1
00:00:00,000 --> 00:00:00,550
.

2
00:00:00,550 --> 00:00:03,660
Klasik örtülü diferansiyel(türev) sorularından birisi

3
00:00:03,660 --> 00:00:10,900
y'nin x üzeri x'e eşit olmasıdır.

4
00:00:10,900 --> 00:00:13,810
Yani, y'nin x'e göre türevinin alınmasıdır.

5
00:00:13,810 --> 00:00:16,350
.

6
00:00:16,350 --> 00:00:19,520
Çogu kişi buna baktığı zaman, sabit bir üs yok,

7
00:00:19,520 --> 00:00:21,800
yani burada türev alma kurallarını kullanamam,

8
00:00:21,800 --> 00:00:23,300
nasıl yapacağım diye düşünür.

9
00:00:23,300 --> 00:00:26,090
Buradaki püf nokta ise iki tarafın da

10
00:00:26,090 --> 00:00:27,860
doğal logaritmasının alınmasıdır.

11
00:00:27,860 --> 00:00:29,530
Bunu da bu videoda

12
00:00:29,530 --> 00:00:30,460
yapacağız.

13
00:00:30,460 --> 00:00:34,530
İki tarafın da doğal logaritmasını aldığınızda

14
00:00:34,530 --> 00:00:38,570
y'nin doğal logaritması

15
00:00:38,570 --> 00:00:40,880
x üzeri x'in doğal logaritmasına eşit olur.

16
00:00:40,880 --> 00:00:44,750
Logaritmik türev formülleri, ya da doğal logaritma kuralları şöyle söyler,

17
00:00:44,750 --> 00:00:46,550
eğer bir şey üzeri bir şeyin doğal logaritmasını alıyorsam,

18
00:00:46,550 --> 00:00:50,730
bunu şu şekilde yeniden yazarsam,

19
00:00:50,730 --> 00:00:54,690
x üzeri x 'in doğal logaritması

20
00:00:54,690 --> 00:00:56,550
x kere x'in doğal logaritmasına eşit olur.

21
00:00:56,550 --> 00:00:59,380
Her şeyi yeniden yazalım.

22
00:00:59,380 --> 00:01:01,910
Eşitliğin iki tarafının da doğal logaritmasını alırsam

23
00:01:01,910 --> 00:01:06,190
ln y = x ln x olur.

24
00:01:06,190 --> 00:01:08,530
.

25
00:01:08,530 --> 00:01:11,100
Şimdi eşitliğin iki tarafının da x'e göre türevini alabiliriz.

26
00:01:11,100 --> 00:01:12,350
.

27
00:01:12,350 --> 00:01:15,640
Eşitliğin bu kısmının x'e göre türevi,

28
00:01:15,640 --> 00:01:19,440
ve eşitliğin diğer kısmının x'e göre türevi.

29
00:01:19,440 --> 00:01:24,710
Burada zincir kuralını uygulayacağız.

30
00:01:24,710 --> 00:01:25,520
Zincir kuralına göre bunun x'e göre türevi nedir?

31
00:01:25,520 --> 00:01:27,730
.

32
00:01:27,730 --> 00:01:30,840
Parantezin içerisindeki ifadenin

33
00:01:30,840 --> 00:01:32,330
x'e göre türevi nedir?

34
00:01:32,330 --> 00:01:35,390
Bu bir örtülü türev olduğundan,

35
00:01:35,390 --> 00:01:38,600
y'nin,

36
00:01:38,600 --> 00:01:40,710
x kere tüm bu kısmın içerisindeki fonksiyona göre türevidir.

37
00:01:40,710 --> 00:01:44,150
x'in doğal logaritmasının türevi 1/x'tir.

38
00:01:44,150 --> 00:01:45,690
y'nin doğal logaritmasının y'ye göre türevi

39
00:01:45,690 --> 00:01:48,840
de 1/y olur.

40
00:01:48,840 --> 00:01:50,080
Çarpı 1/y...

41
00:01:50,080 --> 00:01:52,600
.

42
00:01:52,600 --> 00:01:55,450
Bunun türevi

43
00:01:55,450 --> 00:01:59,740
(sadece çarpma kuralını kullanıyoruz)

44
00:01:59,740 --> 00:02:03,610
ilk terimin yani 1'in türevi, çarpı ikinci terim yani ln x,

45
00:02:03,610 --> 00:02:08,760
artı ikinci kısmın türevi yani 1/x kere ilk terim yapar.

46
00:02:08,760 --> 00:02:11,550
.

47
00:02:11,550 --> 00:02:13,380
Yani çarpı x.

48
00:02:13,380 --> 00:02:23,280
Yani, dy/dx çarpı 1/y eşittir

49
00:02:23,280 --> 00:02:28,140
ln x artı 1'i elde ederiz. (x'ler sadeleşti)

50
00:02:28,140 --> 00:02:30,260
Sonra iki tarafı da y ile çarparız

51
00:02:30,260 --> 00:02:35,590
ve dy/dx = y(ln x + 1) eşitliğini elde ederiz.

52
00:02:35,590 --> 00:02:37,610
.

53
00:02:37,610 --> 00:02:40,360
Eğer y'nin burada durması sizi rahatsız ettiyse

54
00:02:40,360 --> 00:02:41,410
yerine koyma kuralını kullanabilir

55
00:02:41,410 --> 00:02:43,620
ve y yerine x üzeri x yazabilirsiniz.

56
00:02:43,620 --> 00:02:47,410
Yani, dy/dx = x^x (ln x + 1) şeklinde yazabilirsiniz.

57
00:02:47,410 --> 00:02:52,890
.

58
00:02:52,890 --> 00:02:55,950
Bu eğlenceli bir problemdi,

59
00:02:55,950 --> 00:02:59,810
genelde yanıltmaca problemi olarak verilen tarzdaydı,

60
00:02:59,810 --> 00:03:02,180
hatta doğal logaritmayı bilmeyenler için bonus soru bile olabilir.

61
00:03:02,180 --> 00:03:05,290
Ama daha zor bir probleme geçeceğiz,

62
00:03:05,290 --> 00:03:06,550
ve bu konuda takıldığımız bir problem olacak.

63
00:03:06,550 --> 00:03:09,270
Fakat öncelikle bu problemi görmek daha iyi,

64
00:03:09,270 --> 00:03:11,900
çünkü bize kullanacağımız temel yolu öğretiyor.

65
00:03:11,900 --> 00:03:14,350
Şimdi yapacağımız soru, biraz daha zor bir soru olacak.

66
00:03:14,350 --> 00:03:17,700
.

67
00:03:17,700 --> 00:03:19,610
Yazmama izin verin.

68
00:03:19,610 --> 00:03:26,990
Problem şu şekilde:

69
00:03:26,990 --> 00:03:30,640
yeni kısmı ise burası, y = x^(x^x) .

70
00:03:30,640 --> 00:03:33,700
Ve biz dy/dx 'i bulmak istiyoruz.

71
00:03:33,700 --> 00:03:36,310
Yani, y'nin x'e göre türevini bulmak istiyoruz.

72
00:03:36,310 --> 00:03:38,630
.

73
00:03:38,630 --> 00:03:41,300
Bu problemi çözmek için de aynı yolu kullanacağız.

74
00:03:41,300 --> 00:03:44,320
Bu ifadeyi uğraşabileceğimiz ifadelere parçalamak için doğal logaritmayı kullanacağız.

75
00:03:44,320 --> 00:03:47,000
.

76
00:03:47,000 --> 00:03:48,780
Bunu çarpma kuralını kullanabilmek için yapacağız.

77
00:03:48,780 --> 00:03:51,300
Şimdi geçen sefer yaptığımız gibi

78
00:03:51,300 --> 00:03:52,810
eşitliğin iki tarafının da doğal logaritmasını alalım.

79
00:03:52,810 --> 00:03:58,570
ln y = ln x^(x^x) ifadesini elde ederiz.

80
00:03:58,570 --> 00:04:02,630
.

81
00:04:02,630 --> 00:04:05,230
.

82
00:04:05,230 --> 00:04:06,910
Bu ifade sadece burada üs,

83
00:04:06,910 --> 00:04:12,820
yani onu x^x çarpı ln x şeklinde yazabiliriz.

84
00:04:12,820 --> 00:04:17,260
.

85
00:04:17,260 --> 00:04:21,200
Artık eşitliğimiz ln y = x^x ln x ifadesine sadeleşmiş oldu.

86
00:04:21,200 --> 00:04:25,770
.

87
00:04:25,770 --> 00:04:26,940
.

88
00:04:26,940 --> 00:04:29,890
Ama x^x ifadesi hala orada duruyor.

89
00:04:29,890 --> 00:04:33,600
Burada türev almanın kolay bir yolunu bilmiyoruz,

90
00:04:33,600 --> 00:04:36,310
fakat az önce gösterdiğim bu ifadenin türevinin alınışını

91
00:04:36,310 --> 00:04:38,720
burada kullanacağız.

92
00:04:38,720 --> 00:04:40,890
Aslında tekrar doğal logaritma alacaktım ama sonra

93
00:04:40,890 --> 00:04:45,250
bu videoda daha önce x^x in türevini çözdüğümü hatırladım.

94
00:04:45,250 --> 00:04:47,340
.

95
00:04:47,340 --> 00:04:50,230
.

96
00:04:50,230 --> 00:04:51,660
İşte buradaki ifade.

97
00:04:51,660 --> 00:04:53,390
.

98
00:04:53,390 --> 00:04:57,890
Bunu hatırlayıp, uygulayıp, sonra da problemimizi çözmemiz gerekiyor.

99
00:04:57,890 --> 00:04:59,620
.

100
00:04:59,620 --> 00:05:01,350
Haydi problemi çözelim.

101
00:05:01,350 --> 00:05:05,480
Eğer daha önce bunu çözmemiş olsaydık,

102
00:05:05,480 --> 00:05:08,470
ki burada bir şeyin kolay versiyonunu çözmenin beklenmeyen yararı ortaya çıkıyor,

103
00:05:08,470 --> 00:05:12,640
burada doğal logaritma almaya devam edecek

104
00:05:12,640 --> 00:05:13,930
ve soruyu daha karışık hale getirecektik.

105
00:05:13,930 --> 00:05:15,970
Ama x^x 'in türevini bildiğimize göre,

106
00:05:15,970 --> 00:05:18,150
uygulayalım.

107
00:05:18,150 --> 00:05:20,540
Eşitliğin iki tarafının da türevini alacağız.

108
00:05:20,540 --> 00:05:21,530
.

109
00:05:21,530 --> 00:05:26,060
Bu kısmın türevi, eşittir bu kısmın türevi.

110
00:05:26,060 --> 00:05:28,160
Bu kısmı şimdilik önemsemeyeceğiz.

111
00:05:28,160 --> 00:05:31,780
Bu kısmın x'e göre türevi, ln y 'nin y'ye göre türevi olacaktır.

112
00:05:31,780 --> 00:05:34,700
.

113
00:05:34,700 --> 00:05:38,160
Yani, 1/y kere y'nin x'e göre türevi.

114
00:05:38,160 --> 00:05:38,965
.

115
00:05:38,965 --> 00:05:40,630
Sadece örtülü diferansiyel konusunda öğrendiğimiz zincir kuralını uyguluyoruz.

116
00:05:40,630 --> 00:05:43,010
.

117
00:05:43,010 --> 00:05:48,870
Bu ifade ise,

118
00:05:48,870 --> 00:05:51,760
ilk terimin türevi çarpı ikinci terime eşittir.

119
00:05:51,760 --> 00:05:54,280
Buraya yazacağım, çünkü basamak atlayıp insanların kafasını karıştırmak istemiyorum.

120
00:05:54,280 --> 00:05:57,615
Yani, eşittir x^x 'in türevi çarpı ln x

121
00:05:57,615 --> 00:06:03,370
.

122
00:06:03,370 --> 00:06:05,690
artı ln x 'in türevi çarpı x^x.

123
00:06:05,690 --> 00:06:11,040
.

124
00:06:11,040 --> 00:06:14,100
Şimdi eşitliğin sağ tarafına odaklanalım.

125
00:06:14,100 --> 00:06:17,980
x^x 'in x'e göre türevi nedir?

126
00:06:17,980 --> 00:06:19,920
Bu problemi az önce burada çözmüştük.

127
00:06:19,920 --> 00:06:23,730
x^x (ln x + 1) olacak.

128
00:06:23,730 --> 00:06:30,040
Yani bu parça,

129
00:06:30,040 --> 00:06:33,720
.

130
00:06:33,720 --> 00:06:41,130
x^x (ln x + 1) olacak.

131
00:06:41,130 --> 00:06:42,810
Sonra ln x ile çarpacağız.

132
00:06:42,810 --> 00:06:44,070
.

133
00:06:44,070 --> 00:06:48,050
.

134
00:06:48,050 --> 00:06:51,560
Sonra da, artı ln x 'in türevi yapacağız.

135
00:06:51,560 --> 00:06:54,910
.

136
00:06:54,910 --> 00:06:59,310
Oldukça açık, 1/x x^x ekleyeceğiz.

137
00:06:59,310 --> 00:07:03,010
.

138
00:07:03,010 --> 00:07:05,690
Eşitliğin sol tarafı ise 1/y dy/dx di.

139
00:07:05,690 --> 00:07:10,432
.

140
00:07:10,432 --> 00:07:14,740
Şimdi eşitliğin iki tarafını da y ile çarparız ve

141
00:07:14,740 --> 00:07:22,470
dy/dx = y(x^x (ln x + 1)ln x + x^(x-1) ) i elde ederiz.

142
00:07:22,470 --> 00:07:27,840
.

143
00:07:27,840 --> 00:07:34,520
.

144
00:07:34,520 --> 00:07:36,000
.

145
00:07:36,000 --> 00:07:38,890
.

146
00:07:38,890 --> 00:07:39,750
.

147
00:07:39,750 --> 00:07:44,650
.

148
00:07:44,650 --> 00:07:48,640
Eğer buradaki y'yi istemezsek, yerine yeniden x^(x^x) i yazabiliriz.

149
00:07:48,640 --> 00:07:49,890
.

150
00:07:49,890 --> 00:07:53,440
.

151
00:07:53,440 --> 00:07:59,110
Yani, son cevabımız

152
00:07:59,110 --> 00:08:01,120
.

153
00:08:01,120 --> 00:08:03,220
.

154
00:08:03,220 --> 00:08:07,480
.

155
00:08:07,480 --> 00:08:11,370
.

156
00:08:11,370 --> 00:08:21,480
dy/dx = x^(x^x) ( x^x (ln x + 1)ln x + x^(x-1) oluyor.

157
00:08:21,480 --> 00:08:27,580
.

158
00:08:27,580 --> 00:08:34,080
.

159
00:08:34,080 --> 00:08:34,940
Kim böyle düşünürdü ki.

160
00:08:34,940 --> 00:08:36,460
Matematik bazen zekice ve zariftir.

161
00:08:36,460 --> 00:08:37,870
Böyle bir ifadenin türevini alırsın ve düzenli bir ifade elde edersin.

162
00:08:37,870 --> 00:08:39,080
.

163
00:08:39,080 --> 00:08:42,320
Örneğin, ln x 'in türevini aldığımızda, 1/x 'i elde ederiz.

164
00:08:42,320 --> 00:08:43,774
.

165
00:08:43,774 --> 00:08:46,340
Bu çok kolaydır, ve matematiğin bu şekilde işlemesi hoştur.

166
00:08:46,340 --> 00:08:47,030
.

167
00:08:47,030 --> 00:08:50,130
Fakat bazen çok kolay görünen bir şey üzerinde işlemler yaparsın

168
00:08:50,130 --> 00:08:52,070
ama karışık fakat oldukça ilgi çekici bir problem elde edersin.

169
00:08:52,070 --> 00:08:55,420
.

170
00:08:55,420 --> 00:08:59,800
.

171
00:08:59,800 --> 00:09:00,080
İşte bu kadar.

172
00:09:00,080 --> 00:09:01,524
.