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Ein klassisches Problem der implizieten Differentiation
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ist das Problem y gleich x hoch x.
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Und nun die Ableitung von y
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nach x herauszufinden.
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Und die Leute sehen die Aufgabe und sind verwirrt, denn man hat nicht einfach einen
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konstanten Exponenten hier, und somit kann ich nicht einfach die Exponentenregel benutzten,
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so wie kann man heran gehen.
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Un der Trick hier ist, einfach den natürlichen Logarithmus auf
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beiden Seiten der Gleichung anzuwenden.
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Und das ist was wir später in diesem Video
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machen werden
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Wenn wir also den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung anwenden
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bekommt man den natürlichen Logarithmus von y gleich dem natürlichen
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Logarithmus von x hoch x.
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Jetzt sagen uns die Exponentialregeln oder ich schätze mal unsere Logarithmusregeln
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sieh, wenn ich den natürlichen Logarithmus von irgendwas zu
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irgendwas nehme, ist das gleich zu, ich also für
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den natürlichen Logarithmus von x hoch x auch gleichbedeutend schreiben x mal
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der natürliche Logarithmus von x
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Lasst mich das nun noch einmal alles neu schreiben.
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Wenn ich den natürlichen Logarithmus von beiden Seiten von dieser Gleichung nehme,
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bekomme ich den natürlichen Logarithmus von y gleich x mal der
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natürliche Logarithmus von x.
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Und nun können wir beide Seiten von dieser Gleichung
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nach x ableiten.
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Die Ableitung nach x von dieser Gleichung und dann
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die Ableitung nach x of von dieser.
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Nun wenden wir ein kleinbisschen die Kettenregel an.
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Nun die Kettenregel.
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Was ist ist dies hier nach x abgeleitet?
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Was ist die Ableitung nach x
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von unserem inneren Ausdruck?
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Es ist eine kleine impliziete Differentiation, so es ist dy
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nach x abgeleitet mal die Ableitung von diesem ganzen
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Ausdruck abgeleitet nach dieser inneren Funktion.
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Die Ableitung des natürlichen Logarithmus von x ist 1/x.
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Damit ist die Ableitung des natürlichen Logarithmus von y nach y
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1/y
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damit mal 1/y
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Und die Ableitung von diesem hier - das ist einfach nur die Produktregel,
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ich werde willkürlich die Farbe an diesem Punkt ändern - ist die Ableitung
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vom ersten Term, welcher gleich 1 mal der zweite Term, also mal
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dem natürlichen Logarithmus von x plus der Ableitung des zweiten Terms,
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welcher gleich 1/x mal dem ersten Term ist.
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Also mal x.
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Und so bekommen wir dy/dx mal 1/y ist gleich dem natürlichen Logarithmus von x
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plus - das ergibt 1 - x dividiert mit x, und
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dann multipliziert man beide Seiten von diesem Ausdruck mit y.
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Man bekommt dy/dx ist gleich y mal der natürliche
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Logarithmus von x plus 1.
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Und wenn man dieses y hier nicht mag, kann man einfach
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die Substitution durchführen.
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y ist gleich x hoch x.
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Somit kann man sagen das die Ableitung von y nach x
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gleich x hoch x mal dem natürlichen Logarithmus von x + 1 ist.
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Und das ist ein "Spaß"-Problem, und ist oft gegeben als
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trickreiches Problem, oder manchmal auch ein "Zugabe"-Poblem, falls die Leute
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nicht wissen, dass man einfach den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten nehmen muss.
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Aber mir wurde ein noch schweres Problem gegeben und
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das ist was wir nun angehen wollen.
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Aber es ist gut wenn, dass wir uns erst diesem Problem angenommen haben denn
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es gibt uns die grundlegenden Werkzeuge.
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Nun das schwerere Problem was wir bearbeiten werden
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ist dieses hier.
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Lasst mich es niederschreiben.
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Nun das Problem ist y ist gleich -- und hier ist das Besondere --
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x hoch x hoch x
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Und wir wollen dy/dx berechnen.
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Wir wollen die Ableitung von y
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nach x herausfinden
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Nun, um dieses Problem zu lösen benutzen wir in erster Linie die gleichen Werkzeuge.
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Wir benutzen den natürlichen Logarithmus im in erster Linie den
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Exponnenten herunter zu brechen und den Term in eine Form zu bringen, mit der wir arbeiten können.
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Wir können also die Produktregel anwenden.
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Lasst uns also den natürlichen Logarithmus auf beiden dieser Gleichung anwenden,
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ganz so wie wir es auch zuletzt getan haben.
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Man bekommt den natürlichen Logarithmus von y ist gleich dem natürlichen Logarithmus
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von x hoch x hoch x.
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Und das ist einfach der Exponent von diesem hier.
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Also können wir dies auch schreiben als: x hoch x ma
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l dem natürlichen Logarithmus von x.
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Die Struktur der Gleichung wurde zu folgendem vereinfacht:
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der natürliche Logarithmus von y gleich x hoch x mal dem
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natürlichen Logarithmus von x.
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Aber wir haben immer noch das eklige x hoch x hier.
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wir kennen keinen einfachen Weg um dies hier abzuleiten, obwohl, ich habe doch tatsächlich gerade eben
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gezeigt, was die Ableitung von diesem hier ist,
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also können wir dies einfach jetzt erneut anwenden.
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I werde den natürlichen Logarithmus erneut ziehen und es würde in
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dieses große, chaotische und verwirrende Ding umwandeln, ABER ich bemerkte
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das ich, die Ableitung von x hoch x, bereits zuvor
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in diesem Video gelöst habe
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Es ist dieses Zeug direkt hier.
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Es ist dieser verrückte Ausdruck hier rechts.
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Wir müssen uns also nur daran erinnern und es auf unser
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Problem anwenden.
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Beginnen wir also mit unserem Problem.
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Und wenn wir dies hier nicht schon zuvor gelöst hätten, es war
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ein unerwarteter Mehrwert die einfacherer Version zu lösen,
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könnte man auch einfach den natürlichen Logarithmus von diesem hier nehmen,
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dies allerdings wird einfach ein wenig chaotischer.
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Aber da wir bereits wissen was die Ableitung von x hoch x ist
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lasst uns das einfach anwenden.
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Wir leiten also beide Seiten der
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Gleichung ab.
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Die Ableitung von diesem ist gleich der Ableitung von diesem hier.
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Wir werden dies hier für einen Moment ignorieren.
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Die Ableitung von disem hier nach x ist die Ableitung vom
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natürlichen Logarithmus von y nach x.
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Nun, das ist 1/y mal die Ableitung von y
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nach x.
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Das ist einfach die Kettenregel.
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Wir haben dies bei der implizieten Differentiation gelernt.
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Und darum ist dies gleich der Ableitung des ersten Terms
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mal dem zweiten Term. Ich werde es hier nochmal ausformuliert hinschreiben,
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da ich keine Schritte überspringen und Leute verwirren will.
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Das ist gleich der Ableitung nach x von:
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x hoch x mal dem natürlichen Logarithmus von x plus der Ableitung
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des natürlichen Logarithmus von x mal x hoch x
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nach x.
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Konzentrieren wir uns zunächst auf die rechte Seite der Gleichung.
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Was ist die Ableitung von x hoch x nach x?
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Nun wir haben dieses Problem bereits gelöst.
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Es ist x hoch x mal dem natürlichen Logarithmus von x plus 1.
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Also dieses Teil hier -- Ich hab schon wieder vergessen was es war --
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es war x hoch x mal dem natürlichen Logarithmus von x plus 1.
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Das ist x hoch mal dem natürlichen Logarithmus von x plus 1.
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Und jetzt multiplizieren wir dies mit
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dem natürlichen Logarithmus von x.
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Und dann addieren wir das dazu, plus der Ableitung
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des natürlichen Logarithmus von x.
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Das ist einfach 1/x mal x hoch x.
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Und natürlich war die linke Seite der Gleichung
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einfach 1/y dy/dx.
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Und wir können beide Seiten nun mit y multiplizieren und erhalten
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dy/dx gleich y mal -- dem ganzem verrücktem Zeug -- x hoch x mal dem
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dem natürlichen Logarithmus von x plus 1 mal dem natürlichen Logarithmus von
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x plus 1/x mal x hoch x.
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Das ist x hoch -1.
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Wir können dies als x hoch -1 schreiben, und kann man
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die exponenten addieren.
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Man könnte das auch als x hoch (x minus 1) schreiben.
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Und wenn uns das y hier nicht gefällt, können wir es einfach
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zurück substituieren.
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y war gleich dem hier, dieses verrückte Zeug direkt hier.
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Unsere endgültige Antwort für dieses scheinbar -- nun in gewisser Weise
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sieht es wie ein einfaches Problem aus, aber von einer anderen Perspektive
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scheint es ein
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sehr kompliziertes Problem zu sein -- man bekommt also für die Ableitung von y
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nach x gleich y, was genau das hier ist.
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Das x hoch x hoch x mal all dem zeug -- mal
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x hoch x mal dem natürlichen Logarithmus von x plus 1 mal dem natürlichen Logarithmus
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von x, und dann noch all dieses plus x hoch x minus 1.
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Wer hätte das gedacht.
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Mathe kann manchmal auch elegant sein.
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Man berechnet die Ableitung von irgendetwas (wie das hier)
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und bekommt etwas Akkurates.
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Zum Beispiel bekommt man wenn man die Ableitung vom
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natürlichen Logarithmus von x berechnet, 1/x.
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Das ist sehr einfach und elegant, und es ist schön
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das die Mathematik in dieser Weise funktioniert.
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Aber manchmal führt man eine operation durch
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und etwas was sehr leicht und elegant aussieht
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wird zu einer sehr unangenehmen und haarigen Angelegenheit,
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aber es ist sicherlich ein sehr interessantes Problem.
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Also was soll's.
