0:00:00.550,0:00:03.660
Ein klassisches Problem der implizieten Differentiation

0:00:03.660,0:00:10.900
ist das Problem y gleich x hoch x.

0:00:10.900,0:00:13.810
Und nun die Ableitung von y

0:00:13.810,0:00:16.350
nach x herauszufinden.

0:00:16.350,0:00:19.520
Und die Leute sehen die Aufgabe und sind verwirrt, denn man hat nicht einfach einen

0:00:19.520,0:00:21.800
konstanten Exponenten hier, und somit kann ich nicht einfach die Exponentenregel benutzten,

0:00:21.800,0:00:23.300
so wie kann man heran gehen.

0:00:23.300,0:00:26.090
Un der Trick hier ist, einfach den natürlichen Logarithmus auf

0:00:26.090,0:00:27.860
beiden Seiten der Gleichung anzuwenden.

0:00:27.860,0:00:29.530
Und das ist was wir später in diesem Video

0:00:29.530,0:00:30.460
machen werden

0:00:30.460,0:00:34.530
Wenn wir also den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung anwenden

0:00:34.530,0:00:38.570
bekommt man den natürlichen Logarithmus von y gleich dem natürlichen

0:00:38.570,0:00:40.880
Logarithmus von x hoch x.

0:00:40.880,0:00:44.750
Jetzt sagen uns die Exponentialregeln oder ich schätze mal unsere Logarithmusregeln

0:00:44.750,0:00:46.550
sieh, wenn ich den natürlichen Logarithmus von irgendwas zu

0:00:46.550,0:00:50.730
irgendwas nehme, ist das gleich zu, ich also für

0:00:50.730,0:00:54.690
den natürlichen Logarithmus von x hoch x auch gleichbedeutend schreiben x mal

0:00:54.690,0:00:56.550
der natürliche Logarithmus von x

0:00:56.550,0:00:59.380
Lasst mich das nun noch einmal alles neu schreiben.

0:00:59.380,0:01:01.910
Wenn ich den natürlichen Logarithmus von beiden Seiten von dieser Gleichung nehme,

0:01:01.910,0:01:06.190
bekomme ich den natürlichen Logarithmus von y gleich x mal der

0:01:06.190,0:01:08.530
natürliche Logarithmus von x.

0:01:08.530,0:01:11.100
Und nun können wir beide Seiten von dieser Gleichung

0:01:11.100,0:01:12.350
nach x ableiten.

0:01:12.350,0:01:15.640
Die Ableitung nach x von dieser Gleichung und dann

0:01:15.640,0:01:19.440
die Ableitung nach x of von dieser.

0:01:19.440,0:01:24.710
Nun wenden wir ein kleinbisschen die Kettenregel an.

0:01:24.710,0:01:25.520
Nun die Kettenregel.

0:01:25.520,0:01:27.730
Was ist ist dies hier nach x abgeleitet?

0:01:27.730,0:01:30.840
Was ist die Ableitung nach x

0:01:30.840,0:01:32.330
von unserem inneren Ausdruck?

0:01:32.330,0:01:35.390
Es ist eine kleine impliziete Differentiation, so es ist dy

0:01:35.390,0:01:38.600
nach x abgeleitet mal die Ableitung von diesem ganzen

0:01:38.600,0:01:40.710
Ausdruck abgeleitet nach dieser inneren Funktion.

0:01:40.710,0:01:44.150
Die Ableitung des natürlichen Logarithmus von x ist 1/x.

0:01:44.150,0:01:45.690
Damit ist die Ableitung des natürlichen Logarithmus von y nach y

0:01:45.690,0:01:48.840
1/y

0:01:48.840,0:01:50.080
damit mal 1/y

0:01:52.600,0:01:55.450
Und die Ableitung von diesem hier - das ist einfach nur die Produktregel,

0:01:55.450,0:01:59.740
ich werde willkürlich die Farbe an diesem Punkt ändern - ist die Ableitung

0:01:59.740,0:02:03.610
vom ersten Term, welcher gleich 1 mal der zweite Term, also mal

0:02:03.610,0:02:08.760
dem natürlichen Logarithmus von x plus der Ableitung des zweiten Terms,

0:02:08.760,0:02:11.550
welcher gleich 1/x mal dem ersten Term ist.

0:02:11.550,0:02:13.380
Also mal x.

0:02:13.380,0:02:23.280
Und so bekommen wir dy/dx mal 1/y ist gleich dem natürlichen Logarithmus von x

0:02:23.280,0:02:28.140
plus - das ergibt 1 - x dividiert mit x, und

0:02:28.140,0:02:30.260
dann multipliziert man beide Seiten von diesem Ausdruck mit y.

0:02:30.260,0:02:35.590
Man bekommt dy/dx ist gleich y mal der natürliche

0:02:35.590,0:02:37.610
Logarithmus von x plus 1.

0:02:37.610,0:02:40.360
Und wenn man dieses y hier nicht mag, kann man einfach

0:02:40.360,0:02:41.410
die Substitution durchführen.

0:02:41.410,0:02:43.620
y ist gleich x hoch x.

0:02:43.620,0:02:47.410
Somit kann man sagen das die Ableitung von y nach x

0:02:47.410,0:02:52.890
gleich x hoch x mal dem natürlichen Logarithmus von x + 1 ist.

0:02:52.890,0:02:55.950
Und das ist ein "Spaß"-Problem, und ist oft gegeben als

0:02:55.950,0:02:59.810
trickreiches Problem, oder manchmal auch ein "Zugabe"-Poblem, falls die Leute

0:02:59.810,0:03:02.180
nicht wissen, dass man einfach den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten nehmen muss.

0:03:02.180,0:03:05.290
Aber mir wurde ein noch schweres Problem gegeben und

0:03:05.290,0:03:06.550
das ist was wir nun angehen wollen.

0:03:06.550,0:03:09.270
Aber es ist gut wenn, dass wir uns erst diesem Problem angenommen haben denn

0:03:09.270,0:03:11.900
es gibt uns die grundlegenden Werkzeuge.

0:03:11.900,0:03:14.350
Nun das schwerere Problem was wir bearbeiten werden

0:03:14.350,0:03:17.700
ist dieses hier.

0:03:17.700,0:03:19.610
Lasst mich es niederschreiben.

0:03:19.610,0:03:26.990
Nun das Problem ist y ist gleich -- und hier ist das Besondere --

0:03:26.990,0:03:30.640
x hoch x hoch x

0:03:30.640,0:03:33.700
Und wir wollen dy/dx berechnen.

0:03:33.700,0:03:36.310
Wir wollen die Ableitung von y

0:03:36.310,0:03:38.630
nach x herausfinden

0:03:38.630,0:03:41.300
Nun, um dieses Problem zu lösen benutzen wir in erster Linie die gleichen Werkzeuge.

0:03:41.300,0:03:44.320
Wir benutzen den natürlichen Logarithmus im in erster Linie den

0:03:44.320,0:03:47.000
Exponnenten herunter zu brechen und den Term in eine Form zu bringen, mit der wir arbeiten können.

0:03:47.000,0:03:48.780
Wir können also die Produktregel anwenden.

0:03:48.780,0:03:51.300
Lasst uns also den natürlichen Logarithmus auf beiden dieser Gleichung anwenden,

0:03:51.300,0:03:52.810
ganz so wie wir es auch zuletzt getan haben.

0:03:52.810,0:03:58.570
Man bekommt den natürlichen Logarithmus von y ist gleich dem natürlichen Logarithmus

0:03:58.570,0:04:02.630
von x hoch x hoch x.

0:04:05.230,0:04:06.910
Und das ist einfach der Exponent von diesem hier.

0:04:06.910,0:04:12.820
Also können wir dies auch schreiben als: x hoch x ma

0:04:12.820,0:04:17.260
l dem natürlichen Logarithmus von x.

0:04:17.260,0:04:21.200
Die Struktur der Gleichung wurde zu folgendem vereinfacht:

0:04:21.200,0:04:25.770
der natürliche Logarithmus von y gleich x hoch x mal dem

0:04:25.770,0:04:26.940
natürlichen Logarithmus von x.

0:04:26.940,0:04:29.890
Aber wir haben immer noch das eklige x hoch x hier.

0:04:29.890,0:04:33.600
wir kennen keinen einfachen Weg um dies hier abzuleiten, obwohl, ich habe doch tatsächlich gerade eben

0:04:33.600,0:04:36.310
gezeigt, was die Ableitung von diesem hier ist,

0:04:36.310,0:04:38.720
also können wir dies einfach jetzt erneut anwenden.

0:04:38.720,0:04:40.890
I werde den natürlichen Logarithmus erneut ziehen und es würde in

0:04:40.890,0:04:45.250
dieses große, chaotische und verwirrende Ding umwandeln, ABER ich bemerkte

0:04:45.250,0:04:47.340
das ich, die Ableitung von x hoch x, bereits zuvor

0:04:47.340,0:04:50.230
in diesem Video gelöst habe

0:04:50.230,0:04:51.660
Es ist dieses Zeug direkt hier.

0:04:51.660,0:04:53.390
Es ist dieser verrückte Ausdruck hier rechts.

0:04:53.390,0:04:57.890
Wir müssen uns also nur daran erinnern und es auf unser

0:04:57.890,0:04:59.620
Problem anwenden.

0:04:59.620,0:05:01.350
Beginnen wir also mit unserem Problem.

0:05:01.350,0:05:05.480
Und wenn wir dies hier nicht schon zuvor gelöst hätten, es war

0:05:05.480,0:05:08.470
ein unerwarteter Mehrwert die einfacherer Version zu lösen,

0:05:08.470,0:05:12.640
könnte man auch einfach den natürlichen Logarithmus von diesem hier nehmen,

0:05:12.640,0:05:13.930
dies allerdings wird einfach ein wenig chaotischer.

0:05:13.930,0:05:15.970
Aber da wir bereits wissen was die Ableitung von x hoch x ist

0:05:15.970,0:05:18.150
lasst uns das einfach anwenden.

0:05:18.150,0:05:20.540
Wir leiten also beide Seiten der

0:05:20.540,0:05:21.530
Gleichung ab.

0:05:21.530,0:05:26.060
Die Ableitung von diesem ist gleich der Ableitung von diesem hier.

0:05:26.060,0:05:28.160
Wir werden dies hier für einen Moment ignorieren.

0:05:28.160,0:05:31.780
Die Ableitung von disem hier nach x ist die Ableitung vom

0:05:31.780,0:05:34.700
natürlichen Logarithmus von y nach x.

0:05:34.700,0:05:38.160
Nun, das ist 1/y mal die Ableitung von y

0:05:38.160,0:05:38.965
nach x.

0:05:38.965,0:05:40.630
Das ist einfach die Kettenregel.

0:05:40.630,0:05:43.010
Wir haben dies bei der implizieten Differentiation gelernt.

0:05:43.010,0:05:48.870
Und darum ist dies gleich der Ableitung des ersten Terms

0:05:48.870,0:05:51.760
mal dem zweiten Term. Ich werde es hier nochmal ausformuliert hinschreiben,

0:05:51.760,0:05:54.280
da ich keine Schritte überspringen und Leute verwirren will.

0:05:54.280,0:05:57.615
Das ist gleich der Ableitung nach x von:

0:05:57.615,0:06:03.370
x hoch x mal dem natürlichen Logarithmus von x plus der Ableitung

0:06:03.370,0:06:05.690
des natürlichen Logarithmus von x mal x hoch x

0:06:05.690,0:06:11.040
nach x.

0:06:11.040,0:06:14.100
Konzentrieren wir uns zunächst auf die rechte Seite der Gleichung.

0:06:14.100,0:06:17.980
Was ist die Ableitung von x hoch x nach x?

0:06:17.980,0:06:19.920
Nun wir haben dieses Problem bereits gelöst.

0:06:19.920,0:06:23.730
Es ist x hoch x mal dem natürlichen Logarithmus von x plus 1.

0:06:23.730,0:06:30.040
Also dieses Teil hier -- Ich hab schon wieder vergessen was es war --

0:06:30.040,0:06:33.720
es war x hoch x mal dem natürlichen Logarithmus von x plus 1.

0:06:33.720,0:06:41.130
Das ist x hoch mal dem natürlichen Logarithmus von x plus 1.

0:06:41.130,0:06:42.810
Und jetzt multiplizieren wir dies mit

0:06:42.810,0:06:44.070
dem natürlichen Logarithmus von x.

0:06:48.050,0:06:51.560
Und dann addieren wir das dazu, plus der Ableitung

0:06:51.560,0:06:54.910
des natürlichen Logarithmus von x.

0:06:54.910,0:06:59.310
Das ist einfach 1/x mal x hoch x.

0:07:03.010,0:07:05.690
Und natürlich war die linke Seite der Gleichung

0:07:05.690,0:07:10.432
einfach 1/y dy/dx.

0:07:10.432,0:07:14.740
Und wir können beide Seiten nun mit y multiplizieren und erhalten

0:07:14.740,0:07:22.470
dy/dx gleich y mal -- dem ganzem verrücktem Zeug -- x hoch x mal dem

0:07:22.470,0:07:27.840
dem natürlichen Logarithmus von x plus 1 mal dem natürlichen Logarithmus von

0:07:27.840,0:07:34.520
x plus 1/x mal x hoch x.

0:07:34.520,0:07:36.000
Das ist x hoch -1.

0:07:36.000,0:07:38.890
Wir können dies als x hoch -1 schreiben, und kann man

0:07:38.890,0:07:39.750
die exponenten addieren.

0:07:39.750,0:07:44.650
Man könnte das auch als x hoch (x minus 1) schreiben.

0:07:44.650,0:07:48.640
Und wenn uns das y hier nicht gefällt, können wir es einfach

0:07:48.640,0:07:49.890
zurück substituieren.

0:07:49.890,0:07:53.440
y war gleich dem hier, dieses verrückte Zeug direkt hier.

0:07:53.440,0:07:59.110
Unsere endgültige Antwort für dieses scheinbar -- nun in gewisser Weise

0:07:59.110,0:08:01.120
sieht es wie ein einfaches Problem aus, aber von einer anderen Perspektive

0:08:01.120,0:08:03.220
scheint es ein

0:08:03.220,0:08:07.480
sehr kompliziertes Problem zu sein -- man bekommt also für die Ableitung von y

0:08:07.480,0:08:11.370
nach x gleich y, was genau das hier ist.

0:08:11.370,0:08:21.480
Das x hoch x hoch x mal all dem zeug -- mal

0:08:21.480,0:08:27.580
x hoch x mal dem natürlichen Logarithmus von x plus 1 mal dem natürlichen Logarithmus

0:08:27.580,0:08:34.080
von x, und dann noch all dieses plus x hoch x minus 1.

0:08:34.080,0:08:34.940
Wer hätte das gedacht.

0:08:34.940,0:08:36.460
Mathe kann manchmal auch elegant sein.

0:08:36.460,0:08:37.870
Man berechnet die Ableitung von irgendetwas (wie das hier)

0:08:37.870,0:08:39.080
und bekommt etwas Akkurates.

0:08:39.080,0:08:42.320
Zum Beispiel bekommt man wenn man die Ableitung vom

0:08:42.320,0:08:43.774
natürlichen Logarithmus von x berechnet, 1/x.

0:08:43.774,0:08:46.340
Das ist sehr einfach und elegant, und es ist schön

0:08:46.340,0:08:47.030
das die Mathematik in dieser Weise funktioniert.

0:08:47.030,0:08:50.130
Aber manchmal führt man eine operation durch

0:08:50.130,0:08:52.070
und etwas was sehr leicht und elegant aussieht

0:08:52.070,0:08:55.420
wird zu einer sehr unangenehmen und haarigen Angelegenheit,

0:08:55.420,0:08:59.800
aber es ist sicherlich ein sehr interessantes Problem.

0:08:59.800,0:09:00.080
Also was soll's.