WEBVTT 00:00:00.550 --> 00:00:03.660 Ein klassisches Problem der implizieten Differentiation 00:00:03.660 --> 00:00:10.900 ist das Problem y gleich x hoch x. 00:00:10.900 --> 00:00:13.810 Und nun die Ableitung von y 00:00:13.810 --> 00:00:16.350 nach x herauszufinden. 00:00:16.350 --> 00:00:19.520 Und die Leute sehen die Aufgabe und sind verwirrt, denn man hat nicht einfach einen 00:00:19.520 --> 00:00:21.800 konstanten Exponenten hier, und somit kann ich nicht einfach die Exponentenregel benutzten, 00:00:21.800 --> 00:00:23.300 so wie kann man heran gehen. 00:00:23.300 --> 00:00:26.090 Un der Trick hier ist, einfach den natürlichen Logarithmus auf 00:00:26.090 --> 00:00:27.860 beiden Seiten der Gleichung anzuwenden. 00:00:27.860 --> 00:00:29.530 Und das ist was wir später in diesem Video 00:00:29.530 --> 00:00:30.460 machen werden 00:00:30.460 --> 00:00:34.530 Wenn wir also den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung anwenden 00:00:34.530 --> 00:00:38.570 bekommt man den natürlichen Logarithmus von y gleich dem natürlichen 00:00:38.570 --> 00:00:40.880 Logarithmus von x hoch x. 00:00:40.880 --> 00:00:44.750 Jetzt sagen uns die Exponentialregeln oder ich schätze mal unsere Logarithmusregeln 00:00:44.750 --> 00:00:46.550 sieh, wenn ich den natürlichen Logarithmus von irgendwas zu 00:00:46.550 --> 00:00:50.730 irgendwas nehme, ist das gleich zu, ich also für 00:00:50.730 --> 00:00:54.690 den natürlichen Logarithmus von x hoch x auch gleichbedeutend schreiben x mal 00:00:54.690 --> 00:00:56.550 der natürliche Logarithmus von x 00:00:56.550 --> 00:00:59.380 Lasst mich das nun noch einmal alles neu schreiben. 00:00:59.380 --> 00:01:01.910 Wenn ich den natürlichen Logarithmus von beiden Seiten von dieser Gleichung nehme, 00:01:01.910 --> 00:01:06.190 bekomme ich den natürlichen Logarithmus von y gleich x mal der 00:01:06.190 --> 00:01:08.530 natürliche Logarithmus von x. 00:01:08.530 --> 00:01:11.100 Und nun können wir beide Seiten von dieser Gleichung 00:01:11.100 --> 00:01:12.350 nach x ableiten. 00:01:12.350 --> 00:01:15.640 Die Ableitung nach x von dieser Gleichung und dann 00:01:15.640 --> 00:01:19.440 die Ableitung nach x of von dieser. 00:01:19.440 --> 00:01:24.710 Nun wenden wir ein kleinbisschen die Kettenregel an. 00:01:24.710 --> 00:01:25.520 Nun die Kettenregel. 00:01:25.520 --> 00:01:27.730 Was ist ist dies hier nach x abgeleitet? 00:01:27.730 --> 00:01:30.840 Was ist die Ableitung nach x 00:01:30.840 --> 00:01:32.330 von unserem inneren Ausdruck? 00:01:32.330 --> 00:01:35.390 Es ist eine kleine impliziete Differentiation, so es ist dy 00:01:35.390 --> 00:01:38.600 nach x abgeleitet mal die Ableitung von diesem ganzen 00:01:38.600 --> 00:01:40.710 Ausdruck abgeleitet nach dieser inneren Funktion. 00:01:40.710 --> 00:01:44.150 Die Ableitung des natürlichen Logarithmus von x ist 1/x. 00:01:44.150 --> 00:01:45.690 Damit ist die Ableitung des natürlichen Logarithmus von y nach y 00:01:45.690 --> 00:01:48.840 1/y 00:01:48.840 --> 00:01:50.080 damit mal 1/y 00:01:52.600 --> 00:01:55.450 Und die Ableitung von diesem hier - das ist einfach nur die Produktregel, 00:01:55.450 --> 00:01:59.740 ich werde willkürlich die Farbe an diesem Punkt ändern - ist die Ableitung 00:01:59.740 --> 00:02:03.610 vom ersten Term, welcher gleich 1 mal der zweite Term, also mal 00:02:03.610 --> 00:02:08.760 dem natürlichen Logarithmus von x plus der Ableitung des zweiten Terms, 00:02:08.760 --> 00:02:11.550 welcher gleich 1/x mal dem ersten Term ist. 00:02:11.550 --> 00:02:13.380 Also mal x. 00:02:13.380 --> 00:02:23.280 Und so bekommen wir dy/dx mal 1/y ist gleich dem natürlichen Logarithmus von x 00:02:23.280 --> 00:02:28.140 plus - das ergibt 1 - x dividiert mit x, und 00:02:28.140 --> 00:02:30.260 dann multipliziert man beide Seiten von diesem Ausdruck mit y. 00:02:30.260 --> 00:02:35.590 Man bekommt dy/dx ist gleich y mal der natürliche 00:02:35.590 --> 00:02:37.610 Logarithmus von x plus 1. 00:02:37.610 --> 00:02:40.360 Und wenn man dieses y hier nicht mag, kann man einfach 00:02:40.360 --> 00:02:41.410 die Substitution durchführen. 00:02:41.410 --> 00:02:43.620 y ist gleich x hoch x. 00:02:43.620 --> 00:02:47.410 Somit kann man sagen das die Ableitung von y nach x 00:02:47.410 --> 00:02:52.890 gleich x hoch x mal dem natürlichen Logarithmus von x + 1 ist. 00:02:52.890 --> 00:02:55.950 Und das ist ein "Spaß"-Problem, und ist oft gegeben als 00:02:55.950 --> 00:02:59.810 trickreiches Problem, oder manchmal auch ein "Zugabe"-Poblem, falls die Leute 00:02:59.810 --> 00:03:02.180 nicht wissen, dass man einfach den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten nehmen muss. 00:03:02.180 --> 00:03:05.290 Aber mir wurde ein noch schweres Problem gegeben und 00:03:05.290 --> 00:03:06.550 das ist was wir nun angehen wollen. 00:03:06.550 --> 00:03:09.270 Aber es ist gut wenn, dass wir uns erst diesem Problem angenommen haben denn 00:03:09.270 --> 00:03:11.900 es gibt uns die grundlegenden Werkzeuge. 00:03:11.900 --> 00:03:14.350 Nun das schwerere Problem was wir bearbeiten werden 00:03:14.350 --> 00:03:17.700 ist dieses hier. 00:03:17.700 --> 00:03:19.610 Lasst mich es niederschreiben. 00:03:19.610 --> 00:03:26.990 Nun das Problem ist y ist gleich -- und hier ist das Besondere -- 00:03:26.990 --> 00:03:30.640 x hoch x hoch x 00:03:30.640 --> 00:03:33.700 Und wir wollen dy/dx berechnen. 00:03:33.700 --> 00:03:36.310 Wir wollen die Ableitung von y 00:03:36.310 --> 00:03:38.630 nach x herausfinden 00:03:38.630 --> 00:03:41.300 Nun, um dieses Problem zu lösen benutzen wir in erster Linie die gleichen Werkzeuge. 00:03:41.300 --> 00:03:44.320 Wir benutzen den natürlichen Logarithmus im in erster Linie den 00:03:44.320 --> 00:03:47.000 Exponnenten herunter zu brechen und den Term in eine Form zu bringen, mit der wir arbeiten können. 00:03:47.000 --> 00:03:48.780 Wir können also die Produktregel anwenden. 00:03:48.780 --> 00:03:51.300 Lasst uns also den natürlichen Logarithmus auf beiden dieser Gleichung anwenden, 00:03:51.300 --> 00:03:52.810 ganz so wie wir es auch zuletzt getan haben. 00:03:52.810 --> 00:03:58.570 Man bekommt den natürlichen Logarithmus von y ist gleich dem natürlichen Logarithmus 00:03:58.570 --> 00:04:02.630 von x hoch x hoch x. 00:04:05.230 --> 00:04:06.910 Und das ist einfach der Exponent von diesem hier. 00:04:06.910 --> 00:04:12.820 Also können wir dies auch schreiben als: x hoch x ma 00:04:12.820 --> 00:04:17.260 l dem natürlichen Logarithmus von x. 00:04:17.260 --> 00:04:21.200 Die Struktur der Gleichung wurde zu folgendem vereinfacht: 00:04:21.200 --> 00:04:25.770 der natürliche Logarithmus von y gleich x hoch x mal dem 00:04:25.770 --> 00:04:26.940 natürlichen Logarithmus von x. 00:04:26.940 --> 00:04:29.890 Aber wir haben immer noch das eklige x hoch x hier. 00:04:29.890 --> 00:04:33.600 wir kennen keinen einfachen Weg um dies hier abzuleiten, obwohl, ich habe doch tatsächlich gerade eben 00:04:33.600 --> 00:04:36.310 gezeigt, was die Ableitung von diesem hier ist, 00:04:36.310 --> 00:04:38.720 also können wir dies einfach jetzt erneut anwenden. 00:04:38.720 --> 00:04:40.890 I werde den natürlichen Logarithmus erneut ziehen und es würde in 00:04:40.890 --> 00:04:45.250 dieses große, chaotische und verwirrende Ding umwandeln, ABER ich bemerkte 00:04:45.250 --> 00:04:47.340 das ich, die Ableitung von x hoch x, bereits zuvor 00:04:47.340 --> 00:04:50.230 in diesem Video gelöst habe 00:04:50.230 --> 00:04:51.660 Es ist dieses Zeug direkt hier. 00:04:51.660 --> 00:04:53.390 Es ist dieser verrückte Ausdruck hier rechts. 00:04:53.390 --> 00:04:57.890 Wir müssen uns also nur daran erinnern und es auf unser 00:04:57.890 --> 00:04:59.620 Problem anwenden. 00:04:59.620 --> 00:05:01.350 Beginnen wir also mit unserem Problem. 00:05:01.350 --> 00:05:05.480 Und wenn wir dies hier nicht schon zuvor gelöst hätten, es war 00:05:05.480 --> 00:05:08.470 ein unerwarteter Mehrwert die einfacherer Version zu lösen, 00:05:08.470 --> 00:05:12.640 könnte man auch einfach den natürlichen Logarithmus von diesem hier nehmen, 00:05:12.640 --> 00:05:13.930 dies allerdings wird einfach ein wenig chaotischer. 00:05:13.930 --> 00:05:15.970 Aber da wir bereits wissen was die Ableitung von x hoch x ist 00:05:15.970 --> 00:05:18.150 lasst uns das einfach anwenden. 00:05:18.150 --> 00:05:20.540 Wir leiten also beide Seiten der 00:05:20.540 --> 00:05:21.530 Gleichung ab. 00:05:21.530 --> 00:05:26.060 Die Ableitung von diesem ist gleich der Ableitung von diesem hier. 00:05:26.060 --> 00:05:28.160 Wir werden dies hier für einen Moment ignorieren. 00:05:28.160 --> 00:05:31.780 Die Ableitung von disem hier nach x ist die Ableitung vom 00:05:31.780 --> 00:05:34.700 natürlichen Logarithmus von y nach x. 00:05:34.700 --> 00:05:38.160 Nun, das ist 1/y mal die Ableitung von y 00:05:38.160 --> 00:05:38.965 nach x. 00:05:38.965 --> 00:05:40.630 Das ist einfach die Kettenregel. 00:05:40.630 --> 00:05:43.010 Wir haben dies bei der implizieten Differentiation gelernt. 00:05:43.010 --> 00:05:48.870 Und darum ist dies gleich der Ableitung des ersten Terms 00:05:48.870 --> 00:05:51.760 mal dem zweiten Term. Ich werde es hier nochmal ausformuliert hinschreiben, 00:05:51.760 --> 00:05:54.280 da ich keine Schritte überspringen und Leute verwirren will. 00:05:54.280 --> 00:05:57.615 Das ist gleich der Ableitung nach x von: 00:05:57.615 --> 00:06:03.370 x hoch x mal dem natürlichen Logarithmus von x plus der Ableitung 00:06:03.370 --> 00:06:05.690 des natürlichen Logarithmus von x mal x hoch x 00:06:05.690 --> 00:06:11.040 nach x. 00:06:11.040 --> 00:06:14.100 Konzentrieren wir uns zunächst auf die rechte Seite der Gleichung. 00:06:14.100 --> 00:06:17.980 Was ist die Ableitung von x hoch x nach x? 00:06:17.980 --> 00:06:19.920 Nun wir haben dieses Problem bereits gelöst. 00:06:19.920 --> 00:06:23.730 Es ist x hoch x mal dem natürlichen Logarithmus von x plus 1. 00:06:23.730 --> 00:06:30.040 Also dieses Teil hier -- Ich hab schon wieder vergessen was es war -- 00:06:30.040 --> 00:06:33.720 es war x hoch x mal dem natürlichen Logarithmus von x plus 1. 00:06:33.720 --> 00:06:41.130 Das ist x hoch mal dem natürlichen Logarithmus von x plus 1. 00:06:41.130 --> 00:06:42.810 Und jetzt multiplizieren wir dies mit 00:06:42.810 --> 00:06:44.070 dem natürlichen Logarithmus von x. 00:06:48.050 --> 00:06:51.560 Und dann addieren wir das dazu, plus der Ableitung 00:06:51.560 --> 00:06:54.910 des natürlichen Logarithmus von x. 00:06:54.910 --> 00:06:59.310 Das ist einfach 1/x mal x hoch x. 00:07:03.010 --> 00:07:05.690 Und natürlich war die linke Seite der Gleichung 00:07:05.690 --> 00:07:10.432 einfach 1/y dy/dx. 00:07:10.432 --> 00:07:14.740 Und wir können beide Seiten nun mit y multiplizieren und erhalten 00:07:14.740 --> 00:07:22.470 dy/dx gleich y mal -- dem ganzem verrücktem Zeug -- x hoch x mal dem 00:07:22.470 --> 00:07:27.840 dem natürlichen Logarithmus von x plus 1 mal dem natürlichen Logarithmus von 00:07:27.840 --> 00:07:34.520 x plus 1/x mal x hoch x. 00:07:34.520 --> 00:07:36.000 Das ist x hoch -1. 00:07:36.000 --> 00:07:38.890 Wir können dies als x hoch -1 schreiben, und kann man 00:07:38.890 --> 00:07:39.750 die exponenten addieren. 00:07:39.750 --> 00:07:44.650 Man könnte das auch als x hoch (x minus 1) schreiben. 00:07:44.650 --> 00:07:48.640 Und wenn uns das y hier nicht gefällt, können wir es einfach 00:07:48.640 --> 00:07:49.890 zurück substituieren. 00:07:49.890 --> 00:07:53.440 y war gleich dem hier, dieses verrückte Zeug direkt hier. 00:07:53.440 --> 00:07:59.110 Unsere endgültige Antwort für dieses scheinbar -- nun in gewisser Weise 00:07:59.110 --> 00:08:01.120 sieht es wie ein einfaches Problem aus, aber von einer anderen Perspektive 00:08:01.120 --> 00:08:03.220 scheint es ein 00:08:03.220 --> 00:08:07.480 sehr kompliziertes Problem zu sein -- man bekommt also für die Ableitung von y 00:08:07.480 --> 00:08:11.370 nach x gleich y, was genau das hier ist. 00:08:11.370 --> 00:08:21.480 Das x hoch x hoch x mal all dem zeug -- mal 00:08:21.480 --> 00:08:27.580 x hoch x mal dem natürlichen Logarithmus von x plus 1 mal dem natürlichen Logarithmus 00:08:27.580 --> 00:08:34.080 von x, und dann noch all dieses plus x hoch x minus 1. 00:08:34.080 --> 00:08:34.940 Wer hätte das gedacht. 00:08:34.940 --> 00:08:36.460 Mathe kann manchmal auch elegant sein. 00:08:36.460 --> 00:08:37.870 Man berechnet die Ableitung von irgendetwas (wie das hier) 00:08:37.870 --> 00:08:39.080 und bekommt etwas Akkurates. 00:08:39.080 --> 00:08:42.320 Zum Beispiel bekommt man wenn man die Ableitung vom 00:08:42.320 --> 00:08:43.774 natürlichen Logarithmus von x berechnet, 1/x. 00:08:43.774 --> 00:08:46.340 Das ist sehr einfach und elegant, und es ist schön 00:08:46.340 --> 00:08:47.030 das die Mathematik in dieser Weise funktioniert. 00:08:47.030 --> 00:08:50.130 Aber manchmal führt man eine operation durch 00:08:50.130 --> 00:08:52.070 und etwas was sehr leicht und elegant aussieht 00:08:52.070 --> 00:08:55.420 wird zu einer sehr unangenehmen und haarigen Angelegenheit, 00:08:55.420 --> 00:08:59.800 aber es ist sicherlich ein sehr interessantes Problem. 00:08:59.800 --> 00:09:00.080 Also was soll's.