0:00:00.000,0:00:00.550
.

0:00:00.550,0:00:03.660
Klasik örtülü diferansiyel(türev) sorularından birisi

0:00:03.660,0:00:10.900
y'nin x üzeri x'e eşit olmasıdır.

0:00:10.900,0:00:13.810
Yani, y'nin x'e göre türevinin alınmasıdır.

0:00:13.810,0:00:16.350
.

0:00:16.350,0:00:19.520
Çogu kişi buna baktığı zaman, sabit bir üs yok,

0:00:19.520,0:00:21.800
yani burada türev alma kurallarını kullanamam,

0:00:21.800,0:00:23.300
nasıl yapacağım diye düşünür.

0:00:23.300,0:00:26.090
Buradaki püf nokta ise iki tarafın da

0:00:26.090,0:00:27.860
doğal logaritmasının alınmasıdır.

0:00:27.860,0:00:29.530
Bunu da bu videoda

0:00:29.530,0:00:30.460
yapacağız.

0:00:30.460,0:00:34.530
İki tarafın da doğal logaritmasını aldığınızda

0:00:34.530,0:00:38.570
y'nin doğal logaritması

0:00:38.570,0:00:40.880
x üzeri x'in doğal logaritmasına eşit olur.

0:00:40.880,0:00:44.750
Logaritmik türev formülleri, ya da doğal logaritma kuralları şöyle söyler,

0:00:44.750,0:00:46.550
eğer bir şey üzeri bir şeyin doğal logaritmasını alıyorsam,

0:00:46.550,0:00:50.730
bunu şu şekilde yeniden yazarsam,

0:00:50.730,0:00:54.690
x üzeri x 'in doğal logaritması

0:00:54.690,0:00:56.550
x kere x'in doğal logaritmasına eşit olur.

0:00:56.550,0:00:59.380
Her şeyi yeniden yazalım.

0:00:59.380,0:01:01.910
Eşitliğin iki tarafının da doğal logaritmasını alırsam

0:01:01.910,0:01:06.190
ln y = x ln x olur.

0:01:06.190,0:01:08.530
.

0:01:08.530,0:01:11.100
Şimdi eşitliğin iki tarafının da x'e göre türevini alabiliriz.

0:01:11.100,0:01:12.350
.

0:01:12.350,0:01:15.640
Eşitliğin bu kısmının x'e göre türevi,

0:01:15.640,0:01:19.440
ve eşitliğin diğer kısmının x'e göre türevi.

0:01:19.440,0:01:24.710
Burada zincir kuralını uygulayacağız.

0:01:24.710,0:01:25.520
Zincir kuralına göre bunun x'e göre türevi nedir?

0:01:25.520,0:01:27.730
.

0:01:27.730,0:01:30.840
Parantezin içerisindeki ifadenin

0:01:30.840,0:01:32.330
x'e göre türevi nedir?

0:01:32.330,0:01:35.390
Bu bir örtülü türev olduğundan,

0:01:35.390,0:01:38.600
y'nin,

0:01:38.600,0:01:40.710
x kere tüm bu kısmın içerisindeki fonksiyona göre türevidir.

0:01:40.710,0:01:44.150
x'in doğal logaritmasının türevi 1/x'tir.

0:01:44.150,0:01:45.690
y'nin doğal logaritmasının y'ye göre türevi

0:01:45.690,0:01:48.840
de 1/y olur.

0:01:48.840,0:01:50.080
Çarpı 1/y...

0:01:50.080,0:01:52.600
.

0:01:52.600,0:01:55.450
Bunun türevi

0:01:55.450,0:01:59.740
(sadece çarpma kuralını kullanıyoruz)

0:01:59.740,0:02:03.610
ilk terimin yani 1'in türevi, çarpı ikinci terim yani ln x,

0:02:03.610,0:02:08.760
artı ikinci kısmın türevi yani 1/x kere ilk terim yapar.

0:02:08.760,0:02:11.550
.

0:02:11.550,0:02:13.380
Yani çarpı x.

0:02:13.380,0:02:23.280
Yani, dy/dx çarpı 1/y eşittir

0:02:23.280,0:02:28.140
ln x artı 1'i elde ederiz. (x'ler sadeleşti)

0:02:28.140,0:02:30.260
Sonra iki tarafı da y ile çarparız

0:02:30.260,0:02:35.590
ve dy/dx = y(ln x + 1) eşitliğini elde ederiz.

0:02:35.590,0:02:37.610
.

0:02:37.610,0:02:40.360
Eğer y'nin burada durması sizi rahatsız ettiyse

0:02:40.360,0:02:41.410
yerine koyma kuralını kullanabilir

0:02:41.410,0:02:43.620
ve y yerine x üzeri x yazabilirsiniz.

0:02:43.620,0:02:47.410
Yani, dy/dx = x^x (ln x + 1) şeklinde yazabilirsiniz.

0:02:47.410,0:02:52.890
.

0:02:52.890,0:02:55.950
Bu eğlenceli bir problemdi,

0:02:55.950,0:02:59.810
genelde yanıltmaca problemi olarak verilen tarzdaydı,

0:02:59.810,0:03:02.180
hatta doğal logaritmayı bilmeyenler için bonus soru bile olabilir.

0:03:02.180,0:03:05.290
Ama daha zor bir probleme geçeceğiz,

0:03:05.290,0:03:06.550
ve bu konuda takıldığımız bir problem olacak.

0:03:06.550,0:03:09.270
Fakat öncelikle bu problemi görmek daha iyi,

0:03:09.270,0:03:11.900
çünkü bize kullanacağımız temel yolu öğretiyor.

0:03:11.900,0:03:14.350
Şimdi yapacağımız soru, biraz daha zor bir soru olacak.

0:03:14.350,0:03:17.700
.

0:03:17.700,0:03:19.610
Yazmama izin verin.

0:03:19.610,0:03:26.990
Problem şu şekilde:

0:03:26.990,0:03:30.640
yeni kısmı ise burası, y = x^(x^x) .

0:03:30.640,0:03:33.700
Ve biz dy/dx 'i bulmak istiyoruz.

0:03:33.700,0:03:36.310
Yani, y'nin x'e göre türevini bulmak istiyoruz.

0:03:36.310,0:03:38.630
.

0:03:38.630,0:03:41.300
Bu problemi çözmek için de aynı yolu kullanacağız.

0:03:41.300,0:03:44.320
Bu ifadeyi uğraşabileceğimiz ifadelere parçalamak için doğal logaritmayı kullanacağız.

0:03:44.320,0:03:47.000
.

0:03:47.000,0:03:48.780
Bunu çarpma kuralını kullanabilmek için yapacağız.

0:03:48.780,0:03:51.300
Şimdi geçen sefer yaptığımız gibi

0:03:51.300,0:03:52.810
eşitliğin iki tarafının da doğal logaritmasını alalım.

0:03:52.810,0:03:58.570
ln y = ln x^(x^x) ifadesini elde ederiz.

0:03:58.570,0:04:02.630
.

0:04:02.630,0:04:05.230
.

0:04:05.230,0:04:06.910
Bu ifade sadece burada üs,

0:04:06.910,0:04:12.820
yani onu x^x çarpı ln x şeklinde yazabiliriz.

0:04:12.820,0:04:17.260
.

0:04:17.260,0:04:21.200
Artık eşitliğimiz ln y = x^x ln x ifadesine sadeleşmiş oldu.

0:04:21.200,0:04:25.770
.

0:04:25.770,0:04:26.940
.

0:04:26.940,0:04:29.890
Ama x^x ifadesi hala orada duruyor.

0:04:29.890,0:04:33.600
Burada türev almanın kolay bir yolunu bilmiyoruz,

0:04:33.600,0:04:36.310
fakat az önce gösterdiğim bu ifadenin türevinin alınışını

0:04:36.310,0:04:38.720
burada kullanacağız.

0:04:38.720,0:04:40.890
Aslında tekrar doğal logaritma alacaktım ama sonra

0:04:40.890,0:04:45.250
bu videoda daha önce x^x in türevini çözdüğümü hatırladım.

0:04:45.250,0:04:47.340
.

0:04:47.340,0:04:50.230
.

0:04:50.230,0:04:51.660
İşte buradaki ifade.

0:04:51.660,0:04:53.390
.

0:04:53.390,0:04:57.890
Bunu hatırlayıp, uygulayıp, sonra da problemimizi çözmemiz gerekiyor.

0:04:57.890,0:04:59.620
.

0:04:59.620,0:05:01.350
Haydi problemi çözelim.

0:05:01.350,0:05:05.480
Eğer daha önce bunu çözmemiş olsaydık,

0:05:05.480,0:05:08.470
ki burada bir şeyin kolay versiyonunu çözmenin beklenmeyen yararı ortaya çıkıyor,

0:05:08.470,0:05:12.640
burada doğal logaritma almaya devam edecek

0:05:12.640,0:05:13.930
ve soruyu daha karışık hale getirecektik.

0:05:13.930,0:05:15.970
Ama x^x 'in türevini bildiğimize göre,

0:05:15.970,0:05:18.150
uygulayalım.

0:05:18.150,0:05:20.540
Eşitliğin iki tarafının da türevini alacağız.

0:05:20.540,0:05:21.530
.

0:05:21.530,0:05:26.060
Bu kısmın türevi, eşittir bu kısmın türevi.

0:05:26.060,0:05:28.160
Bu kısmı şimdilik önemsemeyeceğiz.

0:05:28.160,0:05:31.780
Bu kısmın x'e göre türevi, ln y 'nin y'ye göre türevi olacaktır.

0:05:31.780,0:05:34.700
.

0:05:34.700,0:05:38.160
Yani, 1/y kere y'nin x'e göre türevi.

0:05:38.160,0:05:38.965
.

0:05:38.965,0:05:40.630
Sadece örtülü diferansiyel konusunda öğrendiğimiz zincir kuralını uyguluyoruz.

0:05:40.630,0:05:43.010
.

0:05:43.010,0:05:48.870
Bu ifade ise,

0:05:48.870,0:05:51.760
ilk terimin türevi çarpı ikinci terime eşittir.

0:05:51.760,0:05:54.280
Buraya yazacağım, çünkü basamak atlayıp insanların kafasını karıştırmak istemiyorum.

0:05:54.280,0:05:57.615
Yani, eşittir x^x 'in türevi çarpı ln x

0:05:57.615,0:06:03.370
.

0:06:03.370,0:06:05.690
artı ln x 'in türevi çarpı x^x.

0:06:05.690,0:06:11.040
.

0:06:11.040,0:06:14.100
Şimdi eşitliğin sağ tarafına odaklanalım.

0:06:14.100,0:06:17.980
x^x 'in x'e göre türevi nedir?

0:06:17.980,0:06:19.920
Bu problemi az önce burada çözmüştük.

0:06:19.920,0:06:23.730
x^x (ln x + 1) olacak.

0:06:23.730,0:06:30.040
Yani bu parça,

0:06:30.040,0:06:33.720
.

0:06:33.720,0:06:41.130
x^x (ln x + 1) olacak.

0:06:41.130,0:06:42.810
Sonra ln x ile çarpacağız.

0:06:42.810,0:06:44.070
.

0:06:44.070,0:06:48.050
.

0:06:48.050,0:06:51.560
Sonra da, artı ln x 'in türevi yapacağız.

0:06:51.560,0:06:54.910
.

0:06:54.910,0:06:59.310
Oldukça açık, 1/x x^x ekleyeceğiz.

0:06:59.310,0:07:03.010
.

0:07:03.010,0:07:05.690
Eşitliğin sol tarafı ise 1/y dy/dx di.

0:07:05.690,0:07:10.432
.

0:07:10.432,0:07:14.740
Şimdi eşitliğin iki tarafını da y ile çarparız ve

0:07:14.740,0:07:22.470
dy/dx = y(x^x (ln x + 1)ln x + x^(x-1) ) i elde ederiz.

0:07:22.470,0:07:27.840
.

0:07:27.840,0:07:34.520
.

0:07:34.520,0:07:36.000
.

0:07:36.000,0:07:38.890
.

0:07:38.890,0:07:39.750
.

0:07:39.750,0:07:44.650
.

0:07:44.650,0:07:48.640
Eğer buradaki y'yi istemezsek, yerine yeniden x^(x^x) i yazabiliriz.

0:07:48.640,0:07:49.890
.

0:07:49.890,0:07:53.440
.

0:07:53.440,0:07:59.110
Yani, son cevabımız

0:07:59.110,0:08:01.120
.

0:08:01.120,0:08:03.220
.

0:08:03.220,0:08:07.480
.

0:08:07.480,0:08:11.370
.

0:08:11.370,0:08:21.480
dy/dx = x^(x^x) ( x^x (ln x + 1)ln x + x^(x-1) oluyor.

0:08:21.480,0:08:27.580
.

0:08:27.580,0:08:34.080
.

0:08:34.080,0:08:34.940
Kim böyle düşünürdü ki.

0:08:34.940,0:08:36.460
Matematik bazen zekice ve zariftir.

0:08:36.460,0:08:37.870
Böyle bir ifadenin türevini alırsın ve düzenli bir ifade elde edersin.

0:08:37.870,0:08:39.080
.

0:08:39.080,0:08:42.320
Örneğin, ln x 'in türevini aldığımızda, 1/x 'i elde ederiz.

0:08:42.320,0:08:43.774
.

0:08:43.774,0:08:46.340
Bu çok kolaydır, ve matematiğin bu şekilde işlemesi hoştur.

0:08:46.340,0:08:47.030
.

0:08:47.030,0:08:50.130
Fakat bazen çok kolay görünen bir şey üzerinde işlemler yaparsın

0:08:50.130,0:08:52.070
ama karışık fakat oldukça ilgi çekici bir problem elde edersin.

0:08:52.070,0:08:55.420
.

0:08:55.420,0:08:59.800
.

0:08:59.800,0:09:00.080
İşte bu kadar.

0:09:00.080,0:09:01.524
.