Máme tady zadání:
Vydělte 6 + 3i komplexním číslem 7 - 5i.
Máme tady tedy dělení dvou komplexních čísel
a jako výsledek bychom tedy chtěli logicky dostat opět komplexní číslo,
které bude mít reálnou část a imaginární část.
Zkuste si video zastavit a zkuste si to sami.
Pokud Vás nic nenapadá, mám tady jeden návrh.
Když dělíme, tak je to stejné,
jako bychom tato dvě komplexní čísla zapsali do zlomku.
A to 6 + 3i do čitatele
a 7 - 5i do jmenovatele.
Tohleto je stejné jako tady toto prvotní zadání.
No, to je sice hezké, řeknete si, ale co s tím budeme dělat dál?
Máme to ve zlomku, to nevypadá o moc líp než to zadání.
Pojďme si vzpomenout na něco, co už jsme probírali v minulých videích,
čemu říkáme komplexně sdružené číslo.
Chtěli bychom se ideálně zbavit tady té imaginární jednotky ve jmenovateli,
dostat tady reálné číslo.
A my už víme,
že když vynásobíme komplexní číslo číslem k němu komplexně sdruženým,
tak dostaneme číslo reálné.
Takže co kdybychom čitatele i jmenovatele
vynásobili číslem komplexně sdruženým k tomu komplexnímu číslu ve jmenovateli.
Potom bychom ve jmenovateli násobili komplexní číslo
číslem k němu komplexně sdruženým a dostaneme číslo reálné.
Takže komplexně sdružené číslo k tomuto je 7 + 5i,
takže bychom mohli provést tuto úpravu.
Jak už jsem řekla,
tady z toho dole dostaneme reálné číslo a tady toto nahoře prostě roznásobíme.
7 + 5i lomeno 7 + 5i, to je jedna, takže to vlastně násobíme jedničkou,
neměníme nijak hodnotu tohoto prvotního původního zlomku.
Nahoře to jednoduše roznásobíme mezi sebou tak, jak jsme zvyklí.
6 krát 7 je 42, 6 krát +5i je 30i,
3i krát 7 je +21i, 3i krát 5i je 15i na druhou.
To si napíšeme tady bokem, 15i na druhou.
My víme, že i na druhou je -1,
takže je to vlastně jako 15 krát -1 a tedy -15.
Takže poslední člen tady je -15.
Jak na tom bude jmenovatel?
Mohli bychom si všimnout, že tady vlastně máme (a - b) krát (a + b),
což nám potom dává rozdíl druhých mocnin,
ale abychom si nemuseli pamatovat ten vzorec,
můžeme si to zkusit roznásobit stejně jako nahoře.
Takže 7 krát 7 je 49, 7 krát 5i je +35i,
-5i krát 7 je -35i, -5i krát 5i je -25i na druhou.
Opět si to tady napíšeme, jenom abyste viděli, jak jsme k tomu došli.
-25i na druhou, i na druhou je -1, -25 krát -1 je +25.
Takže tady poslední člen je +25.
Výborně.
Teď budu chtít udělat naši klasickou úpravu,
tedy sečíst části reálné a potom části imaginární takto.
Takže 42 minus 15 je 27, +30i plus 21i je 51i.
A co bude v tom jmenovateli.
+35i minus 35i, to se nám krásně vyruší.
Zbyde nám 49 plus 25, což je 74.
A už jsme skoro na konci.
Jenom bych to ráda dostala do tvaru,
v jakém normálně vídáme komplexní číslo, tedy a+bi.
Takže to můžu přepsat jako 27/74 plus 51/74i.
Jenom jsme si toto přepsali do trochu hezčího tvaru.
Toto je náš výsledek.
Komplexní číslo ve tvaru a+bi,
které jsme dostali po vydělení tohoto komplexního čísla tímto.
A upravili jsme to tak,
že jsme použili číslo komplexně sdružené k tomu číslu ve jmenovateli
a díky tomu se nám podařilo ve jmenovateli dostat reálné číslo
a takto krásně to upravit.