WEBVTT

00:00:01.150 --> 00:00:02.679
Máme tady zadání:

00:00:02.679 --> 00:00:09.802
Vydělte 6 + 3<i>i</i>
komplexním číslem 7 - 5<i>i</i>.

00:00:09.802 --> 00:00:13.971
Máme tady tedy dělení
dvou komplexních čísel

00:00:14.238 --> 00:00:18.968
a jako výsledek bychom tedy chtěli
logicky dostat opět komplexní číslo,

00:00:18.968 --> 00:00:23.096
které bude mít reálnou
část a imaginární část.

00:00:23.367 --> 00:00:26.332
Zkuste si video zastavit
a zkuste si to sami.

00:00:26.570 --> 00:00:29.771
Pokud Vás nic nenapadá,
mám tady jeden návrh.

00:00:29.987 --> 00:00:32.765
Když dělíme, tak je to stejné,

00:00:32.765 --> 00:00:36.314
jako bychom tato dvě komplexní
čísla zapsali do zlomku.

00:00:36.531 --> 00:00:39.081
A to 6 + 3<i>i</i> do čitatele

00:00:39.468 --> 00:00:42.251
a 7 - 5<i>i</i> do jmenovatele.

00:00:42.545 --> 00:00:49.208
Tohleto je stejné jako
tady toto prvotní zadání.

00:00:49.707 --> 00:00:53.372
No, to je sice hezké, řeknete si,
ale co s tím budeme dělat dál?

00:00:53.561 --> 00:00:56.841
Máme to ve zlomku, to nevypadá
o moc líp než to zadání.

00:00:57.044 --> 00:01:00.473
Pojďme si vzpomenout na něco,
co už jsme probírali v minulých videích,

00:01:00.473 --> 00:01:03.707
čemu říkáme komplexně sdružené číslo.

00:01:03.844 --> 00:01:09.825
Chtěli bychom se ideálně zbavit tady té
imaginární jednotky ve jmenovateli,

00:01:09.825 --> 00:01:11.473
dostat tady reálné číslo.

00:01:11.473 --> 00:01:12.595
A my už víme,

00:01:12.595 --> 00:01:17.886
že když vynásobíme komplexní číslo číslem
k němu komplexně sdruženým,

00:01:17.934 --> 00:01:21.004
tak dostaneme číslo reálné.

00:01:21.217 --> 00:01:25.038
Takže co kdybychom
čitatele i jmenovatele

00:01:25.600 --> 00:01:32.174
vynásobili číslem komplexně sdruženým
k tomu komplexnímu číslu ve jmenovateli.

00:01:32.187 --> 00:01:35.627
Potom bychom ve jmenovateli
násobili komplexní číslo

00:01:35.627 --> 00:01:39.576
číslem k němu komplexně sdruženým
a dostaneme číslo reálné.

00:01:39.576 --> 00:01:44.376
Takže komplexně sdružené
číslo k tomuto je 7 + 5<i>i</i>,

00:01:44.492 --> 00:01:48.264
takže bychom mohli provést tuto úpravu.

00:01:48.337 --> 00:01:49.417
Jak už jsem řekla,

00:01:49.417 --> 00:01:55.139
tady z toho dole dostaneme reálné číslo
a tady toto nahoře prostě roznásobíme.

00:01:55.223 --> 00:02:00.693
7 + 5<i>i</i> lomeno 7 + 5<i>i</i>, to je jedna,
takže to vlastně násobíme jedničkou,

00:02:00.693 --> 00:02:05.410
neměníme nijak hodnotu tohoto
prvotního původního zlomku.

00:02:05.410 --> 00:02:09.372
Nahoře to jednoduše roznásobíme
mezi sebou tak, jak jsme zvyklí.

00:02:09.372 --> 00:02:15.778
6 krát 7 je 42, 
6 krát +5<i>i</i> je 30<i>i</i>,

00:02:16.321 --> 00:02:25.428
3<i>i</i> krát 7 je +21<i>i</i>, 
3<i>i</i> krát 5<i>i</i> je 15<i>i</i> na druhou.

00:02:25.428 --> 00:02:29.952
To si napíšeme tady bokem,
15<i>i</i> na druhou.

00:02:29.952 --> 00:02:32.457
My víme, že <i>i</i> na druhou je -1,

00:02:32.457 --> 00:02:38.219
takže je to vlastně jako
15 krát -1 a tedy -15.

00:02:38.439 --> 00:02:42.685
Takže poslední člen tady je -15.

00:02:42.685 --> 00:02:44.036
Jak na tom bude jmenovatel?

00:02:44.057 --> 00:02:48.677
Mohli bychom si všimnout, že tady
vlastně máme (a - b) krát (a + b),

00:02:48.677 --> 00:02:51.495
což nám potom dává
rozdíl druhých mocnin,

00:02:51.855 --> 00:02:55.213
ale abychom si nemuseli
pamatovat ten vzorec,

00:02:55.213 --> 00:02:59.464
můžeme si to zkusit roznásobit
stejně jako nahoře.

00:02:59.464 --> 00:03:07.481
Takže 7 krát 7 je 49, 
7 krát 5<i>i</i> je +35<i>i</i>,

00:03:07.686 --> 00:03:16.950
-5<i>i</i> krát 7 je -35<i>i</i>,
-5<i>i</i> krát 5<i>i</i> je -25<i>i</i> na druhou.

00:03:17.765 --> 00:03:21.164
Opět si to tady napíšeme, jenom
abyste viděli, jak jsme k tomu došli.

00:03:21.164 --> 00:03:30.012
-25<i>i</i> na druhou, <i>i</i> na druhou je -1,
-25 krát -1 je +25.

00:03:30.012 --> 00:03:33.673
Takže tady poslední člen je +25.

00:03:34.043 --> 00:03:34.919
Výborně.

00:03:35.085 --> 00:03:37.823
Teď budu chtít udělat
naši klasickou úpravu,

00:03:37.823 --> 00:03:46.795
tedy sečíst části reálné a potom
části imaginární takto.

00:03:46.795 --> 00:03:58.508
Takže 42 minus 15 je 27,
+30<i>i</i> plus 21<i>i</i> je 51<i>i</i>.

00:03:58.648 --> 00:04:00.575
A co bude v tom jmenovateli.

00:04:00.771 --> 00:04:05.100
+35<i>i</i> minus 35<i>i</i>,
to se nám krásně vyruší.

00:04:05.100 --> 00:04:10.577
Zbyde nám 49 plus 25, což je 74.

00:04:10.951 --> 00:04:12.674
A už jsme skoro na konci.

00:04:12.674 --> 00:04:15.307
Jenom bych to ráda
dostala do tvaru,

00:04:15.307 --> 00:04:20.997
v jakém normálně vídáme
komplexní číslo, tedy a+b<i>i</i>.

00:04:20.997 --> 00:04:33.298
Takže to můžu přepsat jako
27/74 plus 51/74<i>i</i>.

00:04:33.392 --> 00:04:38.342
Jenom jsme si toto přepsali
do trochu hezčího tvaru.

00:04:38.394 --> 00:04:40.514
Toto je náš výsledek.

00:04:40.514 --> 00:04:43.179
Komplexní číslo ve tvaru a+b<i>i</i>,

00:04:43.179 --> 00:04:47.729
které jsme dostali po vydělení
tohoto komplexního čísla tímto.

00:04:48.246 --> 00:04:50.207
A upravili jsme to tak,

00:04:50.207 --> 00:04:54.871
že jsme použili číslo komplexně sdružené
k tomu číslu ve jmenovateli

00:04:54.871 --> 00:05:00.417
a díky tomu se nám podařilo ve
jmenovateli dostat reálné číslo

00:05:00.417 --> 00:05:02.948
a takto krásně to upravit.