Ein klassisches Problem der implizieten Differentiation
ist das Problem y gleich x hoch x.
Und nun die Ableitung von y
nach x herauszufinden.
Und die Leute sehen die Aufgabe und sind verwirrt, denn man hat nicht einfach einen
konstanten Exponenten hier, und somit kann ich nicht einfach die Exponentenregel benutzten,
so wie kann man heran gehen.
Un der Trick hier ist, einfach den natürlichen Logarithmus auf
beiden Seiten der Gleichung anzuwenden.
Und das ist was wir später in diesem Video
machen werden
Wenn wir also den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung anwenden
bekommt man den natürlichen Logarithmus von y gleich dem natürlichen
Logarithmus von x hoch x.
Jetzt sagen uns die Exponentialregeln oder ich schätze mal unsere Logarithmusregeln
sieh, wenn ich den natürlichen Logarithmus von irgendwas zu
irgendwas nehme, ist das gleich zu, ich also für
den natürlichen Logarithmus von x hoch x auch gleichbedeutend schreiben x mal
der natürliche Logarithmus von x
Lasst mich das nun noch einmal alles neu schreiben.
Wenn ich den natürlichen Logarithmus von beiden Seiten von dieser Gleichung nehme,
bekomme ich den natürlichen Logarithmus von y gleich x mal der
natürliche Logarithmus von x.
Und nun können wir beide Seiten von dieser Gleichung
nach x ableiten.
Die Ableitung nach x von dieser Gleichung und dann
die Ableitung nach x of von dieser.
Nun wenden wir ein kleinbisschen die Kettenregel an.
Nun die Kettenregel.
Was ist ist dies hier nach x abgeleitet?
Was ist die Ableitung nach x
von unserem inneren Ausdruck?
Es ist eine kleine impliziete Differentiation, so es ist dy
nach x abgeleitet mal die Ableitung von diesem ganzen
Ausdruck abgeleitet nach dieser inneren Funktion.
Die Ableitung des natürlichen Logarithmus von x ist 1/x.
Damit ist die Ableitung des natürlichen Logarithmus von y nach y
1/y
damit mal 1/y
Und die Ableitung von diesem hier - das ist einfach nur die Produktregel,
ich werde willkürlich die Farbe an diesem Punkt ändern - ist die Ableitung
vom ersten Term, welcher gleich 1 mal der zweite Term, also mal
dem natürlichen Logarithmus von x plus der Ableitung des zweiten Terms,
welcher gleich 1/x mal dem ersten Term ist.
Also mal x.
Und so bekommen wir dy/dx mal 1/y ist gleich dem natürlichen Logarithmus von x
plus - das ergibt 1 - x dividiert mit x, und
dann multipliziert man beide Seiten von diesem Ausdruck mit y.
Man bekommt dy/dx ist gleich y mal der natürliche
Logarithmus von x plus 1.
Und wenn man dieses y hier nicht mag, kann man einfach
die Substitution durchführen.
y ist gleich x hoch x.
Somit kann man sagen das die Ableitung von y nach x
gleich x hoch x mal dem natürlichen Logarithmus von x + 1 ist.
Und das ist ein "Spaß"-Problem, und ist oft gegeben als
trickreiches Problem, oder manchmal auch ein "Zugabe"-Poblem, falls die Leute
nicht wissen, dass man einfach den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten nehmen muss.
Aber mir wurde ein noch schweres Problem gegeben und
das ist was wir nun angehen wollen.
Aber es ist gut wenn, dass wir uns erst diesem Problem angenommen haben denn
es gibt uns die grundlegenden Werkzeuge.
Nun das schwerere Problem was wir bearbeiten werden
ist dieses hier.
Lasst mich es niederschreiben.
Nun das Problem ist y ist gleich -- und hier ist das Besondere --
x hoch x hoch x
Und wir wollen dy/dx berechnen.
Wir wollen die Ableitung von y
nach x herausfinden
Nun, um dieses Problem zu lösen benutzen wir in erster Linie die gleichen Werkzeuge.
Wir benutzen den natürlichen Logarithmus im in erster Linie den
Exponnenten herunter zu brechen und den Term in eine Form zu bringen, mit der wir arbeiten können.
Wir können also die Produktregel anwenden.
Lasst uns also den natürlichen Logarithmus auf beiden dieser Gleichung anwenden,
ganz so wie wir es auch zuletzt getan haben.
Man bekommt den natürlichen Logarithmus von y ist gleich dem natürlichen Logarithmus
von x hoch x hoch x.
Und das ist einfach der Exponent von diesem hier.
Also können wir dies auch schreiben als: x hoch x ma
l dem natürlichen Logarithmus von x.
Die Struktur der Gleichung wurde zu folgendem vereinfacht:
der natürliche Logarithmus von y gleich x hoch x mal dem
natürlichen Logarithmus von x.
Aber wir haben immer noch das eklige x hoch x hier.
wir kennen keinen einfachen Weg um dies hier abzuleiten, obwohl, ich habe doch tatsächlich gerade eben
gezeigt, was die Ableitung von diesem hier ist,
also können wir dies einfach jetzt erneut anwenden.
I werde den natürlichen Logarithmus erneut ziehen und es würde in
dieses große, chaotische und verwirrende Ding umwandeln, ABER ich bemerkte
das ich, die Ableitung von x hoch x, bereits zuvor
in diesem Video gelöst habe
Es ist dieses Zeug direkt hier.
Es ist dieser verrückte Ausdruck hier rechts.
Wir müssen uns also nur daran erinnern und es auf unser
Problem anwenden.
Beginnen wir also mit unserem Problem.
Und wenn wir dies hier nicht schon zuvor gelöst hätten, es war
ein unerwarteter Mehrwert die einfacherer Version zu lösen,
könnte man auch einfach den natürlichen Logarithmus von diesem hier nehmen,
dies allerdings wird einfach ein wenig chaotischer.
Aber da wir bereits wissen was die Ableitung von x hoch x ist
lasst uns das einfach anwenden.
Wir leiten also beide Seiten der
Gleichung ab.
Die Ableitung von diesem ist gleich der Ableitung von diesem hier.
Wir werden dies hier für einen Moment ignorieren.
Die Ableitung von disem hier nach x ist die Ableitung vom
natürlichen Logarithmus von y nach x.
Nun, das ist 1/y mal die Ableitung von y
nach x.
Das ist einfach die Kettenregel.
Wir haben dies bei der implizieten Differentiation gelernt.
Und darum ist dies gleich der Ableitung des ersten Terms
mal dem zweiten Term. Ich werde es hier nochmal ausformuliert hinschreiben,
da ich keine Schritte überspringen und Leute verwirren will.
Das ist gleich der Ableitung nach x von:
x hoch x mal dem natürlichen Logarithmus von x plus der Ableitung
des natürlichen Logarithmus von x mal x hoch x
nach x.
Konzentrieren wir uns zunächst auf die rechte Seite der Gleichung.
Was ist die Ableitung von x hoch x nach x?
Nun wir haben dieses Problem bereits gelöst.
Es ist x hoch x mal dem natürlichen Logarithmus von x plus 1.
Also dieses Teil hier -- Ich hab schon wieder vergessen was es war --
es war x hoch x mal dem natürlichen Logarithmus von x plus 1.
Das ist x hoch mal dem natürlichen Logarithmus von x plus 1.
Und jetzt multiplizieren wir dies mit
dem natürlichen Logarithmus von x.
Und dann addieren wir das dazu, plus der Ableitung
des natürlichen Logarithmus von x.
Das ist einfach 1/x mal x hoch x.
Und natürlich war die linke Seite der Gleichung
einfach 1/y dy/dx.
Und wir können beide Seiten nun mit y multiplizieren und erhalten
dy/dx gleich y mal -- dem ganzem verrücktem Zeug -- x hoch x mal dem
dem natürlichen Logarithmus von x plus 1 mal dem natürlichen Logarithmus von
x plus 1/x mal x hoch x.
Das ist x hoch -1.
Wir können dies als x hoch -1 schreiben, und kann man
die exponenten addieren.
Man könnte das auch als x hoch (x minus 1) schreiben.
Und wenn uns das y hier nicht gefällt, können wir es einfach
zurück substituieren.
y war gleich dem hier, dieses verrückte Zeug direkt hier.
Unsere endgültige Antwort für dieses scheinbar -- nun in gewisser Weise
sieht es wie ein einfaches Problem aus, aber von einer anderen Perspektive
scheint es ein
sehr kompliziertes Problem zu sein -- man bekommt also für die Ableitung von y
nach x gleich y, was genau das hier ist.
Das x hoch x hoch x mal all dem zeug -- mal
x hoch x mal dem natürlichen Logarithmus von x plus 1 mal dem natürlichen Logarithmus
von x, und dann noch all dieses plus x hoch x minus 1.
Wer hätte das gedacht.
Mathe kann manchmal auch elegant sein.
Man berechnet die Ableitung von irgendetwas (wie das hier)
und bekommt etwas Akkurates.
Zum Beispiel bekommt man wenn man die Ableitung vom
natürlichen Logarithmus von x berechnet, 1/x.
Das ist sehr einfach und elegant, und es ist schön
das die Mathematik in dieser Weise funktioniert.
Aber manchmal führt man eine operation durch
und etwas was sehr leicht und elegant aussieht
wird zu einer sehr unangenehmen und haarigen Angelegenheit,
aber es ist sicherlich ein sehr interessantes Problem.
Also was soll's.