:41,830 --> 00:00:42,910
tym wypadku to jest nasze f od x.

15
00:00:42,910 --> 00:00:52,260
To będzie pierwiastek kwadratowy z x plus delta x minus f od x,

16
00:00:52,260 --> 00:00:54,640
czyli w tym wypadku pierwiastek kwadratowy z x.

17
00:00:54,640 --> 00:00:57,140
I to wszystko przez zmianę x, przez delta x.

18
00:01:00,040 --> 00:01:02,580
Teraz kiedy na to patrzę, nie można za wiele uprościć

19
00:01:02,580 --> 00:01:04,945
tak, aby otrzymać coś znaczącego.

20
00:01:09,940 --> 00:01:12,540
Pomnożę licznik i mianownik przez

21
00:01:12,540 --> 00:01:13,790
sprzężenie licznika, taki

22
00:01:13,790 --> 00:01:14,200
mam plan.

23
00:01:14,200 --> 00:01:15,480
Pozwólcie, że to przepiszę.

24
00:01:15,480 --> 00:01:19,740
Granica przy delta x dążącym do 0, na razie

25
00:01:19,740 --> 00:01:21,280
tylko przepisuję to, co mam.

26
00:01:21,280 --> 00:01:26,650
Powiedziałem pierwiastek z x plus delta x minus

27
00:01:26,650 --> 00:01:28,610
pierwiastek z x.

28
00:01:28,610 --> 00:01:31,200
I to wszystko przez delta x.

29
00:01:31,200 --> 00:01:34,490
I pomnożę to, po zamianie kolorów,

30
00:01:34,490 --> 00:01:41,840
razy pierwiastek z x plus delta x plus pierwiastek z x

31
00:01:41,840 --> 00:01:48,260
przez pierwiastek z x plus delta x plus

32
00:01:48,260 --> 00:01:49,250
pierwiastek z x.

33
00:01:49,250 --> 00:01:53,420
To jest po prostu 1, tak więc mogłem przez to pomnożyć,

34
00:01:53,420 --> 00:01:57,110
jeśli założymy, że x i delta x są różne od zera, to jest to

35
00:01:57,110 --> 00:01:59,090
ustalona liczba, a konkretnie 1.

36
00:01:59,090 --> 00:02:00,010
I tak zrobić możemy.

37
00:02:00,010 --> 00:02:02,130
To jest 1 przez 1, po prostu mnożymy to przez to

38
00:02:02,130 --> 00:02:10,900
równanie i dostajemy granicę przy delta x dążącym do 0.

39
00:02:10,900 --> 00:02:13,510
To jest a minus b razy a plus b.

40
00:02:13,510 --> 00:02:15,360
Zrobię to tutaj na boku.

41
00:02:15,360 --> 00:02:20,880
Powiemy, że a plus b razy a minus b jest równe

42
00:02:20,880 --> 00:02:23,150
a kwadrat minus b kwadrat.

43
00:02:23,150 --> 00:02:26,600
I to jest właśnie a plus b razy a minus b.

44
00:02:26,600 --> 00:02:29,410
Także to będzie równe a kwadrat.

45
00:02:29,410 --> 00:02:32,010
Ta wielkość do kwadratu, albo ta wielkość to kwadratu,

46
00:02:32,010 --> 00:02:33,180
obojętnie która, to są moje a.

47
00:02:33,180 --> 00:02:35,450
To będzie x plus delta x.

48
00:02:35,450 --> 00:02:39,430
Dostajemy x plus delta x.

49
00:02:39,430 --> 00:02:41,050
A czym jest b do kwadratu?

50
00:02:41,050 --> 00:02:46,380
Minus pierwiastek kwadratowy z x jest w tym przypadku b.

51
00:02:46,380 --> 00:02:50,640
Pierwiastek z x do kwadratu, to po prostu x.

52
00:02:50,640 --> 00:02:56,760
I to wszystko przez delta x razy pierwiastek z x plus

53
00:02:56,760 --> 00:03:04,210
delta x plus pierwiastek z x.

54
00:03:04,210 --> 00:03:05,900
Zobaczmy, co da się tutaj uprościć.

55
00:03:05,900 --> 00:03:08,580
Mamy tutaj x oraz minus x, więc te

56
00:03:08,580 --> 00:03:11,480
dwie rzeczy się skrócą, x minus x.

57
00:03:11,480 --> 00:03:13,460
W liczniku i mianowniku została nam

58
00:03:13,460 --> 00:03:15,690
delta x, skróćmy więc

59
00:03:15,690 --> 00:03:18,770
i licznik i mianownik przez delta x.

60
00:03:18,770 --> 00:03:22,822
To będzie 1, to też będzie 1.

61
00:03:22,822 --> 00:03:26,350
I to będzie równe, będę pisał mniejszymi literami, bo

62
00:03:26,350 --> 00:03:34,920
kończy mi się miejsce, granicy przy delta x dążącym do 0 z 1 przez

63
00:03:34,920 --> 00:03:37,780
I oczywiście mogliśmy tak zrobić jedynie zakładając, że

64
00:03:37,780 --> 00:03:40,220
cóż, dzielimy przez delta x, wiemy więc, że

65
00:03:40,220 --> 00:03:42,420
to nie jest równe 0, tylko do niego dąży.

66
00:03:42,420 --> 00:03:50,320
Dostajemy pierwiastek z x plus delta x plus

67
00:03:50,320 --> 00:03:51,860
pierwiastek z x.

68
00:03:51,860 --> 00:03:53,550
I teraz możemy najzwyczajniej wziąć granicę

69
00:03:53,550 --> 00:03:54,410
w 0.

70
00:03:54,410 --> 00:03:56,440
Możemy po prostu ustalić, że delta x jest równa 0.

71
00:03:56,440 --> 00:03:58,140
I oto, do czego to dąży.

72
00:03:58,140 --> 00:04:04,260
To się wtedy równa 1 przez pierwiastek z x.

73
00:04:04,260 --> 00:04:06,790
Tak, delta x to 0, więc możemy to pominąć.

74
00:04:06,790 --> 00:04:09,120
Mogliśmy wziąć granicę bezpośrednio w 0.

75
00:04:09,120 --> 00:04:13,000
I wtedy to jest oczywiście pierwiastek kwadratowy z x tutaj plus

76
00:04:13,000 --> 00:04:17,160
pierwiastek kwadratowy z x, i to wynosi 1 przez

77
00:04:17,160 --> 00:04:19,350
2 pierwiastki z x.

78
00:04:19,350 --> 00:04:24,890
I to jest równe 1/2 razyx do potęgi minus 1/2.

79
00:04:24,890 --> 00:04:28,900
Właśnie dowiedliśmy, że pochodna z x do potęgi 1/2

80
00:04:28,900 --> 00:04:35,220
to 1/2 razy x do potęgi minus 1/2, także to jest zgodne

81
00:04:35,220 --> 00:04:41,700
z ogólną własnością, że pochodna, no nie wiem,

82
00:04:41,700 --> 00:04:50,850
że pochodna z x do potęgi n jest równa n razy x

83
00:04:50,850 --> 00:04:55,150
do potęgi n-1, nawet w tym wypadku, kiedy n wynosiło 1/2.

84
00:04:55,150 --> 00:04:56,100
To dość satysfakcjonujące mam nadzieję.

85
00:04:56,100 --> 00:04:58,960
Nie udowodniłem tego dla wszystkich ułamków, ale to już jakiś początek.

86
00:04:58,960 --> 00:05:01,120
To dość pospolity przypadek, pierwiastek kwadratowy z x,

87
00:05:01,120 --> 00:05:03,770
i mam nadzieję, że dowód tego nie był zbyt skomplikowany.

88
00:05:03,770 --> 00:05:05,180
Do zobaczenia w kolejnych filmach.