-
Máme tady zadání:
-
Vydělte 6 + 3i
komplexním číslem 7 - 5i.
-
Máme tady tedy dělení
dvou komplexních čísel
-
a jako výsledek bychom tedy chtěli
logicky dostat opět komplexní číslo,
-
které bude mít reálnou
část a imaginární část.
-
Zkuste si video zastavit
a zkuste si to sami.
-
Pokud Vás nic nenapadá,
mám tady jeden návrh.
-
Když dělíme, tak je to stejné,
-
jako bychom tato dvě komplexní
čísla zapsali do zlomku.
-
A to 6 + 3i do čitatele
-
a 7 - 5i do jmenovatele.
-
Tohleto je stejné jako
tady toto prvotní zadání.
-
No, to je sice hezké, řeknete si,
ale co s tím budeme dělat dál?
-
Máme to ve zlomku, to nevypadá
o moc líp než to zadání.
-
Pojďme si vzpomenout na něco,
co už jsme probírali v minulých videích,
-
čemu říkáme komplexně sdružené číslo.
-
Chtěli bychom se ideálně zbavit tady té
imaginární jednotky ve jmenovateli,
-
dostat tady reálné číslo.
-
A my už víme,
-
že když vynásobíme komplexní číslo číslem
k němu komplexně sdruženým,
-
tak dostaneme číslo reálné.
-
Takže co kdybychom
čitatele i jmenovatele
-
vynásobili číslem komplexně sdruženým
k tomu komplexnímu číslu ve jmenovateli.
-
Potom bychom ve jmenovateli
násobili komplexní číslo
-
číslem k němu komplexně sdruženým
a dostaneme číslo reálné.
-
Takže komplexně sdružené
číslo k tomuto je 7 + 5i,
-
takže bychom mohli provést tuto úpravu.
-
Jak už jsem řekla,
-
tady z toho dole dostaneme reálné číslo
a tady toto nahoře prostě roznásobíme.
-
7 + 5i lomeno 7 + 5i, to je jedna,
takže to vlastně násobíme jedničkou,
-
neměníme nijak hodnotu tohoto
prvotního původního zlomku.
-
Nahoře to jednoduše roznásobíme
mezi sebou tak, jak jsme zvyklí.
-
6 krát 7 je 42,
6 krát +5i je 30i,
-
3i krát 7 je +21i,
3i krát 5i je 15i na druhou.
-
To si napíšeme tady bokem,
15i na druhou.
-
My víme, že i na druhou je -1,
-
takže je to vlastně jako
15 krát -1 a tedy -15.
-
Takže poslední člen tady je -15.
-
Jak na tom bude jmenovatel?
-
Mohli bychom si všimnout, že tady
vlastně máme (a - b) krát (a + b),
-
což nám potom dává
rozdíl druhých mocnin,
-
ale abychom si nemuseli
pamatovat ten vzorec,
-
můžeme si to zkusit roznásobit
stejně jako nahoře.
-
Takže 7 krát 7 je 49,
7 krát 5i je +35i,
-
-5i krát 7 je -35i,
-5i krát 5i je -25i na druhou.
-
Opět si to tady napíšeme, jenom
abyste viděli, jak jsme k tomu došli.
-
-25i na druhou, i na druhou je -1,
-25 krát -1 je +25.
-
Takže tady poslední člen je +25.
-
Výborně.
-
Teď budu chtít udělat
naši klasickou úpravu,
-
tedy sečíst části reálné a potom
části imaginární takto.
-
Takže 42 minus 15 je 27,
+30i plus 21i je 51i.
-
A co bude v tom jmenovateli.
-
+35i minus 35i,
to se nám krásně vyruší.
-
Zbyde nám 49 plus 25, což je 74.
-
A už jsme skoro na konci.
-
Jenom bych to ráda
dostala do tvaru,
-
v jakém normálně vídáme
komplexní číslo, tedy a+bi.
-
Takže to můžu přepsat jako
27/74 plus 51/74i.
-
Jenom jsme si toto přepsali
do trochu hezčího tvaru.
-
Toto je náš výsledek.
-
Komplexní číslo ve tvaru a+bi,
-
které jsme dostali po vydělení
tohoto komplexního čísla tímto.
-
A upravili jsme to tak,
-
že jsme použili číslo komplexně sdružené
k tomu číslu ve jmenovateli
-
a díky tomu se nám podařilo ve
jmenovateli dostat reálné číslo
-
a takto krásně to upravit.
