Kalkülüs: x^(x^x) İfadesinin Türevi

Kalkülüs: x^(x^x) İfadesinin Türevinin Alınışı

.

Klasik örtülü diferansiyel(türev) sorularından birisi

y'nin x üzeri x'e eşit olmasıdır.

Yani, y'nin x'e göre türevinin alınmasıdır.

.

Çogu kişi buna baktığı zaman, sabit bir üs yok,

yani burada türev alma kurallarını kullanamam,

nasıl yapacağım diye düşünür.

Buradaki püf nokta ise iki tarafın da

doğal logaritmasının alınmasıdır.

Bunu da bu videoda

yapacağız.

İki tarafın da doğal logaritmasını aldığınızda

y'nin doğal logaritması

x üzeri x'in doğal logaritmasına eşit olur.

Logaritmik türev formülleri, ya da doğal logaritma kuralları şöyle söyler,

eğer bir şey üzeri bir şeyin doğal logaritmasını alıyorsam,

bunu şu şekilde yeniden yazarsam,

x üzeri x 'in doğal logaritması

x kere x'in doğal logaritmasına eşit olur.

Her şeyi yeniden yazalım.

Eşitliğin iki tarafının da doğal logaritmasını alırsam

ln y = x ln x olur.

.

Şimdi eşitliğin iki tarafının da x'e göre türevini alabiliriz.

.

Eşitliğin bu kısmının x'e göre türevi,

ve eşitliğin diğer kısmının x'e göre türevi.

Burada zincir kuralını uygulayacağız.

Zincir kuralına göre bunun x'e göre türevi nedir?

.

Parantezin içerisindeki ifadenin

x'e göre türevi nedir?

Bu bir örtülü türev olduğundan,

y'nin,

x kere tüm bu kısmın içerisindeki fonksiyona göre türevidir.

x'in doğal logaritmasının türevi 1/x'tir.

y'nin doğal logaritmasının y'ye göre türevi

de 1/y olur.

Çarpı 1/y...

.

Bunun türevi

(sadece çarpma kuralını kullanıyoruz)

ilk terimin yani 1'in türevi, çarpı ikinci terim yani ln x,

artı ikinci kısmın türevi yani 1/x kere ilk terim yapar.

.

Yani çarpı x.

Yani, dy/dx çarpı 1/y eşittir

ln x artı 1'i elde ederiz. (x'ler sadeleşti)

Sonra iki tarafı da y ile çarparız

ve dy/dx = y(ln x + 1) eşitliğini elde ederiz.

.

Eğer y'nin burada durması sizi rahatsız ettiyse

yerine koyma kuralını kullanabilir

ve y yerine x üzeri x yazabilirsiniz.

Yani, dy/dx = x^x (ln x + 1) şeklinde yazabilirsiniz.

.

Bu eğlenceli bir problemdi,

genelde yanıltmaca problemi olarak verilen tarzdaydı,

hatta doğal logaritmayı bilmeyenler için bonus soru bile olabilir.

Ama daha zor bir probleme geçeceğiz,

ve bu konuda takıldığımız bir problem olacak.

Fakat öncelikle bu problemi görmek daha iyi,

çünkü bize kullanacağımız temel yolu öğretiyor.

Şimdi yapacağımız soru, biraz daha zor bir soru olacak.

.

Yazmama izin verin.

Problem şu şekilde:

yeni kısmı ise burası, y = x^(x^x) .

Ve biz dy/dx 'i bulmak istiyoruz.

Yani, y'nin x'e göre türevini bulmak istiyoruz.

.

Bu problemi çözmek için de aynı yolu kullanacağız.

Bu ifadeyi uğraşabileceğimiz ifadelere parçalamak için doğal logaritmayı kullanacağız.

.

Bunu çarpma kuralını kullanabilmek için yapacağız.

Şimdi geçen sefer yaptığımız gibi

eşitliğin iki tarafının da doğal logaritmasını alalım.

ln y = ln x^(x^x) ifadesini elde ederiz.

.

.

Bu ifade sadece burada üs,

yani onu x^x çarpı ln x şeklinde yazabiliriz.

.

Artık eşitliğimiz ln y = x^x ln x ifadesine sadeleşmiş oldu.

.

.

Ama x^x ifadesi hala orada duruyor.

Burada türev almanın kolay bir yolunu bilmiyoruz,

fakat az önce gösterdiğim bu ifadenin türevinin alınışını

burada kullanacağız.

Aslında tekrar doğal logaritma alacaktım ama sonra

bu videoda daha önce x^x in türevini çözdüğümü hatırladım.

.

.

İşte buradaki ifade.

.

Bunu hatırlayıp, uygulayıp, sonra da problemimizi çözmemiz gerekiyor.

.

Haydi problemi çözelim.

Eğer daha önce bunu çözmemiş olsaydık,

ki burada bir şeyin kolay versiyonunu çözmenin beklenmeyen yararı ortaya çıkıyor,

burada doğal logaritma almaya devam edecek

ve soruyu daha karışık hale getirecektik.

Ama x^x 'in türevini bildiğimize göre,

uygulayalım.

Eşitliğin iki tarafının da türevini alacağız.

.

Bu kısmın türevi, eşittir bu kısmın türevi.

Bu kısmı şimdilik önemsemeyeceğiz.

Bu kısmın x'e göre türevi, ln y 'nin y'ye göre türevi olacaktır.

.

Yani, 1/y kere y'nin x'e göre türevi.

.

Sadece örtülü diferansiyel konusunda öğrendiğimiz zincir kuralını uyguluyoruz.

.

Bu ifade ise,

ilk terimin türevi çarpı ikinci terime eşittir.

Buraya yazacağım, çünkü basamak atlayıp insanların kafasını karıştırmak istemiyorum.

Yani, eşittir x^x 'in türevi çarpı ln x

.

artı ln x 'in türevi çarpı x^x.

.

Şimdi eşitliğin sağ tarafına odaklanalım.

x^x 'in x'e göre türevi nedir?

Bu problemi az önce burada çözmüştük.

x^x (ln x + 1) olacak.

Yani bu parça,

.

x^x (ln x + 1) olacak.

Sonra ln x ile çarpacağız.

.

.

Sonra da, artı ln x 'in türevi yapacağız.

.

Oldukça açık, 1/x x^x ekleyeceğiz.

.

Eşitliğin sol tarafı ise 1/y dy/dx di.

.

Şimdi eşitliğin iki tarafını da y ile çarparız ve

dy/dx = y(x^x (ln x + 1)ln x + x^(x-1) ) i elde ederiz.

.

.

.

.

.

.

Eğer buradaki y'yi istemezsek, yerine yeniden x^(x^x) i yazabiliriz.

.

.

Yani, son cevabımız

.

.

.

.

dy/dx = x^(x^x) ( x^x (ln x + 1)ln x + x^(x-1) oluyor.

.

.

Kim böyle düşünürdü ki.

Matematik bazen zekice ve zariftir.

Böyle bir ifadenin türevini alırsın ve düzenli bir ifade elde edersin.

.

Örneğin, ln x 'in türevini aldığımızda, 1/x 'i elde ederiz.

.

Bu çok kolaydır, ve matematiğin bu şekilde işlemesi hoştur.

.

Fakat bazen çok kolay görünen bir şey üzerinde işlemler yaparsın

ama karışık fakat oldukça ilgi çekici bir problem elde edersin.

.

.

İşte bu kadar.

.